课本回归5 必修4课本题精选(二)(教师版)

课本回归5 必修4课本题精选（二）
江苏省太仓高级中学 陆丽
一．填空题
1．（必修4，P117第4题改编）设向量a =(cos α,-1)，b =(2,sin α)．若a ⊥b ，则tan 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
．
【解析】因为a ⊥b ，所以a b =2cos α-sin α=0，即tan α=2，
所以tan 11tan 41tan 3πααα-⎛
⎫-=
= ⎪+⎝
⎭. 2．（必修4，P23习题17）已知1sin(),64x π+=则25sin()sin ()63
x x ππ-+-= ．
【解析】225sin()sin ()sin sin 63626
x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-+-=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣
⎦
⎣
⎦
211519sin cos 6641616x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
3．（必修4，P23第11题改编）已知sin 2cos 0αα-=，
则（1）
sin cos sin cos αα
αα
+=- ；
（2）22sin sin cos 2cos αααα--= ． 【解析】sin 2cos 0αα-=，tan 2α∴=.
sin cos tan 1
3sin cos tan 1
αααααα++==--.
2222
2
222
sin sin cos 2cos tan tan 2
sin sin cos 2cos 1sin cos tan 1
ααααααααααααα------===-++. 4．（必修4，P89习题15）设a =(x ，3)，b =()2,1-，若a ，b 夹角为钝角，则x 的取值范围为 ． 【解析】由a b <0及a λ≠b ()0λ<得62
3
-≠<
x x 且． 5．（必修4，P73第16题改编）设,D E 分别是ABC ∆的边,AB BC 上的点，12
AD AB =,23
BE BC =,
若12DE AB AC λλ=+(12,λλ 为实数)，则12λλ+的值为 ．
【解析】121
12332
63DE AE AD AB AC AB AB AC ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭，12121632λλ∴+=-+=.
6．(必修4，P97，第15题改编)在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin A
C
的值为 ．
【解析】由2B C B A A C A B C A C
B ⋅+⋅=⋅得cos 2cos cos ac B bc A ba
C +=，由余弦定理可得222222222
2222a c b b c a a b c a c b c b a a c b c a b +-+-+-⋅+⋅=⋅，化简得222a c =，即a =．所以sin sin A a C c
==
7．（必修4，P109第7题改编）若2tan 3tan
8π
α=，则tan()8
π
α-= ． 【解析】21tan tan
tan
828tan()381tan tan 1tan 828
π
π
απαππα--=
=++ 22sin
cos
882cos 3sin 88ππ
ππ⋅=
+1sin 2412(1cos )24ππ==+-
=． 8．(必修4，P98习题20)设a ，b ，c 都是单位向量，且a b =0，则(c -a )(c -b )的最小值为 ．
【解析】利用坐标法得：1
二．解答题
9．（必修4，P23第18题改编）已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α．
（1）若A 点的坐标为(35，4
5)，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；（2）求|BC |2的取值范围．
【解析】（1）由A 点的坐标为(35，45)，所以34cos ,sin 55αα==，所以4
tan 3α=.
所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α=222222sin 2sin cos tan 2tan cos cos sin 2tan ααααα
αααα++==+--20．
（2）由题意得点B cos ,sin 33ππαα⎛
⎫⎛
⎫
⎛
⎫+
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭，(1,0)C ， 得|BC |2
=2
2cos 1sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=22cos 3πα⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭．
由(0,)2πα∈，得5(,)336πππα+∈
，所以1cos ()32πα⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，所以|BC |
2(1,2∈．
10．（必修4，P117，习题2改编）已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－72
10．
（1）求cos 2α的值；（2）求2α－β的值．
【解析】 (1) 因为tan α＝2，所以sin αcos α
＝2，即sin α＝2cos α．
又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15．所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－3
5．
(2) 因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2．又cos2α＝－3
5<0，故2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 得sin β＝
2
10
，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π．
所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫
－35×210＝－22．
又2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π
4
． 11．（必修4，P124第9题改编）已知sin(2)3sin αββ+=，设tan ,tan x y αβ==，记()y f x =．
（1）求()f x 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域． 【解析】（1）由sin(2)3sin αββ+=得()()sin[]3sin[]αβααβα++=+-， 则()()()()sin cos cos sin 3[sin cos cos sin ]αβααβααβααβα+++=+-+， 所以()()sin cos 2cos sin αβααβα+=+，所以()tan 2tan αβα+=. 即
tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-⋅，即21x y x xy +=-，所以2
12x y x =+，即2
()12x
f x x =+. （2）因为角α是一个三角形的最小内角，所以03
π
α<≤，所以0x <≤而1()1
2f x
x x
=
+
，由0x <
≤
12x x +
≥=x =时取等号）， 故()
f x 的值域为. 12．（必修4，P71例题4改编）如图，在∆OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且2BP PA =． （1）若OP xOA yOB =+，求y x 、的值；
（2）若6OB =且3
AOB π
∠=，求OP AB ⋅的最大值．
【解析】（1）由2BP PA =,得2133OP OA OB =+,21
,33x y ==．
（2）OP AB ⋅()
2133OA OB OB OA ⎛⎫
=+⋅- ⎪⎝⎭
22
211333OA OB OA OB =-++⋅
2
222399123348OA OA OA ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当34OA
=时，OP AB ⋅最大，最大值为99
8
．。