2017高考数学文新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专

第1讲 概 率
几何概型[学生用书P55]自主练透 夯实双基
1．几何概型的概率公式
P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
2．几何概型应满足两个条件
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[题组通关]
1．在区间⎣⎡⎦
⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值在⎝⎛⎭⎫0，12之间的概率为( ) A.13
B.2π
C.12
D.23
A [解析] 当cos x 的值在⎝⎛⎭⎫0，12之间时，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2
，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以所求的概率为2×⎝⎛⎭⎫π2－π3π2－⎝⎛⎭
⎫－π2＝13. 2．在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为
( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
A [解析] 若点到正方体中心的距离不大于1，则该点位于以正方体的中心为球心，
半径为1的球内或球面上，所以所求概率为P ＝4π38＝π6
.
3．(2016·湖北七市(州)协作体联考)已知平面区域A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤9，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R }．在A 内随机取一点，此点取自B 的概率为________．
[解析] 如图所示，分别画出A ，B 表示的区域，A 表示的区域为圆及其内部，B 表示的区域为正方形及其内部，根据几何概型可知，所求概率为18π·32＝2π
.
[答案] 2π
求解几何概型的概率应把握两点
(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
古典概型[学生用书P55]高频考点 多维探明
1．古典概型的概率
P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数
. 2．古典概型的两个特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
与茎叶图的交汇问题
(2016·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定
量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；
51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为
重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI
的茎叶图如图．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机抽取2天深入分析各种污染
指标，求这2天的空气质量等级恰好不同的概率．
【解】 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，
故该样本中空气质量优良的频率为410＝25
， 估计该月空气质量优良的频率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25
＝12. (2)该样本中轻度污染共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4；中度污染1天，记为b ；重度污染1天，记为c ，从中随机抽取2天的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )共15个．
其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个．
所以这2天的空气质量等级恰好不同的概率为915＝35.
与频率分布直方图的交汇问题
(2016·石家庄第一次模拟)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对
篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：
(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
(2)若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩(单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远成绩越好)，并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．
【解】 (1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x ，
因为0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5，
所以x ∈(4，5)，
由0.40×(5－x )＋0.20×1＝0.5，解得x ＝4.25，
所以该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．
(2)由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐中心的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐中心的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4.
从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：
(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 1，C 3)，(A 1，C 4)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 1，C 3)，(B 1，C 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 2，C 3)，(B 2，C 4)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，C 4)，(C 2，C 3)，(C 2，C 4)，(C 3，C 4)共21个基本事件．
其中2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个，
所以该运动员得1分的概率P ＝621＝27.
求古典概型概率的方法
正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．
(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．
(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
[题组通关]
1．(2016·高考全国卷丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.815
B.18
C.115
D.130
C [解析] 开机密码的所有可能结果有：(M ，1)，(M ，2)，(M ，3)，(M ，4)，(M ，5)，(I ，1)，(I ，2)，(I ，3)，(I ，4)，(I ，5)，(N ，1)，(N ，2)，(N ，3)，(N ，4)，(N ，5)，共15
种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115
，故选C. 2．(2016·海口调研测试)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解答下列问题．
(1)写出a ，b ，x ，y 的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
[解] (1)由题意可知，样本总人数为80.16＝50，所以b ＝250
＝0.04， a ＝50×(1－0.16－0.40－0.08－0.04)＝16，x ＝1650×110＝0.032，y ＝0.0410
＝0.004. (2)由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y . 从竞赛成绩80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共15种情况．
①设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，
有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．
所以P (E )＝915＝35
. ②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，XY 共7种情况．
所以P (F )＝715
.
互斥事件与对立事件[学生用书P57]共研典例 类题通法
1．事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
2．在一次试验中，对立事件A P ＝1－P (A )．
为了迎接国家卫生城市复审，创设干净整洁的城市环境，某高中要从高一、高二、
高三三个年级推出的班级中分别选1个，组成“巩卫”小组，利用周末进行义务创城活动．其中高一推出3个班且标号分别为A 1，A 2，A 3，高二推出2个班且标号分别为B 1，B 2，高三推出2个班且标号分别为C 1，C 2.
(1)求A 1被选中的概率；
(2)求A 1和C 2不全被选中的概率．
【解】 法一：组成“巩卫”小组的所有结果如下：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，共12种．
(1)记“A 1被选中”为事件E ，则E 包含的结果有：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，
B 2，
C 1)，(A 1，B 2，C 2)，共4种，所以P (E )＝412＝13
. (2)记事件M 表示“A 1和C 2不全被选中”，则其对立事件M 表示“A 1和C 2全被选中”．
由于事件M 包含(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 2)，共2种结果，所以P (M )＝212＝16
. 由对立事件的概率计算公式得P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56
. 故A 1和C 2不全被选中的概率为56
. 法二：(1)由题意得从高一年级推出1个班的可能情况有3种，
记“A 1被选中”为事件E ，则P (E )＝13
. (2)组成“巩卫”小组的所有结果如下：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，共12种．
记事件M 表示“A 1和C 2不全被选中”，则其对立事件M 表示“A 1和C 2全被选中”．
由于事件M 包含(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 2)，共2种结果，所以P (M )＝212＝16
. 由对立事件的概率计算公式得P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56
. 故A 1和C 2不全被选中的概率为56.
求互斥事件、对立事件的概率
(1)求简单的互斥事件、对立事件的概率
解此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件，还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算．
(2)求复杂的互斥事件的概率的方法
直接法：①根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和；②利用古典概型或相互独立事件的概率计算公式分别计算这些彼此互斥的事件的概率；③运用互斥事件的概率求和公式计算概率．
间接法(正难则反)：①判断事件的概率计算是否适合用间接法，而判断的标准是正向思考时，分类较多，而其对立面的分类较少，此时应用间接法，特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便；②利用古典概型、互斥事件或相互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率；③运用公式P (A )＝1－P (A )求解．
[题组通关]
1．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.56
C [解析] 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23
，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13
，B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23
.故选C. 2．某超市为了促销，举行了抽奖活动：在一个不透明的抽奖箱中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)顾客甲从抽奖箱中一次性随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)顾客甲从抽奖箱中随机取一个球，记下编号后放回，再从抽奖箱中随机取一个球，记下编号放回．设这两次取出的球的编号之和为M .超市奖项设置：若M ＝8，则为一等奖；若M ＝7，则为二等奖；若5≤M ≤6，则为三等奖；其他情况无奖．求顾客甲中奖的概率．
[解] (1)从抽奖箱中一次性随机取出两个球，其基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，
3)，(2，4)，(3，4)，共6个．
设“从抽奖箱中一次性随机取出两个球的编号之和不大于4”为事件A ，则事件A 包含的事件有(1，2)，(1，3)，共2个．
因此P (A )＝26＝13
. (2)先从抽奖箱中随机取一个球，记下编号为a ，放回后，再从抽奖箱中随机取一个球，记下编号为b ，其所有可能的结果(a ，b )有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，
2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．
法一：设“顾客甲中奖”为事件B ，则事件B 包含的事件有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，
2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共10个．
所以P (B )＝1016＝58
. 法二：设“顾客甲不中奖”为事件C ，则事件C 包括的事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，
(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个，所以顾客甲中奖的概率为P (C )＝1－P (C )＝1－616＝58
. 课时作业[学生用书P131(独立成册)]
1．(2016·高考全国卷甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
( )
A.710
B.58
C.38
D.310
B [解析] 记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝2540＝58
. 2．(2016·高考全国卷乙)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
( )
A.13
B.12
C.23
D.56
C [解析] 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据
古典概型的概率计算公式，所求的概率为46＝23
.故选C. 3．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC
内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B .13 C.23 D .12
D [解析] 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋
2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得， P 是△ABC 边BC 上的中线AO
的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12
S △ABC ，所以将一粒黑芝麻
随机撒在△ABC 内，该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12
，故选D . 4．已知分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )
A.14
B .13 C.12 D .23
D [解析] 从写有数字1，2，3，4的4张卡片中随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，取出的2张卡片上数字之和为奇数的取法有(1，
2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是P ＝46＝23
. 5．(2016·贵阳模拟)如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3
，若向
扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )
A ．100
B.200 C ．400 D.450
C [解析] 如图所示，作C
D ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形
于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ；所以R ＝r ＋2r ＝3r ，所以落入圆
内的点的个数估计值为600·πr 2
16
π（3r ）2＝400. 6．已知函数f (x )＝cos πx 6
，集合M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则f (m )·f (n )＝0的概率为( )
A.512
B.712
C.718
D.79 A [解析] 已知函数f (x )＝cos πx 6
，集合M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则m ＝3，9时，f (m )＝cos πm 6
＝0，满足f (m )·f (n )＝0的个数为m ＝3时有8个，m ＝9时有8个，n ＝3时有8个，n ＝9时有8个，重复2个，共有30个．从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则f (m )·f (n )的值有72个，所以从M 中任取两个不
同的元素m ，n ，使f (m )·f (n )＝0的概率为P ＝3072＝512
，故选A. 7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天
一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．
[解析] 设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能的结果如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所
以所求概率为P ＝412＝13
. [答案] 13
8．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与抛物线y ＝x 2＋1有交点的概率是________．
[解析] 易知过点(0，0)与抛物线y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，
共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P ＝416＝14
. [答案] 14
9．(2016·福州模拟)在长度为10的线段AB 上任取一点C (异于A ，B )，则以AC ，BC 为半径的两圆面积之和小于58π的概率是________．
[解析] 设AC ＝x ，则BC ＝10－x ，0<x <10.由题意知，πx 2＋π(10－x )2<58π，即x 2－
10x ＋21<0，解得3<x <7.故所求的概率为7－310＝25
. [答案] 25
10.如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆
心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色
部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为
________．
[解析] S 阴影＝2×18×π×12＋14×π×12＝π2
， 所以点P 落在区域M 内的概率为12×2×2－S 阴影12
×2×2＝2－π22＝1－π4. [答案] 1－π4
11．(2016·河南八市重点高中质量检测)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
的分组作出频率分布直方图，
并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50，60)，[90，100]的数据)．
(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；
(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90，100]内的概率．
[解] (1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝2
50×10＝0.004，
x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由题意可知，高度在[80，90)内的株数为5，记这5株分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，高度在[90，100]内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2.
抽取2株的所有情况有21种，分别为：
(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．
其中2株的高度都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：
(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．
所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90，100]内的概率P ＝1－1021＝11
21.
12．(2016·长沙四校联考)某县共有90个农村淘宝服务网点，随机
抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；
(2)若网购金额(单元：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
(3)由(2)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．
[解] (1)由题意知，样本数据的平均数x ＝4＋6＋12＋12＋18＋206
＝12.
(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为26＝13，由此估计这90个服务网点中有90×1
3＝
30个优秀服务网点．
(3)由于样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别
记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，
记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共有8种，
故所求概率P(M)＝8
15.
13．(2016·山西省高三考前质量检测)某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.
(1)某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不超过3项的概率；
(2)如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在汽车边缘不压射线AC 与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA＝BD＝0.3 m，AB＝2.4 m，
汽车宽度为1.8 m ，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．
[解] (1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2项成绩不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：
由表可知，全部103， 由古典概型的概率计算公式可知，所求概率为610＝3
5.
(2)在线段CD 上取两点B ′，D ′，使BB ′＝DD ′＝1.8 m ， 记汽车尾部左端点为M ，
则当M 位于线段AB ′上时，学员甲可按教练要求完成任务， 而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段CD ′上，
根据几何概型，所求概率P ＝AB ′CD ′＝ 2.4－1.82.4＋2×0.3－1.8＝0.61.2＝1
2.。