西塞山区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

西塞山区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．2
2． 下列计算正确的是（ ）
A 、213
3
x x x ÷= B 、4554
()x x = C 、455
4
x x
x = D 、445
5
0x x -=
3． 已知集合{}
2
|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ）
①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4． “2
4
x π
π
-
<≤
”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.
5． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
12172123x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）
A
B D 6． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FM
C E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111] A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
7． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，
）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
8． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是
，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A ．11？
B ．12？
C ．13？
D ．14？ 9． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 10．若函数2
()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(]
[),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
11．已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
12．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
二、填空题
13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
14．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．
15．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
16．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.
17．设()x x
f x e
=，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机
事件“0k <”的概率为_________.
18．函数f （x ）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是 ．
三、解答题
19．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且
．
（1）求A ；
（2）若，求bc 的值，并求△ABC 的面积．
20．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；
（2）若f （x ）=
（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．
18．已知函数f （x ）=是奇函数．
21．已知集合A={x|x 2+2x ＜0}，B={x|y=}
（1）求（∁R A ）∩B ；
（2）若集合C={x|a ＜x ＜2a+1}且C ⊆A ，求a 的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =
． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ，
求该圆面积的最小值时点S的坐标．
23．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1
的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为
BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE．
24．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
西塞山区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：由题意=，∴1+x=
，解得x=0
故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
2． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据()
a
a β
ααβ⋅=可知，B 正确。

考点：指数运算。

3． 【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 4． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 5． 【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()
2122k k π
π
ϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线11
12x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()
12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭．
6． 【答案】B 【
解
析
】
考
点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 7． 【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2=8y ， ∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
8． 【答案】C
【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+
+
+…+
=
的值，
若输出的结果是
，
则最后一次执行累加的k 值为12， 则退出循环时的k 值为13， 故退出循环的条件应为：k ≥13？， 故选：C
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
9． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 10．【答案】A 【解析】
试题分析：根据()2
48f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =
，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

11．【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
12．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，
则球的体积V 球=
圆柱的体积V 圆柱=2πR 3
圆锥的体积V 圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3
：
：
=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1
(,)
t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 14．【答案】 （﹣1
，﹣） ．
【解析】解：∵S n
=7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，
∴
，即
，解得：
，
综上：d 的取值范围为（﹣1
，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
15．【答案】
2 ．
【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
16．【答案】20x y --=
【解析】解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的
中点坐标为(4,2).由2114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
12
22
y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=.
17．【答案】3
5
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3．
18．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：∵f （x ）=
﹣2ax+2a+1，
∴求导数，得f ′（x ）=a （x ﹣1）（x+2）． ①a=0时，f （x ）=1，不符合题意；
②若a ＞0，则当x ＜﹣2或x ＞1时，f ′（x ）＞0；当﹣2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数； ③若a ＜0，则当x ＜﹣2或x ＞1时，f ′（x ）＜0；当﹣2＜x ＜1时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数
因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f （﹣2）f （1）＜0，
即（
）（
）＜0，解之得﹣
．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础
题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，
∴B+C=，
则A=；
（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，
解得：bc=4，
则S
=bcsinA=×4×=．
△ABC
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
20．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．
从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，
．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
21．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x2+2x＜0}={x|﹣2＜x＜0}，
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，
∴∁R A={x|x≤﹣2或x≥0}，
∴（∁R A）∩B={x|x≥0}；…
（2）当a≥2a+1时，C=∅，此时a≤﹣1满足题意；
当a＜2a+1时，C≠∅，
应满足，
解得﹣1＜a
≤﹣； 综上，a
的取值范围是．…
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =S 的坐标为
168±（，）． 23．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接FO ，则OF 为△BDE 的中位线，从而DE ∥OF ，由此能证明DE ∥平面ACF ． （Ⅱ）推导出BD ⊥AC ，EC ⊥BD ，从而BD ⊥平面ACE ，由此能证明BD ⊥AE ．
【解答】证明：（Ⅰ）连接FO ，∵底面ABCD 是正方形，且O 为对角线AC 和BD 交点， ∴O 为BD 的中点， 又∵F 为BE 中点，
∴OF 为△BDE 的中位线，即DE ∥OF ， 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，
∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．
24．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。