【全国百强校】浙江省嘉兴市第一中学2015-2016学年高二12月月考数学试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. “直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 ( )
A ．充要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】C
考点：1、充分条件与必要条件的判定；2、直线与平面垂直的性质与判定定理．
【易错点睛】直线和平面垂直的判定定理是判定直线和平面垂直的理论依据，它可以将要证线面垂直问题，转化成证线线垂直问题．定理中的三个条件：两个线线垂直和一个相交条件推得结论．三个条件缺一不可，尤其是最后一个——两条相交直线这一条件极易忽视．
2.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是( )
【答案】C
【解析】
试题分析：当0a >时，两直线均表示增函数，在y 轴上的截距一个为0，一个大于零；当0a <时，两直线表示的函数一增一减，增函数的截距小于零，减函数截距为0，综上可知选C ．
考点：函数的方程与图象．
3.已知m n ，表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
C ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
【答案】C
【解析】
试题分析：A 中，两直线,m n 可能平行也可能相交或异面，故A 错；B 中，直线与α可能平行也可能在平面
α内，故B 错；C 中，由线面垂直的定义可知C 正确；D 中，直线n 可能与面α相交，也可能平行，还可能在面α内，故D 错，故选C ．
考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．
4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
俯视图侧视图正视图1
2
1
1
A
．2+ B ．
2+
．4+ D ．5
【答案】
B
考点：1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的表面积．
5.已知直线l 过点(1,2)P -,且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为( )
A ．30x y --=
B ．1020x y x y ++=+=或
C ．3020x y x y --=+=或
D ．103020x y x y x y ++=--=+=或或 【答案】C
【解析】
试题分析：当直线过原点及()1,2-时，直线为20x y +=；当直线不过原点时，设直线为
1x y a a +=-，代入()1,2-，得3a =，所以方程为30x y --=，故选C ．
考点：直线的方程．
【易错点睛】对于直线的截距方程1x y a b
+=中应注意：（1）其中a 为直线在x 轴上的截距，b 为直线在y 轴上的截距；（2）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．因此在解题过程设截距方程时，要分直线过原点和不过原点讨论，否则易造成漏解．
6.四面体ABCD 中，各棱长相等，M 是CD 的中点，则直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为( )
A.32 B ．2
1 C ． 36 D ．3
2 【答案】
D
考点：1、直线与平面的所成角；2、正四面体的性质；3、空间向量的应用．
7.两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为( )
A 、
B 、
C 、
、
【答案】C
【解析】
试题分析：由圆的方程知，圆1C 的圆心为(,0)a -，半径为2，圆2C 的圆心为(0,)b ，半径为1．因为两圆有三条公切线，则两圆外切，所以12||3C C ==，即229a b +=．因为222a b ab +≥，所以
6-3--3
222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，所以a b -≤+≤，故选C ．
考点：1、圆与圆的位置关系；2、基本不等式．
8.一束光线从点A （－1, 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：22231x y =(-)+(-)上一点的最短路程( )
A 、 4
B 、 5
C 、32－1
D 、26
【答案】A
考点：直线与圆的位置关系．
9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ，将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6c ，如果不计容器的厚，则球的体积为( )
A.35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π
D ．320483
cm π 【答案】A
【解析】
试题分析：设正方体上底面所在平面截球可得小圆记为M ，则圆心M 为正方体上底面正方形的中心，如图所示．设球的半径为R ，根据题意知球心到上底面的距离为2R -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆的性质，得222
(2)4R R =-+，解得5R =，所以该球的体积为33445005333V R πππ==⨯=3cm ，故选A ．
考点：球的体积．
10.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =,E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )
A ．|BM |是定值
B ．点M 在某个球面上运动
C ．存在某个位置，使1
DE AC ⊥ D ．存在某个位置，使MB 平面1A DE 【答案】
C
考点：1、空间直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质定理；2、余弦定理；3、空间角．DEDE
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11.如果两条直线1l :260ax y ++=与2l :(1)30x a y +-+=平行，那么a 的值为 .
【答案】1-
【解析】
试题分析：由题意，得(1)2a a -=，解得1a =-或2a =，而当2a =时，两直线重合，所以1a =-． 考点：两直线平行的充要条件．
12.已知()0,0,0O ，()2,2,2A --,()1,4,6B - ,8(,)8C x -， ,若O A B C 、、、四点共面，
则x = ． 【答案】8
【解析】
试题分析：由条件，得(2,2,2)OA =-- ，(1,4,6)OB =- ，(,8,8)OC x =-
，因为O A B C 、、、四点共面，则有(,8,8)(2,2,2)(1,4,6)x λμ-=--+-，即2824826x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩
，解得8x =．
考点：共面问题．
13.空间四边形ABCD 中，AB CD ＝且AB 与CD 所成的角为30°，E F 、分别为BC AD 、的中点，则EF
与AB 所成角的大小为 .
【答案】15度或75度
【解析】
试题分析：取AC 的中点G ，连结EG FG 、，则12EG AB ，12
GF CD ，又AB CD ＝，所以EG FG ＝，所以GEF ∠（或它的补角）为EF 与AB 所成的角，EGF ∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角．因为AB 与CD 所成的角为30︒，所以0EGF ∠︒＝3或150︒，则当30EGF ∠︒＝时，75GEF ∠︒＝；当150EGF ∠︒＝时，15GEF ∠︒＝，故EF 与AB 所成的角为15︒或75︒．
考点：异面直线所成的角．
【方法点睛】异面直线所成的角的范围为]900︒︒，（，而其求法是通过平移放在某三角形内求角，但是应注意平移后所得到的角可能是两条异面直线所成的角也可能是其补角．在解题过程中通常通过中位线进行平移．
14.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22
(1)()4x y a -+-=相交于A B 、两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = .
【答案】4
考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离．
15.已知实数,x y 满足()2
223x y -+=，则22)1(-+y x 的最大值为 .
【答案】8+【解析】
试题分析：22)1(-+y x 的最大值即为圆C ：()2
223x y -+=上的点到定点(0,1)P 的距离的平方的最大值，
即为22(||)8PC r +=+=+．
考点：1、圆的方程；2、两点间的距离公式．
【一题多解】根据题意设2(02)x y θθπθ
⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩
，则222(1)(2)x y θ+-=
＋21)θ-
＝8)8θθθα-+=++，所以22max [(1)]x y +-
＝8+
16.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论正确的序号
是 .
①11DC D P ⊥ ②平面11D A P ⊥平面1A AP
③1APD ∠的最大值为90 ④1AP PD +
【答案】①②④
考点：1、正方体的性质；2、空间直线与直线、平面与平面垂直的判定．
三、解答题（第17,18题每题10分，第19题12分，第20题14分）
17.如图，ABC ∆的顶点(3,2)A ，C ∠的平分线CD 所在直线方程为10y -=，AC 边上的高BH 所在直线方程为4290x y +-=.
（1）求顶点C 的坐标；
（2）求ABC ∆的面积.
【答案】（1）(1,1)C ；（2）1．
∴||AC ==
又∵点B 到直线AC 的距离
d = ∴1||12
ABC S AC d ∆==. 考点：1、直线的斜率；2、直线的方程；3、点到直线的距离；4、两点间的距离公式． 【知识点睛】常见求三角形面积公式有：①h a s 底21=；②A bc B ac C ab s sin sin sin 212121===；③r c b a s )(++=21（其中r 为三角形的内切圆半径）；④R
abc s 4=（其中R 为三角形的外接圆半径），在解答过程中根据题设条件选择．
18.如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在线段AD 上，GD AG 31=，GC BG ⊥，2==GC BG ，E 是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为3
8．
（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；
（2）棱PC 上是否存在点F ，使GC DF ⊥，若存在，求FC
PF 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1（2）3PF FC
=．
考点：1、四棱锥的体积；2、空间直线与直线所成的角；3、空间直线与直线垂直的判定；4、空间向量的应用．
19.如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．
B F
P A F C '
B '
A E
（1）求证：//'C B 平面PE A '．
（2）设λ=PB
AP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？ 【答案】（1）见解析；（2
）λ=
． 【解析】 试题分析：（1）先由条件中的平行关系可得FC 平面A PE '，再由条件中面面垂直关系可得B F ' 平面
A PE '，从而得平面
B CF ' 平面A PE '，进而使问题得证；
（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标及相应向量，然后分别求出平面CA B ''与PA B ''的一个法向量，再用夹角角公式得到关于λ的方程求解即可．
试题解析：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．
平面''B CA 的一个法向量)1,,1
(-=λλm ，
平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ． 2160cos 311|11|||||22=︒=⋅++-+=λλ
λλ
n m ， 化简得0988
1
22=+--+λλλλ，解得2
537±=λ． 考点： 1、空间直线与平面平行的判定；2、二面角；3、空间向量的应用．
【方法点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过两个半平面的法向量的夹角间接求解．
20.已知圆心为M 的圆方程为22
:(4)4x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的
切线PA PB ，，切点为A B ，.
（1）当切线PA 的长度为P 的坐标；
（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由.
（3）求线段AB 长度的最小值.
【答案】（1）(0,0)P 或168(,)55P ；（2）定点(0,4)，84(,)55
；（3．
（3）因为圆N 方程为22
2
244(4)()()24b b b x b y ++--+-=， 即22
2(4)40x y bx b y b +--++=，
圆M ：22(4)4x y +-=，即228120x y y +-+=，
②-①得：圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=，
考点：1、直线与圆的位置关系；2、圆与圆的位置关系；3、点到直线的距离；4、弦长公式．
【方法点睛】过圆外一点P向圆作切线，求切线长问题，常常在以点P、切点、圆心为顶点的三角形内利用勾股定理求解．当圆外点P在某直线上运动时，求何时切线最短，并求最小值问题，同样在该三角形内利用勾股定理分析，半径为定值，要使切线最短只需点P与圆心连线最短即可，所以过圆心向直线作垂线垂足即为点P，此时切线长最短．
高考一轮复习：。