高中物理学习细节之曲线运动二：竖直平面内的圆周运动

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，中学物理中常研究物体通过最高点和最低点的两种情况。

下面将对这类临界状态问题进行综合分析。

绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。

下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：
(1) 临界条件
小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅
由小球的重力来提供。

根据牛顿第二定律得，mg ＝m v 2临界
R
，即v 临界＝Rg .
这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。

(2) 小球能通过最高点的条件：
当v >Rg 时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。

当v ＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

(3) 小球不能通过最高点的条件：
当v <Rg 时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。

（如图）
论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：
(1) 临界条件
由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v临界＝0。

此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：
当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力F N，其大小等于小球的重力，即F N＝mg.
当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<F N<mg.
当v＝Rg时，F N＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。

由小球恰能做圆周运动即得v临＝0
(1) 定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。

(2) 确定临界点：v临＝gr，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F N表现为支持力还是拉力的临界点。

(3) 研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。

(4) 受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。

(5) 过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。

【名师点睛】
(1) 解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模
(2) 绳模型和杆模型通过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。

(3) 对杆模型，在最高点时，有时不知是支撑力或拉力，此时可假设，然后根据结果的正负再确定。

【典例探究】
【典例1】如图所示，质量为m＝0.2 kg的小球固定在长为L＝0.9 m的轻杆一端，杆可绕O点的水平转轴在竖直平面内转动。

取g＝10 m/s2，求：
(1) 当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2) 当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力的大小与方向。

【答案】(1) 3 m/s (2) 6 N 方向向上 1.5 N 方向向下
【典例2】用长L ＝ 0.6 m的绳系着装有m ＝ 0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s2。

求：
(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？
(2) 若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？
【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上
【典例3】 如图所示，两段长均为L 的轻质线共同系住一个质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间距也为L ，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v ，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v ，则此时每段线中张力大小为( )。

A. 3mg
B. 23mg
C. 3mg
D. 4mg
【解析】 当小球到达最高点时速率为v ，有mg ＝m v 2
r
，
当小球到达最高点速率为2v 时，应有F ＋mg ＝m 2v
2
r
，
所以F ＝3mg ，此时最高点各力如图所示，
所以F T ＝3mg ，A 正确。

【答案】 A
【典例4】 在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示。

为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )
A.
M ＋m
mr g B. M ＋m
mr g C. M －m
mr g D. Mg mr
【答案】B。