同济大学（高等数学）-第三篇-常微分方程

同济大学（高等数学）-第三篇-常微分方程
第三篇常微分方程
第六章常微分方程
函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．
在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．
第一节微分方程的概念
下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．
1．1 引例
引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程．
解设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得
x dx
dy 2=. 两边同时积分得
2y x c =+ （c 为任意常数）．
又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为
21y x =+．
引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系．
解依照冷却定律，冷却方程为 kt dt
dT -= （k 为比例常数），所求函数关系满足0t =，100T =．
以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．下面我们介绍有关微分方程基本概念．
1.2 微分方程的基本概念
定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方
程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．
例如下列微分方程中，
（1） 13=-'x y ；（2）sin 0dy y xdx +=；（3）21()20y y x '''++= （4）22221u u x y
+=??；（5）cos 3dy y x dx +=．都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．本课程只讨论常微分方程．
定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．
在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．
一般地，n 阶微分方程记为：
0) , , , ,()(='n y y y x F ．
定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ?代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ?是微分方程的隐式解．
定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．
引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．
设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是00y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00y y x x ==，10
y y x x ='=，上述
这些条件叫做初始条件．
定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00
y y x x ==的特解问题称为一阶微分
方程的初值问题．记作
=='=00
),(y y y x f y x x ．
例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程
02=+''x a x
的解．
解 at c at c x sin cos 21+=的一阶导数x '和二阶导数x ''分别是at a c at a c x cos sin 21+-='，
at a c at a c x sin cos 2221--='' ()at c at c a sin cos 212+-=．把x '和x ''代入微分方程中，
()++-at c at c a sin cos 212()0sin cos 212≡+at c at c a ．
因此，at c at c x sin cos 21+=是微分方程的解．
如果1c 、2c 是任意常数，则解at c at c x sin cos 21+=是二阶微分方程02=+''x a x 的
通解．
例2 已知x
e x C C y -+=)(21是微分方程0222=++y dx dy dx y d 的通解，求满足初始条件40==x y ，20-='=x y 的特解．
解由题意得
x x e x C C C e x C C y ----='+=')(])[(21221，把40==x y ，20-='=x y 分别代入得
-=-=2
4121C C C , 即
==242
1C C ，于是微分方程的特解为
x e x y -+=)24(．
习题 6-1
1．指出下列各微分方程的阶数．
（1）d d 0x y y x +=；（2）2()20x y y xy ''-+=；
（3）2y yy y x '''+-= ；（4）2()y y y x y ''''''+=+；
(5)352cos y y y y ''''-=-； (6) 22x y dx
dy +=；（7）022=++C Q dt dQ R dt Q d L ；（8）θρθ
ρ2sin =+d d ．
2. 验证下列函数是所给的微分方程的解．
（1）sin ,cos x y xy y x x
'=
+=；（2）,20x y e y y y '''=-+=；（3）2221,1y x y x y xy x '=-=++ ；（4）2221,(1)2y x y y x y x '=+=-++． 3．验证函数1x y Ce x -=+-是微分方程y y x '+=的解，并求满足初始条件02x y ==的
特解．
4．写出下列条件确定的曲线)(x y y =所能满足的微分方程．
（1）曲线在任一点),(y x M 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍．（2）曲线在任一点),(y x M 处的切线斜率与该点横坐标成正比．
5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的Malthus 人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．t 表示时间（变量），x 表示人口总数（依赖于时间变化），k 表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件．
6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢，渐渐地，小树长高了并且长得越来越快，几年之后，绿荫底下已经可乘凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来．如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为),(t h 0>k 的是比例常数）
第二节可分离变量微分方程
本节我们讨论的是一阶微分方程),(y x f y ='的解法．
2.1 可分离变量微分方程
引例微分方程y x e dx
dy -=，显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形： dx e dy e x y =，
此时，方程右边是只含x 的函数的微分，方程左边是只含y 的函数的微分，对上式积分，得
=dx e dy e x
y ，
即 C e e x y +=（C 为任意常数）．
这就是微分方程的通解．
一般地，一阶微分方程),(y x f y ='，如果能变形为
dx x f dy y g )()(=
的形式，则方程),(y x f y ='称为可分离变量的微分方程．此处，)(),(y g x f 为连续函数．
根据以上所述，解可分离变量的微分方程),(y x f y ='的步骤如下：第一步：分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式；
第二步：两端积分：??=dx x f dy y g )()(；
第三步：求得微分方程的通解C x F y G +=)()(，其中)(),(x F y G 分别为)(),(x f y g 的原函数．
例1 求微分方程2dy xy dx
=的通解．解将方程分离变量，得到 dy y
=xdx 2，两边积分，即得12||ln C x y += ，即2112x C C x e e e
y ±=±=+．由于1C e ±是任意非零常数，又0=y 也是方程的解，故原方程的通解为
2x Ce y =（C 为任意常数）
．注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：。