数学(北师大版)必修一教学设计：3-4对数 (2) Word版含答案

教学设计
对数及其运算
导入新课
思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．
2．指数式与对数式的互化． a b ＝N ⇔log a N ＝b . 3．重要公式：
(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式a log a N ＝N . 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕
思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． a m ·a n ＝a
m ＋n
；a m ÷a n ＝a
m －n
；(a m )n ＝a mn ；m
a n ＝n
m
a .
从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？
(2)如我们知道a m ＝M ，a n ＝N ，a m ·a n ＝a m ＋
n ，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？ (3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.
(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ (6)上述结论能否推广呢？
(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题 (2)来说明．
(2)如a m ·a n ＝a m ＋
n ，设M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝a m ＋
n ，由对数的定义得到 M ＝a m ⇔m ＝log a M ，N ＝a n ⇔n ＝log a N ， MN ＝a m
＋n
⇔m ＋n ＝log a MN ，
log a MN ＝log a M ＋log a N . 因此m ＋n 可以用对数式表示．
(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n ，所以m －n ＝log a M N
.
又由M ＝a m ，N ＝a n ，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a M
N ，
即log a M
N
＝log a M －log a N .
设M ＝a m ，则M n ＝(a m )n ＝a mn .由对数的定义， 所以log a M ＝m ，log a M n ＝mn .
所以log a M n ＝mn ＝n log a M ，即log a M n ＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ，① log a M
N ＝log a M －log a N ，②
log a M n ＝n log a M (n ∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：
性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；
性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．
(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：
即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a ≠1，M 1M 2M 3…M n 均大于0)．
(7)纵观这三个性质我们知道，
性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
性质③从左往右仍然是降级运算．
利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．
应用示例
思路1
例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： (1)log a
(x 2yz )；(2)log
a x 2yz ；(3)log a x
y 2z
. 活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分．
对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积．
对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积．
解：(1)log a (x 2yz )＝log a x 2＋log a y ＋log a z ＝2log a x ＋log a y ＋log a z . (2)log a x 2
yz ＝log a x 2－log a (yz )＝2log a x －log a y －log a z .
(3)log a
x
y 2z ＝log a x －log a (y 2z )＝1
2
log a x －2log a y －log a z .
点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算． 变式训练
1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( )． ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ) ②log a x －log a y ＝log a (x －y ) ③log a x
y ＝log a x ÷log a y ④log a (xy )＝log a x ·log a y
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：A
2．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N ＋，下列式子正确的个数为( )． ①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n ③log a x ＝－log a 1
x
④log a x log a y ＝log a x y ⑤n
log a x ＝1n log a x ⑥1n
log a x ＝log a n x ⑦log a x n ＝n log a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y
A ． 3
B ．4
C ．5
D ．6
答案：B 例2 计算：
(1)log 3(92×35)；(2)15
lg100.
活动：学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算结果的准确性．
解：(1)log 3(92×35)＝log 392＋log 335＝log 334＋5log 33＝4＋5＝9； (2)lg 15
100＝15lg 102＝15×2＝2
5.
例3 计算：
(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 243
lg 9； (3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2
.
解：(1)解法一：lg 14－2lg 7
3＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2
＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
解法二：lg 14－2lg 7
3＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18
＝lg 1＝0. (2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.
(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2
＝
lg (33)1
2＋lg 23－3lg (10)1
2
lg 3×2210
＝3
2(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1
＝32.
点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视．
例4 科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lg I ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
6.9＝0.6lg I 1，
7.8＝0.6lg I 2.
因此0.6(lg I 2－lg I 1)＝0.9， 即lg I 2
I 1＝1.5.
所以I 2
I 1
＝101.5≈32.
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．
思路2
例1 求下列各式的值．
(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)；(4)lg 5
100.
解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；
(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×
7＋log 225＝2×7＋5＝19； (4)lg 5
100＝15lg 102＝25lg 10＝2
5
.
解法二：(1)设log 525＝x ，则5x ＝25＝52，所以x ＝2；
(2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0； (3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，
或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19； (4)设lg 5
100＝x ，则10x ＝15
100＝25
10，所以x ＝2
5
.
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式．
例2 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)．
解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2；
(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， 所以2log 525＋3log 264＝22；
(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2. 点评：要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用． 例3 计算下列各式的值：
(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8
.
活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．
(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1
2(2lg 7＋lg 5)
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋1
2lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12
. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427
－34
23lg 2 ＋lg 7 5
＝lg
42×757×4
＝lg(2×5)＝lg 10＝1
2.
(2)解法一：lg 52＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
解法二：lg 52＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(1－lg 5)2
＝2lg 10＋lg 5[2(1－lg 5)＋lg 5]＋(1－lg 5)2＝2＋lg 5(2－lg 5)＋(1－lg 5)2 ＝2＋2lg 5－(lg 5)2＋1－2lg 5＋(lg 5)2＝3.
(3)解法一：lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝1
2
(lg 2＋lg 9－lg 10)
lg 1.8
＝lg
18
102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12
lg 2＋lg 3－
12lg 18
10
＝12lg 2＋lg 3－122lg 3＋lg 2－1＝12(2lg 3＋lg 2－1)2lg 3＋lg 2－1
＝12.
点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值．
例4 已知a ，b ，c 均为正数，3a ＝4b ＝6c ，求证：2a ＋1b ＝2
c
.
活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a ，b ，c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a ＝4b ＝6c ＝k (k ＞0)，则a ，b ，c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．
证法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ， 则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1
log 4k ＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，
右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c
.
证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg 3a ＝lg 4b ＝lg 6c ，a lg 3＝b lg 4＝c lg 6. 所以c a ＝lg 3lg 6＝log 63，c b ＝lg 4lg 6＝log 64.又2c a ＋c b ＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2
c
.
点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．
知能训练
1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y )，log a (x －y )表示下列各式：
(1)log a 3
x y 2z ；(2)log a ⎝
⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2；(3)log a (2
132
xy z -)；(4)log a xy x 2－y 2；
(5)log a ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y x －y ·y ；(6)log a ⎣⎡⎦⎤y x (x －y )3. 解：(1)log a 3
x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝1
3
log a x －(2log a y ＋log a z )
＝1
3
log a x －2log a y －log a z ； (2)log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ·4z 3y 2＝log a x ＋log a
4
z 3y 2＝log a x ＋1
4
(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋3
4log a z ；
(3)log a (213
2
xy z -)＝log a x ＋log a y 12
＋23
log a z
-
＝log a x ＋12log a y －2
3
log a z ；
(4)log a
xy
x 2－y 2
＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y ) ＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )； (5)log a ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y x －y ·y ＝log a x ＋y x －y ＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log a y ； (6)log a [y
x (x －y )]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y )．
2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )． A.43
B ．8
C ．18
D.12
分析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝36
2＝12
2，所以f (8)＝12
2log 2＝1
2.
解析：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝1
6log 2x .
所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝1
2.
答案：D
拓展提升
已知x ，y ，z ＞0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求11
lg lg y z
x
+·11lg lg z x
y
+·
11
lg lg x y
z +的值．
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于
所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .
解：令11lg lg y z
x
+·11lg lg z x
y
+·
11
lg lg x y
z +＝t ，则
lg t ＝⎝⎛⎭⎫1lg y ＋1lg z lg x ＋⎝⎛⎭⎫1lg z ＋1lg x lg y ＋⎝⎛⎭⎫1lg x ＋1
lg y lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg y lg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝
－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x
lg x
＝－3， 所以t ＝10－
3＝
1
1 000
即为所求． 课堂小结
1．对数的运算法则．
2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用． 3．对数与指数形式比较：
习题3—4 A 组6,7,8.
设计感想
在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
(设计者：卢岩冰)。