直梁弯曲教案

【课堂探析】
考点一：平面弯曲的概念
例：工程中的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁的 。

解题分析：纵向对称面：工程中的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面。

纵向对称平面是重要概念，有利于理解平面弯曲，区别组合变形。

基础再练：
悬臂梁受集中力P 作用，P 力方向与截面形状如下图，试问以下各梁是否发生平面弯曲。

(1)_____________ (2)_____________ (3)________________
考点二：梁指定截面上的剪力和弯矩
例1：如下图悬臂梁， 1-1截面剪力1s F ＝ kN ，弯矩1M ＝ kN ·m 。

解题分析：求指定截面剪力和弯矩，能够用基本方法——截面法，也能够用简便方法——计算剪力和弯矩的规律。

利用规律：由1-1截面右侧的外力直接求出,
kN F s 2010251=+⨯=
m kN M ⋅-=⨯-⨯⨯-=302101251
答案：20 -30
例2：某简支梁受荷载后弯矩图如下图，则力P ＝ kN 。

解题分析：
方法一：通过A 支座反力计算。

由弯矩图可知)(40↓-=kN F Ay ，又由平衡方程得2
2120P
F Ay +-
=,所以得40=P kN
方法二：使用叠加法求弯矩的方法。

将120kNm 的弯矩和P 分别作用在梁上得如下弯矩图 所以
40602
-=-P
, 得 40=P kN 。

2 m
1
1 P =10 kN
q =5 kN/m 120 kN ·m
P
B A
40 kN ·m 120 kN ·m
1 m
1 m
40 kN ·m
120 kN ·m
60kN ·m
120 kN ·m
P/2
答案：20
基础再练：
1．试计算以下各梁指定横截面的剪力和弯矩。

2．某直梁在荷载作用下处于平衡状态，假如1－1截面左侧弯矩M左＝20 kN·m，
右侧M右＝30 kN·m，则此梁在1－1截面必作用有荷载，其数值为。

教学补充
时针转向，则弯矩图向上突变。

（5）在剪力为零的截面上有弯矩的极值。

绝对值最大的弯矩总是出现在：剪力为零的截面上或集中力作用处或集中力偶作用处。

利用上述规律，能够不列梁的内力方程，而简捷地画出梁的内力图。

其方法是：以梁上的界点将梁分为若干段，求出各界点处的内力值，最后根据上面归纳的特点画出各段内力图。

【课堂探析】
考点三：梁的内力图
例：如下图，F=6kN，q=5kN/m，利用规律画出以下图中梁的剪力图和弯矩图
解：（1）求支座反力
ΣM A(F)=0 F NB×8-6×4-5×
4×10=0
F NB=28KN(↑)
ΣM B(F)=0 -F Ay×8+6×4-5
×4×2=0
F Ay=-2kN(↓)
校核：ΣFy=-2-6+28-5×
4=0（准确）
（2）作剪力图和弯矩图，如
下图
基础再练：作图示梁的受力
图。

教学补充
2
8
20
F S图（kN）
8
40
M 图（kN.m）
F=6kN
4m4m
q=5kN/m
4m
A B C F Ay F NB
D
y c ——组合截面对z 轴的形心坐标； z c ——组合截面对y 轴的形心坐标； A i ——组合截面各局部的截面面积； y i ——组合截面各局部对z 轴的形心坐标； z i ——组合截面各局部对y 轴的形心坐标； （3）截面二次矩（惯性矩）
将平面图形分成无数多个微小面积，用每一块微小面积乘以其形心到某一坐标轴距离的平方，再将这些乘积叠加起来，这个值就称为平面图形对该轴的截面二次矩。

截面二次矩的平行移轴公式
简单组合图形截面二次矩 Z Z Z I I I 21+= 12
11A a I I Z += 【课堂探析】
简单组合图形的形心、面积矩、惯性矩的计算
例1：Z C 为矩形截面的形心轴，则矩形截面图形对图示三根相互平行轴的二次矩为 。

A.32Z Z ZC I I I >>
B.ZC Z Z I I I >>32
C.23Z ZC Z I I I >>
D.ZC Z Z I I I >>23
解题分析：根据平行移轴公式12
11A a I I Z +=可知，对一组相互平行轴的二次矩中，对形心轴的二次矩最小，到形心轴越远的轴的二次矩越大。

根据图示ZC Z Z I I I >>23。

答案：D
例:2：求图示平面图形对z 轴的形心坐标y c 。

（图中尺寸单位是cm ） 解题分析：
使用负面积法，直接代入公式
A
y A y i
i
c
⋅
=
∑
平面图形对z 轴形心坐标y c
8002010030
800100
c y ⨯-⨯=
-
=18.57 cm
基础再练：
1．5个边长均为a 的正方形，如图放置，则整个图形的形心坐标y C 为 。

2．求图示平面图形的形心座标y c 。

教学补充
一截面尺寸如下图，其中圆D=12mm ，求图形的形心位置。

（单位为mm ）。

z C c
y
o
y c
z
40
10
5
5 5
10
解题分析：（1）求最大弯矩
最大正弯矩 6c M = kN ·m 最大负弯矩 4B M = kN ·m （2）校核强度
经比较，需验算c B σσ-
+
、
33412
6106010606001010
c
σ---⨯⨯⨯==⨯⨯ MPa []100σσ<=压压 MPa
33
412
4106010406001010B
σ-+-⨯⨯⨯==⨯⨯ MPa
[]40σσ≤=拉拉 MPa
故梁的强度满足要求
基础再练： 1．如下图为T 型铸铁梁。

已知：F 1=10 kN ，F 2=4 kN ，铸铁的许用拉应力[σ拉]=36 MPa ，许用压应力[σ压]=60 MPa ，截面对形心轴z 的惯性矩I z =763 cm 4，y 1=52 mm 。

试校核梁的强度。

z C
30
60
D
C
P 2=8kN P 1=16kN
1m
1m
0.5m
B A
6 4
M 图（kN ·m ）
3
3
2．一矩形截面梁如下图。

已知F =2 kN ，横截面的高度比h /b =2，材料的许用正应力[σ]=8 MPa ，试选择横截面的尺寸。

考点五：提升梁的弯曲强度的措施
例1：提升梁的弯曲强度的措施主要有两个：选择合理的 和降低 的最大值。

解题分析：根据梁的弯曲正应力的强度条件[]σσ≤=
z
W M max
max ，可知提升梁的弯曲强度，应从如何降低梁内最大弯矩M max 的数值及提升梁弯曲截面系数W z 的数值着手。

答案：截面形状 弯矩
例2 ：用铸铁制作的悬臂梁，在竖向荷载作用下，采用 截面最合理。

A ．工字形 B ．矩形 C ．T 形 D ．⊥形 解题分析：铸铁是脆性材料，抗压强度远大于抗拉强度，所以常选择不对称的T 形截面，又因悬臂梁受竖向向下荷载作用，故上部受拉，使中性轴靠近受拉一侧，所以选T 形截面。

答案：C
基础再练：
1．如图矩形截面梁“立放”与“平放”时的最大正应力之比为 。

2．如下图的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F 。

则当F 增大时，破坏的情况是（ ）。

（A ）同时破坏； （B ）①梁先坏； （C ）②梁先坏。

3．为了提升混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。

若矩形截面梁的弯矩图如下
(1)
(2)
F
F
【课后测练】
一．选择题
1． 图示简支梁，qL =P ，中间截面B 上的内力（ ）
A ． M=0，FS=0
B ． M=0，FS ≠0
C ． M ≠0，FS=0
D ． M ≠0，FS ≠0 2． 等强度梁的截面尺寸（ ） A ．与载荷和许用应力均无关，
B ． 与载荷无关，而与许用应力相关
C ． 与载荷和许用应力均相关
D ．与载荷相关，而与许用应力无关
3．图示简支梁，当集中力偶在CB 段上移动时，AC 段任一截面上的（ ） A ．M 改变，FS 不变 B ．M 不变，FS 改变 C ．M 、FS 都改变 D ．M 、FS 都不变
4．相同截面积的圆形、矩形、工字形截面梁，它们的抗弯承载力从高到低排序，准确的是（ ）。

A ．圆形、矩形、工字形
B ．矩形、圆形、工字形
C ．矩形、工字形、圆形
D ．工字形、矩形、圆形 二．判断题
（ ）1．平面弯曲时，中性轴必通过截面的形心。

（ ）2．梁弯曲时，最大弯矩一定发生在剪力为零的截面上。

（ ）3．设某段梁承受正弯矩的作用，则上部和下部的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。

（ ）4．中性轴是梁的横截面与中性层的交线。

梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。

（ ）5．在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max
不一定出现在max
M
的截面上。

三．填空题
1．梁的三种截面形状和尺寸如下图，则其抗弯截面系数分别为 ， 和 。

2．简支梁如下图，则
截面1-1剪力F s1= ，弯矩M 1= ； 截面2-2剪力F s2= ，弯矩M 2= ； 截面3-3剪力F s3= ，弯矩M 3= ；
H B b
b H H h
h B B z z z
3.如下图悬臂梁A 、B 、C 是1—1截面上的三点，则截面上最大拉应力在 点。

四．计算题
1．图所示外伸梁受均布荷载作用，截面尺寸b ×h ＝300 mm ×400mm 。

求该梁最大正应力。

2．图示矩形截面钢梁，承受集中荷载F 与均布荷载q 的作用，试确定截面尺寸b 。

已知F=10KN ，q=5N/mm ，h=2b ，许用应力[σ]=160MPa 。

C
B
A
8 m 2 m
8 kN/m
h
b
3．倒T 形截面悬臂梁受力及横截面尺寸如下图，已知材料的许用拉应力[σ]+
=40MPa,材料的许用压应力[σ]_
=80MPa ，Iz =1.2×10 8 mm 4。

试校核梁的强度。

4．求如下图平面图形对z 轴的惯性矩Iz 。

（图中尺寸单位是cm ）
z C c y o
y c
z
40
10
5
5 5
10
【同步检测】
一．选择题
1．右端固定的悬臂梁，其M 图如图，则在x =2m 处（ ） A ． 既有集中力，又有集中力偶 B ． 既无集中力，也无集中力偶 C ． 只有集中力 D ． 只有集中力偶 2． 图示简支梁AB 上的集中力P 可在梁上任
意移动，设其弯曲正应力强度条件为，M /W ≤[σ],则其中M 为（ ）
A ．PL
B ．PL /2
C ．PL /4
D ．PL /8 3．中性轴是梁的（ ）的交线
A ．纵向对称面与横截面
B ．纵向对称面与中性层
C ．横截面与中性层
D ．横截面与顶面或底面 4．在梁中力偶作用处，其剪力图、弯矩图为（ ） A ．剪力图突变，弯矩图无变化 B ．剪力图无变化，弯矩图突变 C ．剪力图、弯矩图均无变化 D ．剪力图、弯矩图均突变 二．判断题
（ ）1．若剪力图为一条不等于零的水平线，则弯矩图必为斜直线。

（ ）2．等截面直梁，最大拉应力、最大压应力必相等。

（ ）3．若梁的横截面具有两根对称轴，则横截面的
形心必位于该两对称轴的交点。

（ ）4．梁的横截面如下图，其抗弯曲截面系数为
6
62
2bh BH W z -
= 。

（ ）5．平面图形对过形心轴的二次矩为零。

三．填空题
1．悬臂梁如下图，则
截面1-1剪力F s1= ，弯矩M 1= ； 截面2-2剪力F s2= ，弯矩M 2= ； 截面3-3剪力F s3= ，弯矩M 3= ； 2．如以下图梁截面高度为80mm ，B 点的正应力σB =25MPa ，则其最大正应力= MPa 。

H B b
h
z
y
z
y C
3．如上图中矩形截面（b*3b ）悬臂梁,竖放时,F 的许可值是90KN ，若平放,F 的许可值= KN 。

4.图示直径为d 的圆截面对Z 轴的惯性矩I z = 。

（C 为圆心） 5.某平面图形如题31图所示，Z C 为其形心轴，则该图形中阴影局部对Z C 轴的面积矩为 mm 3。

四．计算题
1．试求如下图矩形截面简支梁1-1横截面上a 、b 两点的正应力。

2．如下图矩形截面梁ABC 受均布荷载q 作用，已知材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试求许
可分布荷载q 。

3．求如下图平面图形的形心座标y c 。

150
10001000
kN
81200
75
A B
b a
1
14010
A B
C
q 2m
2m
60mm
100m m。