人教【数学】数学相似的专项培优 易错 难题练习题附详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.
（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；
（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设，
则a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12；
∴2b=8，b2=16
∵a=6，2b=8，c=12，b2=16
∴2bc=96，ab2=6×16=96
∴2bc=ab2
a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=6ab，
∴x2=6×4×6，
∴x=12．
【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。

P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.
（1）在△ABC中，AB＝ ________；
（2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

【答案】（1）10
（2）5
（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.
∴AC∥PN，∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB∽△ABC.
当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB
此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6
而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.
所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.
【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴，
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.
3．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．
【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BM= = = ，
②当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN= = =5，
综上，BN= 或5；
（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示．
（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．
∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AF，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF2=BE2+DF2，
∴E、F是线段BD的勾股分割点．
②证明：如图4中，连接FM，EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，
∴△AFE∽△DFN，
∴∠AEF=∠DNF，，
∴，∵∠AFD=∠EFN，
∴△AFD∽△EFN，
∴∠DAF=∠FEN，
∵∠DAF+∠DNF=90°，
∴∠AEF+∠FEN=90°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM= AF，AN= AE，
∵S△AMN= AM•AN•sin45°，
S△AEF= AE•AF•sin45°，
∴ =2，
∴S△AMN=2S△AEF．
【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；
（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一直角三角形的目的；
（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°，AH=AF，利用SAS判断出△EAH≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，故∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，根据等量代换得出结论；②证明：如图4中，连接FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠AEF=∠DNF， AF∶DF =EF∶FN ，根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN，根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°，得出∠AEF+∠FEN=90°，即∠AEN=90°，从而判断出△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF，AN= AE，从而分别表示出S△AMN与S△AEF，求出它们的比值即可得出答案。

4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D （m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标；
（2）记正方形DEFG的面积为S，
① 求S关于n的函数关系式；
② 当DF∥x轴时，求S的值；
（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵点D（m，4）在直线AC上；
∴4= m+8，解得m=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，4）
（2）解：①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，
则EH=|n﹣4|
∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；
②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，∴EH=DH=3，∴n=4+3=7，∴S=（7﹣4）2+9=18
（3）解：∵OB=2OC=16，∴B为（16，0），∴BC为：；
①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．
在△DEM与△EFN中，，∴△DEM≌△EFN（AAS），∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3
∴F为（n﹣4，n﹣3）
∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，∴n= ；
②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，
由①同理可得△DEM≌△GDN，∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴点G纵坐标为1，∴
，∴x=14，∴DN=14+3=17=n﹣4，∴n=21；
③当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，
由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE=DM=3，即n=3；
④当点G落在AC边上时，如图5．
∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴，∴，∴n= ，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．
综上可得，当n= 或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．
【解析】【分析】（1）根据点D在直线AC上；于是将D（m，4）代入直线AC的解析式得出m=-3,从而得出D点的坐标；
（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，根据和y轴垂直的直线上的点的坐标特点及y 轴上两点间的距离，则DH=|n-4|,根据正方形的面积等于边长的平方及勾股定理得出S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，故EH=DH=3，n=7，将n=7代入函数解析式即可得出S的值；
（3）首先找到C点的坐标，得出OC的长度，然后根据OB=2OC=16得出B点的坐标，利用待定系数法得出直线BC的解析式，①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．利用AAS判断出∴△DEM≌△EFN，根据全等三角形对应边相等得出NF=EM=n﹣4，EN=DM=3从而得出F点的坐标，根据F点的纵坐标的两种不同表示方法得出关于n的方程，求解得出n的值；②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，从而得出G点的纵坐标为1，根据点G的纵坐标列出方程，求解得出N的值；③当点F落在AB 边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，OE=DM=3，即n=3；
④当点G落在AC边上时，如图5．首先判断出△DCE∽△OCA，根据相似三角形对应边成比例得出 C E∶ A C = C D∶ O C，从而得出关于n的方程，求解得出n的值，综上所述得出所有答案。

5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN MC的值.
【答案】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线
（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，
∴
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，∴弧AM=弧BM，∴∠ACM=∠BCM，
∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，
∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴，∴ BM2=MN⋅MC ，
又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM，
∵AB=4，∴，
∴ MN⋅MC=BM2=8 ．
【解析】【分析】(1)根据等边对等角得出∠A=∠ACO，运用外角的性质和已知条件得出∠A=∠ACO=∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠PCB+∠OCB=90°，进而求解.
（2）根据等边对等角得出∠A=∠P，再根据第一问中的结论求解即可，
（3）连接MA，MB，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，证出△MBN∽△MCB，得出比例式进而求解即可.
6．如图，抛物线与轴交于A，B两点(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与轴交于点E，联接AD，OD．
（1）求顶点D的坐标（用含的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵，∴顶点D的坐标为(4,-4ｍ)
（2）解：∵
∴点A（6，0），点B(2,0)，则OA＝6，∵抛物线的对称轴为x＝4，∴点E（4，0），
则OE＝4，AE＝2，又DE＝4ｍ，
∴由勾股定理得：，，
又OD⊥AD，∴，则，解得：，
∵m＞0，∴抛物线的函数表达式
（3）解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
则△APH∽△AME，
在Rt△OAD中，，设点P的坐标为，
当△APH∽△AME∽△AOD时，∵，
∴，即，
解得：x＝0，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
②△APH∽△AME∽△OAD时，∵，∴，即
，
解得：x＝1，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或 .
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点D的坐标；
（2）要求抛物线的解析式，只须求出m的值即可。

因为抛物线与x轴交于点A、B，所以令y=0，解关于x的一元二次方程，可得点A、B的坐标，则OA、OD、AD均可用含m的代数式表示；因为OD⊥AD，所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得,将OA、OD、AD代入可得关于m的方程，解方程即可得m的值，则抛物线的解析式可求解；
（3）△AME与△OAD中的对应点除直角顶点D、E固定外，其余两点都不固定，所以分两种情况：
①当△AME∽△AOD时，过点P作PH⊥x轴于点H，易得△APH∽△AME∽△AOD，可得相应的比例式求解；
②当△AME∽△OAD时，过点P作PH⊥x轴于点H，易得△APH∽△AME∽△OAD，可得相应的比例式求解。

7．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D.
（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD.求证：AE＝ED；
（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，
①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；
②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝ AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离.
【答案】（1）证明：∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，
∴∠ADP'＝∠ADP，
∵AE∥PD，
∴∠EAD＝∠ADP，
∴∠EAD＝∠ADP'，
∴AE＝DE
（2）解：①∵DP∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴，
∵旋转，
∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，
∴∠P'AC＝∠D'AB，，
∴△AP'C∽△AD'B
②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，
∵AP：PC＝5：1，
∴AP：AC＝5：6，
∵PD∥BC，
∴ = ，
∵BC＝7，
∴PD＝，
∵旋转，
∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，
∴DF＝D'F＝ D'D，∠ADF＝∠AD'F，
∵cos∠ADF＝＝ = ，
∴∠ADF＝45°，
∴∠AD'F＝45°，
∴∠D'AD＝90°
∴∠D'AM+∠PAD＝90°，
∵D'M⊥AM，
∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，
∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，
∴△AD'M≌△DAP（AAS）
∴PD＝AM＝，
∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，
∴CM＝，
∴点D'到直线BC的距离为
若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，
同理可证：△AMD'≌△DPA，
∴AM＝PD＝，
∵CM＝AC+AM，
∴CM＝3+ ＝，
∴点D'到直线BC的距离为
综上所述：点D'到直线BC的距离为或；
【解析】【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可
得AE＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在
直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比
例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC 的距离.
8．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
【答案】（1）解：当x=0，y=3，
∴C（0,3）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x- ).
将c（0，3）代入得：- a=3，解得a=2，
∴抛物线的解析式为y=-2x2+x+3
（2）解：过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N。

∵OC=3，AO=1，
∴tan∠CAO=3，
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵AC⊥BM,
∴BM的一次项系数为。

设BM的解析式为y= +b,将点B的坐标代入得：，解得b= 。

∴BM的解析式为y= .
将y=3x+3与y= 联立解得：x= ,y= .
∴MC=BM= =
∴∆MCB为等腰直角三角形。

∴∠ACB=45º.
（3）解：如图2所示，延长CD，交x轴于点F，
∵∠ACB=45º,点D是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD>45º.
又∵∆DCE与∆AOC相似，∠AOC=∠DEC=90º,
∴∠CAO=∠ECD.
∴CF=AF.
设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4.
∴F（4,0）.
设CF的解析式为y=kx+3,将F（4,0）代入得4k+3=0，解得k= 。

∴CF的解析式为y= x+3.
将y= x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）或x= .
将x= 代入y= x+3得y= .
∴D（，）
【解析】【分析】（1）易求得C的坐标，利用交点式设出解析式，再把C的坐标代入可求出；
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N.由tan∠CAO=3先求出直线AC的解析式，从而求出BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之间的距离求出MC=BM，进而得出∆MCB的形状，求出答案；
（3）延长CD，交x轴于点F，由∆DCE与∆AOC相似可得出CF=AF，利用勾股定理求出F的坐标，由待定系数法求出CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.。