人教课标版初中八年级数学课精品PPT教学课件-分式的基本性质
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x2
分式的基本性质
1．分数的基本性质是什么？ 2．这一性质对分式成立吗？
3 5
与
12 20
相等吗？
21 28
与
3 4
相等吗？为什么？
3 上下同 4 12 ，12 上下同 4 3（分数的基本性质）
5
20 20
5
3 12 5 20
21 上下同 7 3，3 上下同 7 21（分数的基本性质）
8 x3 yz （1） 20 x2 y2
4x2 y 2xz 4x2 y 5 y
2xz 5y
先找出公因式
约去公因式
若分子、分母是单项式：先找出公因式， 后约去；若分子、分母是多项式时，先“准 备”，然后因式分解，再约分.
(2)
25a 2bc 3 15ab2c
;(3)
x2
x2 9 6x
9
.
先分解因式
3 x
x2 y
y2
与
x
4y 2y
2
;
(3)
2(m 2) 3m2n
与
2n2 mn
;(4)
4
3 x2
x
16
与
2
5 x
y
4
.
例3：通分
(1) 2 与 3x y ; 3x3 y x2 y2z
(2) 5b 与 6b2 . a3 a3
为通分要先确定各分 式的公分母，一般取各分 母的所有因式的最高次幂 的积作公分母，它叫做最 简公分母．
（1）3 y （2） 5b （3） 7n
7 x
6a
4m
解：（1） 3 y 3 y
7 x 7 x
（2） 5b 5b
6a 6a
（3） 7n 7n 4m 4m
类比分数的基本性质，你能想出分 式有什么性质吗？
知识要点
分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不
等于0的整式，分式的值不变．
知识要点
约去分式的分子和分母的公因式x，不改 变分式的值，使它化为最简分式，这样的分 式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）．
如果一个分式的分子与分母没 有相同的因式（1除外），那么这 个分式叫最简分式．
例2：约分
分子、分母系数的最大公约 数和分子、分母中相同因式的最 低次幂
为
a
b
，所以分母也除以a，即
a2 ab a3
a2 ab a
a3 a
ab a2
因为
m2
m 2m
的分母m2 2m 除以m才能化为m+2，
将分子也除以m，即 m m2 2m
m m m2 2m m
1 m2
括号中
应分别填x2和1．
小练习
(1) 3 5 xy
(3y2) 5 xy3
(2)(3xx2y3y2y2)
28
44
28
21 3 . 28 4
分式
a 2a
与
1 2
相等吗？mm2nn 与
1
m 呢？
分数的基本性质：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一 个不等于0的数，分数的值不变．
即对于任意一个分数 a 有：
b
a a ca a cc o)
b bc
b bc
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） b b2c b 0,c 0
新课导入
1．分式的概念：
（1）下列各式中，属于分式的是（ B ）
A．x 3 2
B． 5 C．2 x2 2 y
x6
3
D．a
3
（2）m、n都是整式，则 n 一定是分式． ×
m
2．分式有意义： （1）x取何值时，分式 2x 有意义；
x2 4
3．分式的值为零： （1）x取何值时，分式 x2 4 的值为零；
解：
先确定各分 式的公分母
(1)最简公分母是3x3 y2z
3
2 x3
y
2 yz 3x3 y xy
2 yz 3x3 y2z
3x y 3x y 3x 9x2 3xy
分解后再约分．
小练习 化简下列分式．
化简分式时通 常要使结果成为最 简分式或者整式．
ab2c (1)
ab bc ab
bc
bc
15a 2b 3c (2) 10a3b2d
5a2b2 3bc 4bc
5a2b2 2ad
3ad
12a b3 (3) 18a b2
6a b 2a b 2a b 6a b 3 3
解：
25a 2bc 3 (2) 15ab2c
5abc 5ac2 5abc 3b
5ac2 3b
;
约去公因式
(3)
x2 9 x2 6x 9
x
3x x 32
3
x x
3 3
.
归纳
分式约分的方法 （1）系数：约去分子、分母中各项系数
最大公约数； （2）字母：约去分子、分母中各相同字
母（相同整式）最低次幂； （3）若分子与分母是多项式，应先因式
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2abc
（2）
x3 x2 y
x y
解: （1）由b 0,c 0 ，
知
b 2a
=
b bc 2a bc
=
2ba2bcc．
为什么给出 b 0,c 0 ？
（2）由 x 0,
知
x3 x2 y
x3 x2 x2y x
x y
.
为什么本题未给 x 0 ？
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号．
3y x y
(3)40b 8a2b 15a (3ab2)
xy y2 (xy)
(4) xy2 y xy 1
联想分数的通分和约分，由例1你能想出 如何对分式进行通分和约分？
知识要点
使分子和分母同乘适当的整式，不改变分 式的值，把它们化成相同分母的分式，这样的 分式变形叫做分式的通分（changing fractions to a common denominator）．
在化简下面分式时同学甲和同学乙出现 了分歧：
甲 6 xy2 6 y2
30xy 30 y
乙
6xy2 6xy y y 30xy 6xy 5 5
在乙同学的化简中, 分子和分母已没有公因 式,这样的分式成为最 简分式．
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
小练习
通分．
(1)
2b ac
与
ad 4b3
;(2)
子也需要乘以m，即
mn mn
m nm
mn m
m2 mn m2n
同样，因为 3 xy x2
的分母 x2
乘y才能化为x2 y ，
将分子也乘以b，即
3 xy 3 y y 3 y y2
x2
x2 y
x2 y
括号中应分别填m2 mn 和 3 y y2．
解：（2）因为
a2 ab a3
的分子a2 ab 除以x才能化
A AC , A A C C 0 为什么C不能为零呢？
B BC B B C
其中A，B，C是整式．
例1：填空
m n 3 xy
(1)
,
;
mn m2n x2
x2 y
(2)
a2 ab a3
a
b
, m2
m 2m
m
2
.
解：（1）因为m n 的分母mn乘以m才能化为m2n ，
mn
为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分
分式的基本性质
1．分数的基本性质是什么？ 2．这一性质对分式成立吗？
3 5
与
12 20
相等吗？
21 28
与
3 4
相等吗？为什么？
3 上下同 4 12 ，12 上下同 4 3（分数的基本性质）
5
20 20
5
3 12 5 20
21 上下同 7 3，3 上下同 7 21（分数的基本性质）
8 x3 yz （1） 20 x2 y2
4x2 y 2xz 4x2 y 5 y
2xz 5y
先找出公因式
约去公因式
若分子、分母是单项式：先找出公因式， 后约去；若分子、分母是多项式时，先“准 备”，然后因式分解，再约分.
(2)
25a 2bc 3 15ab2c
;(3)
x2
x2 9 6x
9
.
先分解因式
3 x
x2 y
y2
与
x
4y 2y
2
;
(3)
2(m 2) 3m2n
与
2n2 mn
;(4)
4
3 x2
x
16
与
2
5 x
y
4
.
例3：通分
(1) 2 与 3x y ; 3x3 y x2 y2z
(2) 5b 与 6b2 . a3 a3
为通分要先确定各分 式的公分母，一般取各分 母的所有因式的最高次幂 的积作公分母，它叫做最 简公分母．
（1）3 y （2） 5b （3） 7n
7 x
6a
4m
解：（1） 3 y 3 y
7 x 7 x
（2） 5b 5b
6a 6a
（3） 7n 7n 4m 4m
类比分数的基本性质，你能想出分 式有什么性质吗？
知识要点
分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不
等于0的整式，分式的值不变．
知识要点
约去分式的分子和分母的公因式x，不改 变分式的值，使它化为最简分式，这样的分 式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）．
如果一个分式的分子与分母没 有相同的因式（1除外），那么这 个分式叫最简分式．
例2：约分
分子、分母系数的最大公约 数和分子、分母中相同因式的最 低次幂
为
a
b
，所以分母也除以a，即
a2 ab a3
a2 ab a
a3 a
ab a2
因为
m2
m 2m
的分母m2 2m 除以m才能化为m+2，
将分子也除以m，即 m m2 2m
m m m2 2m m
1 m2
括号中
应分别填x2和1．
小练习
(1) 3 5 xy
(3y2) 5 xy3
(2)(3xx2y3y2y2)
28
44
28
21 3 . 28 4
分式
a 2a
与
1 2
相等吗？mm2nn 与
1
m 呢？
分数的基本性质：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一 个不等于0的数，分数的值不变．
即对于任意一个分数 a 有：
b
a a ca a cc o)
b bc
b bc
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） b b2c b 0,c 0
新课导入
1．分式的概念：
（1）下列各式中，属于分式的是（ B ）
A．x 3 2
B． 5 C．2 x2 2 y
x6
3
D．a
3
（2）m、n都是整式，则 n 一定是分式． ×
m
2．分式有意义： （1）x取何值时，分式 2x 有意义；
x2 4
3．分式的值为零： （1）x取何值时，分式 x2 4 的值为零；
解：
先确定各分 式的公分母
(1)最简公分母是3x3 y2z
3
2 x3
y
2 yz 3x3 y xy
2 yz 3x3 y2z
3x y 3x y 3x 9x2 3xy
分解后再约分．
小练习 化简下列分式．
化简分式时通 常要使结果成为最 简分式或者整式．
ab2c (1)
ab bc ab
bc
bc
15a 2b 3c (2) 10a3b2d
5a2b2 3bc 4bc
5a2b2 2ad
3ad
12a b3 (3) 18a b2
6a b 2a b 2a b 6a b 3 3
解：
25a 2bc 3 (2) 15ab2c
5abc 5ac2 5abc 3b
5ac2 3b
;
约去公因式
(3)
x2 9 x2 6x 9
x
3x x 32
3
x x
3 3
.
归纳
分式约分的方法 （1）系数：约去分子、分母中各项系数
最大公约数； （2）字母：约去分子、分母中各相同字
母（相同整式）最低次幂； （3）若分子与分母是多项式，应先因式
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2abc
（2）
x3 x2 y
x y
解: （1）由b 0,c 0 ，
知
b 2a
=
b bc 2a bc
=
2ba2bcc．
为什么给出 b 0,c 0 ？
（2）由 x 0,
知
x3 x2 y
x3 x2 x2y x
x y
.
为什么本题未给 x 0 ？
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号．
3y x y
(3)40b 8a2b 15a (3ab2)
xy y2 (xy)
(4) xy2 y xy 1
联想分数的通分和约分，由例1你能想出 如何对分式进行通分和约分？
知识要点
使分子和分母同乘适当的整式，不改变分 式的值，把它们化成相同分母的分式，这样的 分式变形叫做分式的通分（changing fractions to a common denominator）．
在化简下面分式时同学甲和同学乙出现 了分歧：
甲 6 xy2 6 y2
30xy 30 y
乙
6xy2 6xy y y 30xy 6xy 5 5
在乙同学的化简中, 分子和分母已没有公因 式,这样的分式成为最 简分式．
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
小练习
通分．
(1)
2b ac
与
ad 4b3
;(2)
子也需要乘以m，即
mn mn
m nm
mn m
m2 mn m2n
同样，因为 3 xy x2
的分母 x2
乘y才能化为x2 y ，
将分子也乘以b，即
3 xy 3 y y 3 y y2
x2
x2 y
x2 y
括号中应分别填m2 mn 和 3 y y2．
解：（2）因为
a2 ab a3
的分子a2 ab 除以x才能化
A AC , A A C C 0 为什么C不能为零呢？
B BC B B C
其中A，B，C是整式．
例1：填空
m n 3 xy
(1)
,
;
mn m2n x2
x2 y
(2)
a2 ab a3
a
b
, m2
m 2m
m
2
.
解：（1）因为m n 的分母mn乘以m才能化为m2n ，
mn
为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分