大学物理——成对力、保守力、势能(PPT课件)

共同拥有的。
保守力的功
Ac ( ab ) E pa E pb E p
上式的意思是，系统在由位置a 改变到位置 b时，成对保守内力的功等于系统势能的减 少（或势能增量的负值）。
注意：
（1）势能既取决于系统内物体之间相互作用的 形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势 能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。
此式表明重力的功只决定于作功的起点
和终点而与作功的路径无关。
沿任意闭合路径一周 保守力作功为零：
A F d r 0
2. 弹性力的功 弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一 端系一质量为m的物体，置于光滑水平地面。 设 a、b 两点为弹簧伸长后物体的两个位置，xa
和 xb 分别表示物体在a、b 两点时距 0 点的距离。
dA F cos dx dA Fx dx
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
A ( E p 2 E p1 ) E p d A d Ep
d A F cos d x
X O b O xb
a
X
l0
x
xa
dA F dr
F kxi , dr dxi ,
l0
O xb
X x xa
A

xb
xa
1 2 1 2 xb F r x kxd x kxa kxb d
a
2
2
由此可见，弹性力作功也仅仅与质 点的始末位置有关，与具体路径无关。
3. 万有引力的功
两个物体的质量分别为M和m，它们之 间有万有引力作用。M静止，以M为原点O建 立坐标系，研究m相对M的运动。
d A F d r
O
M
F
m
F = G Mm 2 r
rb
b
M ra
r F m
a
F = G Mm 2
dA = F . dr
r
rb
r F
a
b dr
θ
பைடு நூலகம்
dr m
G
h
ha
b
hb
在元位移 r 中，重 力 G 所做的元功是
A G cos r
d
a
c h a hb
G
h
ha
mgh
A A mgh mg h mgha mghb
b
hb
A mgha mghb
由此可见，重力 作功仅仅与物体的始 末位置有关，而与运 动物体所经历的路径 无关。
三、 势能 势能：质点在保守力场中与位置相关的能 量。它是一种潜在的能量，不同于动能。 几种常见的势能： 重力势能 弹性势能 万有引力势能
E p mgh
E p kx
1 2
2
E p G0 Mm r
注意上述公式的适用条件：
涉及重力势能时，一定要将地球列 入系统。重力势能是指质量为m的物体与
§2-4 保守力
一、 保守力
成对力的功
势能
如果有一力，它对质点所作的功只决定于 作功的起点和终点而与作功的路径无关，或沿任 意闭合路径一周 作功为零称此力为保守力或有势 力。不具备这种性质的力叫做非保守力。 a 1. 重力作功
c h a hb
d
设质量为m的物 体在重力的作用下从a 点沿任一曲线 acb运动 到b点。
再计算另一个质点在此坐标系中运动时它所受的
力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就
是相应的一对力所做的功之和。
例如，质量为m的物体在地面以上下落高度h 时，重力及其反作用力所做的功为mgh.
每对内力所做功并不一定为零
有人认为作用力和反作用力大小相等、方
向相反，因此，系统内力的功的代数和必
等于零，这是错误的！
地球所组成的系统拥有的重力势能，而不
属于其中个别的物体。
并设质量为m的物体在地球表面时，系统
的重力势能为零。
E p mgh
弹性势能 1 2 E p ( x ) kx 2 设弹簧为原长时弹性势能为零。
即:式中x 代表弹簧的绝对变形量.
万有引力势能
Mm E p G0 r
上述公式成立条件：两物体质量分别为M 和m，两者间的距离为r, 并设两者间的
dr m
Mm dr = G 2
r
2
sinθ
dr
M ra
rb dr [ ( GMm ) ( GMm )] A = G Mm r = 2 rb ra a r
r
万有引力的功
A G 0 mM (
1 ra

1 rb
)
由此可见，万有引力作功也仅仅与 质点的始末位置有关，与具体路径无关。
记住
重力、万有引力、弹性力都是保守力
要求掌握的例题： 六版多媒体课件： §2-3 PPT 8-11（即书上例 题2-9）， §2-3 PPT 13-14 （即书上例题2-11） 思考题： 2-3-3 ， 2-4-3 必做习题： 2-13 ， 2-14 ， 2-17
G
h
ha
b
hb
表明：在重力场中物体沿任一闭合 路径运动一周时重力所作的功为零。
如用矢量点积的方法描述 重力的功，则更方便。 dA = P ·dr = ( m g j ) . ( dx i + dy j ) 0 = mg dy A = mg dy =
yb ya
y
a
dr
ya P
b yb x
( m g y b m g ya )
E p ( x)
a
2

b
( x 0)
解 （a) 根据
E p ( x)
a x
2

b x
( x 0)
取下列数据来 画出势能曲线
x/m Ep(x)/J
0.2 1.5
0.5 0
1 -1.0
EP /J
2 -0.75
3 -0.55
4 -0.44
现在，用式（3-8）求物体 的平衡位置
F dE p dx 2a x
功具有与参考系选择无关的不变性质。
表明：任何一对作用力和反作用力
所作的总功具有与参考系选择无关的不 变性质。
保守力的普遍定义：在任意的参考 系中，成对保守力的功只取决于相互作
用质点的始末相对位置，而与各质点的
运动路径无关。
根据这一特点，就可以按下述方法计算一对力的 功：
认为一个质点静止而以它所在的位置为坐标原点，
3
2
1
0 1 1 2 3 4 x /m

b x
2
令F=0,解得 x=1m ，这就是物体的平衡位 置，在该点，势能有极小值，如图所示。
（b）当物体的总能量E=-0.50J保持不变时，
令Ep(x)=E就可求得物体的Ek=E-Ep为0 的位置，因此，令
a x
2

b x
0.50 J
由此解得
x (2 0.59 m 2 )m 3.14 m
M ra
F = G Mm 2
dA = F . dr = F
r
rb
r F
a
b dr
0 d r cos ( 90 + θ
= G
Mm
)
θ
dr m
r
2
sinθ
dr
M ra
F = G Mm 2
dA = F . dr = F
r
rb
r F
a
b dr
0 d r cos ( 90 + θ
= G
Mm
)
θ
The work done by the conservative force on an object can be measured as the decrease of the potential energy of the object in the conservative field: dW = F∙dr = Fxdx + Fydy + Fzdz = – dU The mathematical expression of the total differentiation of the potential energy
由此可见，成对作用力与反作用力所作的总 功只与作用力
F2 及相对位移
d r
有关，而
与每个质点各自的运动无关。
表明：任何一对作用力和反作用力所作的总
d A F1 d r1 F2 d r2 F d r ( F2 F2 ) d r1 F2 d r 2
（2）物体系统在两个不同位置的势能差具 有一定的量值，它可用成对保守力作的功 来衡量。 （3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意 义。势能零点可根据问题的需要来选择。
势能属于保守力相互作用系统,是由相对
位置决定的函数.
Ac ( ab ) E pa E pb E p
上式的意思是，系统在由位置a 改变到位置 b时，成对保守内力的功等于系统势能的减 少（或势能增量的负值）。
E
Eh
A
E
Ek
B
Ep
Ep
o
H H
h
Ep
o
x
重力势能
弹性势能
Ek0
E
o
Ek
x
Ep
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
A ( E p 2 E p1 ) E p
设系统内的物体在保守力F 的作用下，沿x 轴发生 位移dx 时，保守力作功 d A d E p
Fx
d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能 对此坐标的导数的负值。
例题3-1 一质量为m=1kg的物体，在保守力F（x） 的作用下，沿x 轴正向运动（x>0）。与该保守力 相应的势能是
E p ( x) a x
2

b x
( x 0)
式中x以m为单位，势能以J为单位a =1J· 2,b=2J · 。 m m a）画出物体的势能曲线； b）设物体的总能量E =-0.50J 保持不变，这表明物体的 运 动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和
dU U x dx U y dy U z dz
U U U F i j k U x y z i j k x y z 哈密 顿 算子
4. 势能曲线
E p (x) E p (h)
计算的方法求物体的运动范围。
例题3-1 一质量为m=1kg的物体，在保守力F（x）的作用下， 沿x 轴正向运动（x>0）。与该保守力相应的势能是
x x 式中x以m为单位，势能以J为单位a =1J· 2,b=2J · 。（a）画 m m 出物体的势能曲线；（b）设物体的总能量E =-0.50J 保持不变， 这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图 和计算的方法求物体的运动范围。
a
c h a hb
d
G
h
ha
b
hb
Aadb mgha mghb 设物体沿任一闭 合路径 adbca 运动一 Abca (mgha mghb ) 周，重力所作的功为：
A Aadb Abca 0
a
c h a hb
d
A G d r 0
距离为无穷远时引力势能为零。
E p G0 Mm r
此时的引力势能应等于把质点m从目 前位置移动到无穷远处(引力势能为零 处)万有引力所做的功。

E p A d A G0
r r
Mm r
2
dr G0
Mm r
注意
万有引力势能是由质量分
别为M和m两物体组成的系统所
摩擦力不是保守力
保守力的判据是：

任意
F dr 0
二、 成对力的功
设有两个质点1和2，质量分别为m1和 m2 ， F1为 质点1受到质点2的作用力， 2 F 为质点2受到质点1的作
用力，它们是一对作用力和反作用力。 z F2 d r m 2 r m 1 F1 d r2 d A1 F1 d r1 d r1 r2 dr 1 r1 d A2 F2 d r2 r dr d A F1 d r1 F2 d r2 y O x F1 d r1 F2 (d r1 d r ) dr2 dr r dr r 1 ( F2 F2 ) d r1 F2 d r F d r 2
Ac ( ab ) E pa E pb E p
Ac ( xb ) E px E pb E p
令b点的势能为零
Ac ( xb ) E px
空间某点的势能是相对零势能点的,数值 上等于由该点移动到势能零点时,保守力 所作的功.
Calculation of the force from potential energy