新教材人教b版必修第一册3334函数的应用(一)数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点课件3

如何解决已知函数模型的实际应用问题
商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x
(单位:元/千克)满足关系式y=
x
a
3
+10(6-x),其中3<x<6,a为常数.
问题
a>0,能否判断函数y= x+a103(6-x)的单调性? a>0时,y= 与y=10(a6-x)在(3,6)上均为减函数,从而y=
如何利用分段函数模型解决实际应用问题
1
1
2
2
x∈(12,40]时,函数f(x)的解析式?
提示:当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0).因为线段BC过点B(12,78),C(40,50),将它
们的坐标分别代入上式,得方程组
12k 40k
b b
78,解得
50,
k b
901所,, 以f(x)=-x+90(12<x≤
x3
(3,6)上为减函数.
+10(6-x)a在
x3
2.当销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.如何确定函数的解析式?
提示:依题意得x=5时,y=11,即 a +10=11,解得a=2,所以函数的解析式为y= 2 +10
2
x3
(6-x)(3-x<6).
在实际问题中,涉及的两个变量之间的关系大多符合已知函数模型,如一次函 数、二次函数、反比例函数等,解决这种函数应用问题的常见步骤如下: 1.利用待定系数法求出函数解析式; 2.根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.
解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最 值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 例如 某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销 量m(件)与每件商品的售价x(元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销 售利润,则每件商品的售价应定为 ( )
解析 设日销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,将上式配方得y=-3(x-4 2)2+432,所以当x=42时,利润最大. 答案 B
破疑典例
(
)某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利
润列成下表:
投资A种商 1
2
3
4
品金额(万
元)
获纯利润(万 0.65
破疑典例
1.(
)要在墙上开一个上部分为半圆,下部分为矩形的窗户(如图),在窗框为定
长l的条件下,要使窗户的透光面积S最大,窗户应具有怎样的尺寸?
思路点拨: 选择适当的自变量与函数值,利用各量之间的关系求出函数的解析式与定义域, 从而解决问题. 解析 由题意得窗框总长l= x+x+2y,
2
∴y= 2l ( 2)x,
3.3 函数的应用(一) 3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 2.了解如何从现实生活中发现问题,并通过数学建模解决实际问题.
常见的函数模型
(1)① 直线 型:即一次函数模型; (2)② 抛物线 型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是高考中的永恒话题, 现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数; (3)③ 分段函数 型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此 这种模型的应用也比较广泛.
易错警示 解题时要注意求定义域,不仅要使得自变量表示的量有意义,如本题
中x>0,还要使得自变量表示的其他量也有意义,如 2l ( 2)x >0等,防止出现定义
4
域求错导致解题错误.
2.(
)商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价
越高,购买人数越少.把购买人数为零时的标价称为无效价格,已知无效价格为每
由(1)知y=f(x)在各段区间上均单调递增,
因此,当x∈
0,
4 5
时,y≤f
4 5
<26.4;当x∈
4 5
,
4 3
时,y≤f
2.建立函数模型解决实际问题的步骤: (1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,可用 x,y分别表示问题中的变量; (2)建立函数模型:将变量y表示成x的函数,注意函数的定义域; (3)求解函数模型; (4)给出实际问题的解. 拔高问题
4.若总运费不超过9 000元,如何确定有几种调运方案? 提示:令y≤9 000,可得x≥8, ∵x∈[4,10],x∈N, ∴x=8或9或10.故有3种方案使得总运费不超过9 000元. 5.如何确定总运费最低的调运方案及最低的总运费? 提示:y=-200x+10 600是减函数,且x∈[4,10],由此可知当x=10时,总运费最低,最低 的总运费为8 600元.调运方案:甲地调运10台至A地,调运2台至B地;乙地6台全调 运至B地.
由散点图可以看出A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可 以用二次函数模型拟合. 取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0. 15,所以y1=-0.15(x-4)2+2(0<x<12). B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数 模型拟合. 设y2=kx+b(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,
xA
19 6
2
+
197 48
(0<xA<12).当xA=
19 6
≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时xB=
8.8,
AB种商品,可获得
最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.
如何解决未知函数模型的实际应用问题
某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B A地、B地的费用分别为400元和800元,从乙地 调运一台机器至A地、B地的费用分别为300元和500元. 问题 x台机器至A地,能否确定这种机器的调配情况? x台机器至A地,调运(12-x)台机器至B地,乙地调运(10-x)台机器 至A地,乙地调运(x-4)台机器至B地. x台机器至A地,能否确定x的取值范围? 提示:能.根据实际意义得,x≥0,12-x≥0,10-x≥0,x-4≥0,x∈N,解得4≤x≤10且x∈N. x台至A地,如何确定总费用y(元)关于台数x的函数解析式? 提示:依题意有y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4)=-200x+10 600(4≤x≤10,且x∈N ).
4
∴S=
8
x2+xy= 8
2l
x2+x·
( 4
2) x
=-
8
4
x
2l
4
2
l2
+2(
4)
.
x 0,
由
y
2l
( 4
2) x
0,
可得x∈
0,
2l
2
.
所以当x=
2l
4
时,S最大,且Smax=
l2 2(
4)
,此时y=
l
4
.
所以当x=
2l
4
,y=
l
4
时,窗户的透光面积最大.
得0.25 k b, 解得k 0.25, 所以1y2x4(k0<bx,<12). b 0, 设下个月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元),获得的纯利润分别为 yA、yB(万元),总利润为W(万元), 则xA+xB=12,
W=yA+yB
=-0.15(xA-4)2xB,
所以W=-
3 20
故老师在x∈(4,28)时间段安排核心内容教学,能使得学生学习效果最佳.
破疑典例
1.(
)某市居民自来水收费标准如下:当每户每月用水量不超过4立方米时,每
甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x立方米、3x立方 米. (1)求y关于x的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水 费.
4
3,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5xx-4.8; 当乙的用水量超过4立方米,即3x>4时,x> 4,y=2×4×1.8+(3x-4)×3+(5x-4)×3=24x-9.
3
6.
所以y=
14.4 x, 0 20.4x
x 4.8, 4
5
4, 5 x
4 3
,
24x
9.6,
x
4 3
.
(2)设y=f(x),
1.39
1.85
2
元)
5
6
1.84
1.40
投资B种商 1
2
3
4
品金额(万
元)
获纯利润(万 0.25
0.49
0.76
1
元)
5
6
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,请你帮助制订一个资金投入方 案,使该经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大 纯利润(结果保留两位有效数字). 思路点拨: 先利用已知数据画出散点图,然后根据散点图的形状选择函数模型,结合条件求 出函数的解析式及定义域,最后由函数的解析式解决相关问题. 解析 以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图, 如图所示.
40).
分段函数的解析式由几个不同的函数解析式组成,根据自变量取值范围的不同, 由题设条件确定出不同的函数解析式. 分段函数模型应用的关键是确定分段的边界点,即明确自变量的取值区间,对每
所有最值中的最值.要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图像求解. 应用分段函数时的三个注意点: 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数值域的求法:逐段求函数值的范围,经过比较后再下结论.
函数应用问题的解法流程 数学建模活动流程
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.若一辆汽车匀速行驶2 h,路程为140 km,则该汽车0.5 h行驶了35 km. ( √ ) 2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则:
(1)甲比乙先出发. ( ✕ ) (2)乙比甲跑的路程多. ( ✕ ) (3)甲、乙两人的速度相同. ( ✕ ) (4)甲先到达终点. ( √ )
1.解决未知函数模型的实际问题时,主要抓住四点:求什么,设什么,列什么,限制什 么. (1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务,通常表示为函数值. (2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素,找出变化的根源,通常设 变化的根源为自变量. (3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式,将函数值表示为自变量与已知 量,直至求出函数解析式. (4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件,不仅要考虑自变量是否有意 义,还要考虑用自变量表示的其他量是否有意义,另外还要考虑变量的实际含义, 如整数解等.
件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的价格(标价)
出售.
(1)若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标价应定为每件多少元?
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润
的75%,那么羊毛衫的标价应为每件多少元?
思路点拨: 选择自变量与函数值 求出解析式与定义域 利用函数知识解决实际问题. 解析 (1)设购买人数为n,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元, 则x∈(100,300],可设n=kx+b,易知k<0,由题意知0=300k+b,即b=-300k,∴n=k(x-300), ∴y=k(x-300)(x-100)=k(x-200)2-10 000k(x∈(100,300]). ∵k<0,∴当x=200时,y最大,ymax=-10 000k,即若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标 价应定为每件200元. (2)由题意及(1),知k(x-100)·(x-300)=-10 000k·75%, 化简得x2-400x+37 500=0,解得x=250或x=150, 所以商场要获得最大利润的75%,羊毛衫每件的标价应为250元或150元.
拔高问题
f(x)的解析式?
1 (x 10)2 80, x (0,12],
提示:将函数用分段形式表示为f(x)=
2 x 90, x (12, 40].
核心内容教学,能使得学生学习效果最佳?
提示:由题意,得
0 x 12,
1 2
(
x
10)2
80
62
或
12 x 40,
x 90 62, 解得4<x≤12或12<x<28,即4<x<28.
思路点拨:
根据题意确定自变量的分段情况,在每一段范围内求函数的解析式,从而得到分
段函数,利用分段函数解决相关问题.
4
解析 (1)当甲的用水量不超过4立方米,即5x≤4时,x≤5 ,乙的用水量也不超过4
立方米,y=(5x+3x)×x;
4
当甲的用水量超过4立方米,乙的用水量不超过4立方米,即3x≤4,且5x>4时, 5<x≤