高中数学3.3函数的应用一3.4数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点人教B版必修第一册

3.4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点
[A 基础达标]
1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元/件)之间的关系满足一次函数：m ＝162－3x .若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )
A.40元/件
B.42元/件
C.54元/件
D.60元/件
解析：选B.设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2
＋432，所以当x ＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.
2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.
32
cm 2
B.4 cm 2
C.3 2 cm 2
D.2 3 cm 2
解析：选D.设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm ，两个正三角形的面积之和为S cm 2
.分析知0＜x ＜12.则S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 32＝318
(x －6)2
＋23，当x ＝6时，S min ＝2 3.
3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m 元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费.已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为( )
A.13 立方米
B.14 立方米
C.18 立方米
D.26 立方米
解析：选A.由已知得，该户每月缴费y 元与实际用水量x 立方米满足的关系式为y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，
2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m . 解得x ＝13.故选A.
4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )
A.215份
B.350份
C.400份
D.520份
解析：选C.设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份报纸时，每月所获利润为y 元，具体情况如下表.
y ＝[(60x ＋ ＝8x ＋5 500(250≤x ≤400，x ∈N ). 因为y ＝8x ＋5 500在[250，400]上是增函数， 所以当x ＝400时，y 取得最大值8 700.
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C. 5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，费用总和最小.
解析：设每小时的燃料费y ＝kv 2
，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k ＝610×10＝350，费用总和为10v ⎝ ⎛⎭⎪⎫350v 2＋96＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫3
50v ＋96v ≥10×2
3
50
×96＝48，当且仅当350v ＝96
v
，即v ＝40时取等号. 答案：40
6.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为 .
解析：设y ＝(m －19.55)2
＋(m －20.05)2
＋(m －20.45)2
＋(m －19.95)2
＝4m 2
－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552
＋20.052
＋20.452
＋19.952
，
则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值.
答案：20
7.如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 经过的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则y 关于x 的函数关系式是 .
解析：①当0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .
②当1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2
＝AB 2
＋BP 2
， 所以y ＝AP ＝1＋(x －1)2
＝x 2
－2x ＋2. ③当2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ， 根据勾股定理，得AP 2
＝AD 2
＋DP 2
， 所以y ＝AP ＝1＋(3－x )2
＝x 2
－6x ＋10. ④当3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .
所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2
x 2
－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4
.
答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1
x 2－2x ＋2，1<x ≤2
x 2
－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4
8.某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8.
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%？
[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝
k
x －0.4
(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代
入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4＝1
5x －2
，所以y 与x 之间的函数
关系式为y ＝1
5x －2
(0.55≤x ≤0.75).
(2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x 2
－1.1x ＋
0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.
9.已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知
城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.
(1)求x 的取值范围；
(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；
(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？ 解：(1)x 的取值范围为[10，90].
(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2
＋10(100－x )2
]， 即y ＝152
x 2
－500x ＋25 000(10≤x ≤90).
(3)y ＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003(10≤x ≤90)，则当x ＝1003时，y 最小.
即当垃圾处理厂建在距离A 城市100
3
km 处时，才能使每天的垃圾处理费用最少.
[B 能力提升]
10.某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为 万元.
解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2
＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预
计经营总收入为40040%×13
10
＝1 300(万元).
答案：1 300
11.某市居民生活用水收费标准如下：
已知某用户1 6 t ，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y 元.
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)若某用户3月份用水量为3.5 t ，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.
解：(1)由题设可得y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧mx ，0≤x ≤2，2m ＋3(x －2)，2<x ≤4，2m ＋6＋n (x －4)，x >4.
当x ＝8时，y ＝33；当x ＝6时，y ＝21，
代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＋4n ＝33，2m ＋6＋2n ＝21，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝1.5，n ＝6.
所以y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧1.5x ，0≤x ≤2，3x －3，2＜x ≤4，6x －15，x ＞4.
(2)当x ＝3.5时，y ＝3×3.5－3＝7.5. 故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元. (3)令6x －15≤24，解得x ≤6.5. 故该用户最多可以用6.5 t 水.
12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元/102
kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元/102
kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？ 解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为
f (t )＝⎩
⎪⎨⎪⎧300－t ，0<t ≤200
2t －300，200<t ≤300.
由图2可得种植成本与时间的函数关系式为
g (t )＝
1200
(t －150)2
＋100，0<t ≤300. (2)设上市时间为t 时的纯收益为h (t )， 则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，
即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋175
2
，0<t ≤200－1200t 2
＋72t －1 0252，200<t ≤300
.
当0<t ≤200时，整理，得
h (t )＝－
1200
(t －50)2
＋100， 当t ＝50时，h (t )取得最大值100； 当200<t ≤300时，整理，得h (t )＝－1200
(t －350)2
＋100， 当t ＝300时，h (t )取得最大值87.5.
综上，当t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.
[C 拓展探究]
13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m (mg)的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的
浓度y (mg ·L
－1
)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2
16＋2，0<x ≤4
x ＋142x －2，x >4
.当药剂在水中释放的浓度不低
于4 mg ·L －1
时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1
且不高于10 mg ·L
－1
时称为最佳净化.
(1)如果投放的药剂质量为4 mg ，问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂
质量m 的最小值.
解：(1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋8，0<x ≤4
2x ＋28x －1，x ＞4
.
当0<x ≤4时，x 2
4
＋8≥4显然成立；
当x >4时，由2x ＋28
x －1≥4，得2x ＋28≥4(x －1)，得4<x ≤16 .
综上，0<x ≤16.
所以自来水达到有效净化一共可持续16天.
(2)由题意，知0<x ≤7，y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 2
16＋2m ，0<x ≤4
mx ＋14m 2x －2，x >4
，
当0<x ≤4时，y ＝mx 2
16
＋2m 在区间(0，4]上单调递增，
则2m <y ≤3m ； 当x >4时，y ＝
mx ＋14m 2x －2＝m 2＋15m 2x －2，其在区间(4，7]上单调递减，则7m
4
≤y <3m . 综上，7m
4
≤y ≤3m .
为使4≤y ≤10恒成立，只要满足7m
4
≥4且3m ≤10，
即
167≤m ≤103
， 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.。