广东省揭阳市兴道中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

广东省揭阳市兴道中学2021-2022学年高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设不等式组所表示的区域为M，函数y=﹣的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率．
【解答】解：作出图形如图所示：
则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆，
点O到直线x+y=﹣和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切．
∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===．
故选B．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．2. 若为实数，则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
3. 在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，则该四面体的体积为（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
D
．故选．
4. 已知函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是x=
③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）
④函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
则正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
参考答案：
B
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】展开两角和的余弦公式后合并同类项，然后化积化简f（x）的解析式．
①由周期公式求周期，再由f（0）≠0说明命题错误；
②③直接代值验证说明命题正确；
④由复合函数的单调性求得增区间说明命题正确．
【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）﹣
cos2x====﹣．
∴，即函数f（x）的最小正周期为π，
但，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；
∵，
∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=．命题②正确；
∵，
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）．命题③正确；
由，得：
．
∴函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．命题④正确．
∴正确结论的个数是3个．
故选：B．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，考查了复合函数的单调性的求法，关键是对教材基础知识的记忆，是中档题．
5. 已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是
参考答案：
C
6. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 函数是
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数
参考答案：
C
略
8. 正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，
则AB两点的球面距为（）
A．B．C．D．参考答案：
B
8.已知数列为等差数列,为其前项和,且,则（）
A．25 B．27 C．50
D．54
【答案】B
9. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为( )
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？
参考答案：
A
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 2 4 是
第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是
第四圈 5 57 否
故退出循环的条件应为k＞4
故答案选A．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
10. 执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（）
A.17
B.53
C.161
D.485
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+
的最小值为．参考答案：
4
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用． 分析：由直线
ax+by=1（其中a ，b 为非零实数）与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且△AOB 为直角三角形，可得|AB|=
．圆心O （0，0）到直线
ax+by=1的距离d=
，可得2a 2
+b 2
=2．再利用“乘1
法”和基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵直线ax+by=1（其中a ，b 为非零实数）与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且△AOB 为
直角三角形， ∴|AB|=
r=
．
∴圆心O （0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a 2+b 2=2．
∴+==≥=4，当且仅当
b 2=2a 2=1取等号．
∴+的最小值为 4．
故答案为：4．
点评：本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．
12. 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n 个人进行体检，其中有6名老年人，那么n =_________.
参考答案：
36 略
13. 在极坐标系中，已知点A （1，），点P 是曲线ρsin 2θ=4cosθ上任意一点，设点P 到直线
ρcosθ+1=0的距离为d ，则丨PA 丨+d 的最小值为
．
参考答案：
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．
【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A 的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA 丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A ，P ，F 三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可． 【解答】解：点A （1，
）的直角坐标为A （0，1），
曲线曲线ρsin 2θ=4cosθ的普通方程为y 2=4x ，是抛物线． 直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．
由抛物线定义，点P 到抛物线准线的距离等于它到焦点A （0，1）的距离， 所以当A ，P ，F 三点共线时，其和最小，
最小为|AF|=， 故答案为：
．
14. 已知函数
，记，若是递减数列，则实数的
取值范围是______________.
参考答案：
略
15. 已知圆
关于直线成轴对称，则的取值范围是
________. 参考答案： (－∞，1)
略
16. 已知函数f （x ）=，f′（x ）为f （x ）的导函数，则f′（0）的值为 ．
参考答案：
2
【考点】导数的运算．
【分析】先求导函数f′（x ），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．
【解答】解： =；
∴
．
故答案为：2．
17. 已知函数
，则
．
参考答案：
e
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（其中）
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若关于的不等式
恒成立，求的取值范围.
参考答案：
（1）当时，函数
，
则不等式为，
①当
时，原不等式为
，解得：
；
②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；
③当时，原不等式为，解得：，
原不等式的解集为.
方法二：当时，函数
，画出函数
的图象，如
图：
结合图象可得原不等式的解集为.
（2）不等式即为
，
即关于的不等式恒成立.
而
，
所以， 解得
或
， 解得
或
.
所以的取值范围是.
19. 设函数f （x ）=lnx ，h （x ）=f （x ）+mf′（x ）． （1）求函数h （x ）单调区间；
（2）当m=e （e 为自然对数的底数）时，若h （n ）﹣h （x ）＜对?x ＞0恒成立，求实数n 的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由题意先求函数h（x）的定义域，再求导h′（x），从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（2）由h（n）﹣h（x）＜转化为，即成立，利用导数求出
在（0，e）上的最小值即可．
解答：解：（1），
h（x）=，定义域为（0，+∞）
=
当m≤0时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，此时h（x）在（0，+∞）单调递增，
当m＞0时，在（0，m）上h′（x）＜0，此时h（x）在（0，m）单调递减，
在（m，+∞）上h′（x）＞0，h（x）在（m，+∞）上单调递增，
综上：当m≤0时，h（x）在（0，+∞）单调递增，
当m＞0时，h（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）上单调递增；
（2）当m=e时，，不等式为
即
只需由（1）知，在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴当x=m时，g min（x）=g（e）=2
故lnn＜2，可得0＜n＜e2
∴n的取值范围为（0，e2）．
点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，运用了等价转换等数学思想，是一道导数的综合题，难度中等．
20. （本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为B（0，4），离心率，直线交椭圆于M，N两点。

(Ⅰ) 若直线的方程为，求弦MN的长；
（II）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线方程的一般式。

参考答案：
(Ⅰ)由已知，且，即…2分
∴椭圆方程为………………………3分由与联立，消去得
∴……………………… 5分∴所求弦长……………………… 6分
（Ⅱ）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（）
由三角形重心的性质知，又B（0，4）
∴，故得，
所以得Q的坐标为（3，-2）……………………… 8分
设，则且，两式相减得
∴………………… 10分
故直线MN的方程为，即…………… 12分
21. 等比数列{}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}满足：＝＋，求数列{}的前2n项和．参考答案：略
22. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足
，求直线l的方程.
参考答案：
（1）由题意可得，
解得，，，
∴椭圆的方程为.
（2）由题意可得以为直径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离为，
由，即，可得，
∴，
设，，
联立，
整理得，
可得：，，
∴. ∵，
∴，
解方程得，且满足，
∴直线的方程为或.。