反证法 课件

若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
4、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4,
(1 c)a>1/4,
(1 b)c>1/4,
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a >
3、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > lt; b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理： 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾∴结论成立
5、若a, b, c, dR+，求证：
证：记m =
∵a, b, c, dR+
∴1 < m < 2 即原式成立
练习
1:若p1gp2 = 2(q1 + q2),证明:关于x的方程 x2 + p1x + q1 = 0与x2 + p2x + q2 = 0中至少有一 个有实根.
2:若a,b,c均为实数,且a = x2 - 2y + ,
2
b = y2 - 2z + ,c = z2 - 2x + ,
3
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求证 : a,b,c中至少有一个大于0.
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
反证法
综合法 特点:“由因导果”
用框图表示综合法
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
分析法 特点：“执果索因”
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
复习
经过证明 的结论
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
例３ 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。