专升本统一考试数学卷+答案 (5)

普通高等学校招生全国统一考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知
9)
222(-
x 展开式的第7项为421，则实数x 的值是（
）
A ．3
1-B ．-3
C ．4
1D ．4
2.已知
)()222(9R x x ∈-
展开式的第7项为421，则)(lim 2n n x x x +++∞→ 的值为（
）
A ．4
3B ．4
1
C ．4
3-
D ．4
1-
3.过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，则球的表面积是（）A ．π
100B ．π
300C ．π
3
100
D ．π
3
400
4.已知集合
{}
=
⎭⎫
⎩⎨⎧+-====B A x x y x B y y A x ,22log ,22()
(A)[)2,0(B)[)
2,1(C)()
2,∞-(D)()
2,05.
函数
2()lg(31)
f x x ++的定义域是(
)
(A)1
(,)3-+∞(B)1(,1)3-(C)
11
(,33
-(D)
1(,)
3-∞-6.若函数⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤=0,sin 0
,3)(x a x x
x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （
）A.0 B.1
C.2
D.3
7.当0→x 时，与函数2
)(x x f =是等价无穷小的是（
）
A.
)1ln(2
x + B.x
sin C.x tan D.x
cos 1-8.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（）
A.
)(x
e f -' B.
)(x
e f -'- C.
)(x
x e f e --' D.
)(x
x e f e --'-9.设x 1
是)(x f 的一个原函数，则⎰=
dx x f x )(3（）
A.
C x +2
21 B.C x +-221
C.
C x +3
31 D.
C x x +ln 414
10.下列级数中收敛的是（
）
A.
∑∞
=-1374n n
n
n B.
∑
∞
=-1
2
31
n n C.
∑∞
=13
2n n
n D.
∑∞
=1
21sin
n n
11.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n ∈N*)的展开式中x 的系数为13，则x2的系数为（）
A.31
B.40
C.31或40
D.71或80
12.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）
A.小
B.大
C.相等
D.大小不能确定
二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）
1.i 是虚数单位，则51i
i -+的值为________.2.
8
3128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为_______.3.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
4.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613
a a a ==，则S 5=____________．三、大题：(满分70分)
1、在△ABC 中，已知4,5b c ==，A 为钝角，且
4
sin 5A =
，求A 、
2、判断函数32(+-=x x f ）
在),(+∞-∞上是减函数.3、已知函数f(x)＝x2－2x ＋2.求f(x)在区间[1
2
，3]上的最大值和最小值。

4、已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，
OP
e
OM
=（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

5.如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B 分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD 沿AE、BF 同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图
2．
（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥BE；（Ⅱ）若DE∥CF，CD=，在线段AB 上是否存在点P 使得CP 与平面ACD 所成角的正
弦值为
？并说明理由．
6.已知函数f（x）=aex﹣x，f′（x）是f（x）的导数．（Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；
（Ⅱ）当m＞0且a=1时，求f（x）在x∈[﹣m，m]上的最值；并求当f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立时m 的取值范围．
参考答案：一、选择题：1-5题答案:ADDDB 6-10题答案:CADBC 11-12题答案:CB 二、填空题：
2、283.y=3x
4.1213
三、大题：
1、【解】A 为钝角，cos 0A <，3
cos 5A ==-
,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
可得a =.2、解：
()-23+f x x x =+∈∞∞，（-，）
121221,+0x x x x x x <∈∞∞->任取且、（-，）,有121221()()(23)(23)2()0f x f x x x x x -=-+--+=->12()(),+()f x f x f x ∴>∞∞即在区间（-，）内是减函数
3、解：∵f(x)＝x2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[1
2
，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f(12)＝5
4，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[1
2，3]上的最大值是5，最小值是1.
4.解：
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
17
a c a c -=⎧⎨
+=⎩解得a=4,c=3,
所以椭圆C 的方程为
22
1.167x y +=（Ⅱ）设M （x,y ）,P(x,1y ),其中[]4,4.x ∈-由已知得
22
2122
.x y e x y +=+而3
4e =
，故2222
116()9().
x y x y +=+①
由点P 在椭圆C 上得
2
21
1127,
16
x y -=代入①式并化简得
29112,y =
所以点M 的轨迹方程为
(44),3y x =±
-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段
5.如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B 分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD 沿AE、BF 同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．
（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥BE；
（Ⅱ）若DE∥CF，CD=，在线段AB上是否存在点P使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，
在图2中，AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，∴AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF=A，∴DE⊥平面ABEF，
又BE⊂平面ABEF，∴DE⊥BE，
解：（Ⅱ）当P为AB的中点时满足条件．在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，即AE⊥面DEFC，过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系…（6分）则
设平面ACD的一个法向量为，则，
得，…（8分）
设，则P（2，，0），λ∈（0，+∞），可得．
设CP与平面ACD所成的角为θ，则
…（10分）
，
所以P为AB的中点时满足条件．…（12分）
6.已知函数f（x）=aex﹣x，f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；
（Ⅱ）当m＞0且a=1时，求f（x）在x∈[﹣m，m]上的最值；并求当f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立时m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣1…（1分）
f'（x）•（x﹣1）=（aex﹣1）（x﹣1）＞0
当a≤0时，不等式的解集为{x|x＜1}…（2分）
当时，，不等式的解集为…（3分）
当时，，不等式的解集为{x|x≠1}…（4分）
当时，，不等式的解集为…（5分）
（Ⅱ）当a=1时，由f'（x）=ex﹣1=0得x=0，
当x∈[﹣m，0]时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，
当x∈[0，m]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；
所以f（x）min=f（0）=1．…（7分）
f（x）max是f（﹣m）、f（m）的较大者．f（m）﹣f（﹣m）=em﹣e﹣m﹣2m，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，，…（9分）
所以g（x）是增函数，所以当m＞0时，g（m）＞g（0）=0，
所以f（m）＞f（﹣m），所以．…（10分）
f（x）＜e2﹣2恒成立等价于，
由g（x）单调递增以及g（2）=e2﹣2，
得0＜m＜2…（12分）。