2021年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级元月调考数学模拟试卷(附解析)

2021年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级元月调
考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.方程5x2=21−9x化成一般形式后，若二次项的系数为5，则它的一次项系数是
()
A. 9
B. −9
C. 9x
D. −9x
2.下列电视台的台标，是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.抛物线y=x2−2x−3与x轴的一个交点是(−1,0)，那么抛物线与x轴的另一个交
点坐标是()
A. (0,0)
B. (3,0)
C. (−3,0)
D. (0,−3)
4.下列事件中，是必然事件的是()
A. 从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
B. 买一张电影票，座位号是5的倍数
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D. 走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯
5.已如⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系
是()
A. 直线l与⊙O相交
B. 直线l与⊙O相离
C. 直线l与⊙O相切
D. 无法确定
6.要将抛物线y=x2平移后得到抛物线y=x2+4x+5，下列平移方法正确的是()
A. 向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移2个单位，再向下平移1个单位
7.如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率
为()
A. 1
6B. 1
2
C. 2
3
D. 1
3
8.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形
ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点
E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是()
A. √3−1
B. √3−2
C. 2√3−1
D. 2√3−2
9.若x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，则代数式x12−2x1+2x2的值等
于()
A. 2020
B. 2019
C. 2029
D. 2028
10.如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，
连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是()
A. √2
B. 4√5−2
C. 4−√5
D. 4√3−4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.在直角坐标系中，点(−1,2)关于原点对称点的坐标是______．
12.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．从袋中
随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100100050001000050000100000
摸出黑球次数46487250650082499650007
根据列表，可以估计出n的值是．
13.如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正
多边形的中心，若∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为
______ ．
14.经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘
量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是______%.
15.已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的大致图象如
图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b<a+c；
③2a+b=0；④a+b<m(am+b)(m≠1)，其
中正确的结论有______ ．
16.如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD
沿BD翻折交BC于点E，若E是弧BD的中点，AD=2，则阴影部分面积为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17.关于x的方程x2−2x+2m−1=0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的
根．
18.如图，在扇形AOB中，∠AOB=140°，∠CAO=60°，OA=
4，求弧BC的长．
19.从一副扑克牌中取出红桃J，Q，K和黑桃J，Q，K这两种花色的六张扑克牌．
(1)将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃K的概率；
(2)将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，
然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J一张Q的概率．
20.如图，在5×7的正方形网格中，A、B、C都是格点，
AB为半圆的直径，C在半圆上，请你仅用无刻度的
直尺完成以下作图(保留作图痕迹)：
(1)作点A关于直线BC的对称点D；
(2)直接标出弦BC的中点及半圆的圆心O，并作BC
弧的中点E；
(3)在射线BC上作点F，使∠AFB=∠BAC．
21.如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、
ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若点E是BD⏜的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②若⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长．
22.某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y(
件)与销售单价x(元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x(元)406080
日销售量y(件)806040
(1)直接写出y与x的关系式______；
(2)求公司销售该商品获得的最大日利润；
(3)销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门
规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
23.如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．
(1)如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系______ ；
(2)如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说
明理由；
(3)如图3，若AB=4，DE=2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的
取值范围：______ ．
x2−2x与x轴交于点O、A两点，顶点为B．
24.已知抛物线y=1
2
(1)直接写出：A点坐标______ ，B点坐标______ ，△ABO的形状是______ ；
(2)如图，直线y=x+m(m<0)交抛物线于E、F(E在F右边)，交对称轴于M，
交y轴于N.若EM−FN=MN，求m的值；
(3)在(2)的条件下，y轴上有一动点P，当∠EPF最大时，请直接写出此时P点坐标
______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：5x2=21−9x，
5x2+9x−21=0，
一次项系数是9，
故选：A．
先根据移项化成5x2+9x−21=0，再得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：项的系数带着前面的符号．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项正确．
故选：D．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由抛物线y=x2−2x−3=(x−3)(x+1)知，抛物线与x轴的交点坐标
是(3,0)和(−1,0)，
故选：B．
将已知抛物线解析式转化为交点式进而得出另一个交点坐标．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，需要掌握抛物线解析式的三种形式间的转化，且弄清楚解析式的三种形式的意义．
4.【答案】A
【解析】解：A、从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件；
B、买一张电影票，座位号是5的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯，是随机事件．
故选：A．
根据必然事件的概念和随机事件的概念可判断正确答案．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3<5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：B．
若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d>r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵y=x2+4x+5=(x+2)2+1，
∴该抛物线的顶点坐标是(−2,1)，
∵抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0)，
∴平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位．
故选：A．
原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(−2,1)，由此确定平移规律．
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
7.【答案】D
【解析】解：随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有三种情况：闭合K1K2，闭合K1K3，闭合K2K3，
能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有一种情况：闭合K2K3，
．
则P(能让两盏灯泡L1、L2同时发光)=1
3
故选：D．
找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率．
此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的数据是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=1
2
∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，
∴OB=1
2
AB=1，
∴OA=√3OB=√3，
∴AC=2√3，
由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，
∴CE=AC−AE=2√3−2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF//AG，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
∴∠CEP+∠ACD=90°，
∴∠CPE=90°，
∴PE=1
2
CE=√3−1，PC=√3PE=3−√3，
∴DP=CD−PC=2−(3−√3)=√3−1．
故选：A．
连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=
∠BAC=1
2∠BAD=30°，由直角三角形的性质求出OB=1
2
AB=1，由直角三角形的性
质得出AC=2√3，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE= AC−AE=2√3−2，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE=√3−1，PC=√3PE=3−√3，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，
∴x1+x2=4，x12−4x1−2020=0，即x12−4x1=2020，
则原式=x12−4x1+2x1+2x2
=x12−4x1+2(x1+x2)
=2020+2×4
=2020+8
=2028．
故选：D．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12−4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12−4x1+2x1+2x2=x12−4x1+2(x1+x2)计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=
0(a≠0)的两根时，x1+x2=−b
a ，x1⋅x2=c
a
．
10.【答案】D
【解析】解：如图，以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，
在等边三角形A′AB和等边三角形BCD中，
AB=A′B，BC=BD，∠ABA′=∠CBD=60°，
∴∠ABC=60°−∠ADB，∠A′BD=60°−∠ABD，
∴∠ABC=∠A′BD，
在△ABC和△A′BD中，
{AB=A′B
∠ABC=∠A′BD BC=BD
，
∴△ABC≌△A′BD(SAS)，
∴AC=A′D=2，
∵AD=PD，AM=BM，
∴DM是△ABP的中位线，
∴PB=2DM，
∴当DM最小时，PB有最小值，
∵△AA′B是等边三角形，M是AB中点，
∴当点A，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，
此时，A′A=4，AM=2，A′M⊥AB，
∴A′M=√A′A2−AM2=√42−22=2√3，
∴DM=A′M−A′D=2√3−2，
∴PB的最小值是4√3−4．
故选：D．
以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，证明△ABC≌△A′BD，可得AC=A′D=2，从而可得DM是△ABP的中位线，所以PB=2DM，当DM 最小时，PB有最小值，根据△AA′B是等边三角形，M是AB中点，可得当点A，D，M 在同一条直线上时，DM有最小值，然后根据勾股定理即可求出结论．
本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形中位线的性质，最短路线问题，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度很大．
11.【答案】(1,−2)
【解析】解：在直角坐标系中，点(−1,2)关于原点对称点的坐标是(1,−2)，
故答案为：(1,−2)．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12.【答案】n=10
【解析】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，
∴5
n
=0.5，
解得：n=10．
故答案为：10．
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
13.【答案】十五
【解析】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB=20°，
∴∠AOB=2∠ADB=24°，
而360°÷24°=15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：十五．
根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB=24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
14.【答案】10
【解析】解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意得50(1−x)2=40.5
解得x1=0.1，x2=1.9(不合题意，舍去)
所以平均每年下降的百分率是10%．
设平均每年下降的百分率是x，降尘量经过两年从50吨下降到40.5吨，所以可以得到方程50(1−x)2=40.5，解方程即可求解．
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．15.【答案】①③
【解析】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a<0，c>0，
=1>0，
∵−b
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②令x=−1，时y<0，即a−b+c<0，故②错误；
③∵−b
=1，
2a
∴2a+b=0，
故③正确；
④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，
∴a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故④错误．
故答案为①③．
=1，即2a+根据函数的图象即可判断①，②由x=−1时y<0，即可判断②，由−b
2a
b=0即可判断③，根据函数的最值即可判断④．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
16.【答案】3+2√2
【解析】解：如图，连接AC，CD，DE，OE，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DJ⊥CE 于J．
∵∠ABC=∠DBC=∠DBE，
∴AC⏜=CD⏜=DE⏜，
∴AC=CD=DE，
∵CH⊥AD，DJ⊥CE，
∴AH=HD，CJ=JE，
∵E是BD⏜的中点，
∴DE⏜=BE⏜，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
设∠EDB=∠EBD=x，则∠DEC=∠DCE=∠EDB+∠EBD=2x，∴∠A=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3x，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴3x+x=90°，
∴x=22.5°，
∴∠A=∠CDA=67.5°，
∵CA=CD，CH⊥AD，
∴∠ACH=//DCH=22.5°，
在CH上取一点T，使得CT=DT，连接DT，
∴∠TCD=∠TDC=22.5°，
∴∠HTD=∠TCD+∠TDC=45°，
∵∠THD=90°，
∴∠HTD=∠HDT=45°，
∴HT=DH=1，DT=TC=√2，
∴CH=1+√2，
∴CD2=CH2+DH2=(1+√2)2+12=4+2√2，
∵∠DCE=2x=45°，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∵弓形AmC的面积=弓形DmE的面积，
∴S
阴=S
四边形ACED
=S△ACD+S△CDE=1
2
⋅AD⋅CH+1
2
CD2=1
2
×2×(1+√2)+
1
2
×(4+2√2)=3+2√2，故答案为：3+2√2．
如图，连接AC，CD，DE，OE，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DJ⊥CE于J.首先证明AC=CD=DE=EB，设∠EDB=∠EBD=x，则∠DEC=∠DCE=∠EDB+∠EBD= 2x，构建方程求出x=22.5°，想办法求出CH，CD即可解决问题．
本题考查扇形的面积，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：根据题意得△=(−2)2−4(2m−1)=0，解得m=1．
此时方程为x2+2x+1=0，即(x+1)2=0，
解得x1=x2=−1．
【解析】利用判别式的意义得到△=(−2)2−4(2m−1)=0，再解关于m的方程得到m 的值，然后解原方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程．
18.【答案】解：连接OC，
∵OA=OC，∠CAO=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=140°−60°=80°，
则BC⏜的长=80π×4
180=16
9
π.
【解析】连接OC，首先判定三角形为等边三角形，得到∠BOC=80°，再利用弧长公式计算．
本题考查的是弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：l=nπR
180
是解题的关键．
19.【答案】解：(1)将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，则这张牌是红桃K的
概率为1
6
；
(2)画树状图如图：
共有9个等可能的结果，其中一张是J一张Q的结果有2个，
∴其中一张是J一张Q的概率为2
．
9
【解析】(1)由概率公式即可求解；
(2)画出树状图，共有9个等可能的结果，其中一张是J一张Q的结果有2个，由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点D即为所求作．
(2)如图，点O，点T，点E即为所求作．
(3)如图，点F即为所求作．
【解析】(1)根据轴对称的性质解决问题即可．
(2)取AB，BC的中点O，T，作射线OT交⊙O于点E，点O，T，E即为所求作．
(3)取格点R，连接AR交直线BC于点F，点F即为所求作．
本题考查作图−轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵∠DEA=∠DBA，∠DAC=∠DEA，
∴∠DBA=∠DAC，
∴∠DAC+∠DAB=90°，
∵AB是⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线；
(2)①证明：∵点E 是BD
⏜的中点， ∴∠BAE =∠DAE ，
∵∠CFA =∠DBA +∠BAE ，∠CAF =∠DAC +∠DAE ，∠DBA =∠DAC ，
∴∠CFA =∠CAF ，
∴CA =CF ；
②解：设CA =CF =x ，
则BC =CF +BF =x +2，
∵⊙O 的半径为3，
∴AB =6，
在Rt △ABC 中，CA 2+AB 2=BC 2，
即：x 2+62=(x +2)2，
解得：x =8，
∴AC =8．
【解析】(1)由AB 是⊙O 的直径，得出∠ADB =90°，由三角形内角和定理得出∠DBA +∠DAB =90°，由圆周角定理得出∠DEA =∠DBA ，求出∠DBA =∠DAC ，则∠CAB =90°，即可得出结论；
(2)①由圆周角定理得出∠BAE =∠DAE ，由三角形外角性质得出∠CFA =∠DBA +∠BAE ，求出∠CFA =∠CAF ，即可得出结论；
②设CA =CF =x ，则BC =CF +BF =x +2，在Rt △ABC 中，由勾股定理得出方程即可得出结果．
本题考查了圆周角定理、切线的判定、勾股定理、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理与勾股定理是解题的关键．
22.【答案】y =−x +120
【解析】解：(1)设解析式为y =kx +b ，
将(40,80)和(60,60)代入，可得{40k +b =8060k +b =60，解得：{k =−1b =120
， 所以y 与x 的关系式为y =−x +120，
故答案为：y =−x +120；
(2)设公司销售该商品获得的日利润为w 元，
w =(x −30)y =(x −30)(−x +120)=−x 2+150x −3600=−(x −75)2+2025， ∵x −30≥0，−x +120≥0，
∴30≤x≤120，
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x=75时，w最大=2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
(3)w=(x−30−10)(−x+120)=−x2+160x−4800=−(x−80)2+1600，
当w最大=1500时，−(x−80)2+1600=1500，
解得x1=70，x2=90，
∵40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a<80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=a=70时，w最大=1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大=1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a=70．
(1)根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
(2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
(3)根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．23.【答案】AG=CE且AG⊥CE2√3−2≤AP≤2√3+2
【解析】解：(1)AG=CE且AG⊥CE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠ADC=∠GDE=90°，AD=CD，DG=DE，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG=CE，
∵∠ADC=∠GDE=90°
由旋转可知：AG⊥CE；
故答案为：AG=CE且AG⊥CE；
CG，且DM⊥CG，理由如下：(2)DM、CG的关系是：DM=1
2
如图2，延长AD至H，使AD=DH，连接EH，
∵∠GDE=∠CDH=90°，
∴∠GDE−∠CDE=∠CDH−∠CDE，即∠CDG=∠HDE，
∵CD=DG，
∴△DGC≌△DEH(SAS)，
∴CG=EH，
∵M是AE的中点，AD=DH，
∴DM是△AEH的中位线，
EH，
∴DM//EH，EM=1
2
CG，
∴EM=1
2
∵∠GDE=∠CDH=90°，
∴△DGC绕点逆时针旋转90°到△DEH，
∴CG⊥EH，
∴DM⊥CG；
(3)由(1)可知：直线AG⊥直线CE，
∴∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆上运动，
如图3，当P与F重合时，AP最小，此时A、P、F、G共线，
Rt△AGD中，DG=2，AD=4，
∴AG=√42−22=2√3，
∴AP=2√3−2；
如图4，当P与F重合时，AP最大，同理得：AP=2√3+2，
∴AP的取值范围是：2√3−2≤AP≤2√3+2．
故答案为：2√3−2≤AP≤2√3+2．
(1)如图1，证明△ADG≌△CDE(SAS)，可得：AG=CE，并根据旋转的角度可知：AG⊥CE；
(2)如图2，延长AD至H，使AD=DH，连接EH，则CD=DH，证明△DGC≌△DEH(SAS)，
EH，最后由旋转的性质可得CG=EH，根据三角形的中位线定理得DM//EH，DM=1
2
得结论；
(3)根据圆周角定理先确定点P的运动轨迹：点P在以AC为直径的圆上运动，如图3，当P与F重合时，AP最小，如图4，当P与F重合时，AP最大，可得结论．
本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用圆来解决动点运动轨迹问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考的压轴题．
24.【答案】(4,0) (2,−2) 直角三角形 (0,√10−52)
【解析】解：(1)∵y =12x 2−2x =12(x −2)2−2，
∴B(2,−2)，
令y =0，得到12x 2−2x =0，解得x =0或4，
∴A(4,0)，
∴OB =AB =2√2，OA =4，
∴OB 2+AB 2=OA 2，
∴∠OBA =90°，
∴△OAB 是直角三角形．
故答案为：(4,0)，(2,−2)，直角三角形．
(2)如图1中，设M(2,y M )，N(0,y N )，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，
过F 作FP ⊥y 轴于P ，设直线EF 交x 轴于T ，
∵N(0,m)，T(−m,0)，
∴ON =OT =−m ，
∴∠ONT =45°，
∴NF =√2x 2，
同理，MN =2√2，EM =√2(x 1−2)=√2x 1−2√2，
∵EM −FN =MN ，
∴√2x 1−2√2−√2x 2=2√2，
∴x 1−x 2=4，
设直线EF 的解析式为y =x −m ，
由{y =x −m y =12
x 2−2x 得12x 2−3x +m =0，
∴x 1+x 2=−b a =−−312=6，x 1x 2=c a
=2m ， ∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=16，
∴62−4×2m =16，解得m =5
2．
(3)由(2)可得E(5,52)，F(1,−32)，设P(0,t)．
当经过点E ，点F 的圆与y 轴相切于点P 时，∠EPF 的值最大，
作线段EF 的垂直平分线GH ，设圆心为T ，
∵直线GH 的解析式为y =−x +7
2，
∴可以假设T(a,−a +72)，
∵TE =PT ，
∴a 2=(5−a)2+(52+a −72)2， 解得a =6−√10或6+√10(舍弃)，
∴T(6−√10,√10−5
2)，
∴P(0,√10−52
). 故答案为：(0,√10−52).
(1)利用配方法求出抛物线顶点坐标，利用待定系数法求出点A 坐标即可．
(2)如图1中，设M(2,y M )，N(0,y N )，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，过F 作FP ⊥y 轴于P ，设直线EF 交x 轴于T ，证明NF =√2x 2，MN =2√2，EM =√2(x 1−2)=√2x 1−2√2，根据EM −FN =MN ，可得√2x 1−2√2−√2x 2=2√2，推出x 1−x 2=4，设直线EF
的解析式为y =x −m ，由{y =x −m y =12x 2−2x 得12x 2−3x +m =0，可得x 1+x 2=−b a =
−−3
1
2=6，x 1x 2=c a
=2m ，推出(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=16，求出m 即可． (3)由(2)可得E(5,52)，F(1,−32)，设P(0,t).当经过点E ，点F 的圆与y 轴相切于点P 时，
∠EPF的值最大，构建方程求出点T的坐标即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。