薄翼型理论

薄翼型理论
对于理想不可压缩流体的翼型绕流，如果气流绕翼型的迎角、翼型厚度、翼型弯度都很小，则绕流场是一个小扰动的势流场。

这时，翼面上的边界条件和压强系数可以线化，厚度、弯度、迎角三者的影响可以分开考虑，这种方法叫做薄翼理论。

（Thin airfoil theory）
1、翼型绕流分解
（1）扰动速度势j
的线性叠加
（a）扰动速度势
及其方程
扰动速度势满足叠加原理。

（b）翼面边界条件的近似线化表达式
设翼面上的扰动速度分别为，则在小迎角下速度分量为
由翼面流线的边界条件为
对于薄翼型，翼型的厚度和弯度很小，保留一阶小量，得到
由于翼型的构造为
其中，yf为翼型弧度，yc为翼型厚度。

上式说明，在小扰动下，翼面上的y方向速度可近似表示为弯度、厚度、迎角三部分贡献的线性和。

（c）扰动速度势函数的线性叠加
根据扰动速度势的方程和翼面y方向速度的近似线化，可将扰动速度势表示为弯度、厚度、迎角三部分的速度势之和。

对y方向求偏导，得到
可见，扰动速度势、边界条件可以分解成弯度、厚度、迎角三部分单独存在时扰动速度势之和。

（2）压强系数Cp的线化表达式
对于理想不可压缩势流，根据Bernoulli方程，压强系数
把扰动速度场代入，得到
在弯度、厚度、迎角均为小量的假设下，如只保留一阶小量，得到
可见，在小扰动下，扰动速度势方程、物面边界条件、翼面压强系数均可进行线化处理。

（3）薄翼型小迎角下的势流分解
在小迎角下，对于薄翼型不可压缩绕流，扰动速度势、物面边界条件、压强系数均可进行线性叠加，作用在薄翼型上的升力、力矩可以视为弯度、厚度、迎角作用之和，因此绕薄翼型的流动可用三个简单流动叠加。

即
薄翼型绕流 = 弯度问题（中弧线弯板零迎角绕流）+ 厚度问题（厚度分布yc对称翼型零迎角绕流）+ 迎角问题（迎角不为零的平板绕流）
厚度问题，因翼型对称，翼面压强分布上下对称，不产生升力和力矩。

弯度和迎角问题产生的流动上下不对称，压差作用得到升力和力矩。

把弯度和迎角作用合起来处理，称为迎角弯度问题，因此对于小迎角的薄翼型绕流，升力和力矩可用小迎角中弧线弯板的绕流确定。

2、迎角-弯度绕流问题
迎角弯度问题的关键是确定涡强的分布。

要求在中弧面上满足和kutta条件。

（1）面涡强度的积分方程
因为翼型弯度一般很小，中弧线和弦线差别不大，因而在中弧线上布涡可近似用在弦线上布涡来代替，翼面上y方向的扰动速度可近似用弦线上的值取代。

这是因为，按照泰勒级数展开，有
略去小量，得到
在一级近似条件下，求解薄翼型的升力和力矩的问题，可归纳为在满足下列条件下，面涡强度沿弦线的分布。

（a）无穷远边界条件
（b）物面边界条件
（c）Kutta 条件
在弦线上，某点的面涡强度为，在dx 段上的涡强为dx，其在弦线上x点产生的诱导速度为
整个涡面的诱导速度为
即关于涡强的积分方程。

（2）涡强的三角级数求解做变量置换，令
然后，令
这个级数有两点要说明：（1）第一项是为了表达前缘处无限大的负压（即无限大的流速）所必需的（如果有负无限大压强的话）；(2)在后缘处，这个级数等于零。

后缘处载荷应该降为零，这是库塔条件所要求的。

（3）求迎角弯度的气动特性
升力线的斜率为
上式说明，对于薄翼而言，升力线的斜率与翼型的形状无关。

如果写成通常的表达形式
其中， a0为翼型的零升力迎角，由翼型的中弧线形状决定，对于对称翼型a0=0，非对称翼型a0 <>0。

对前缘取矩，得俯仰力矩为
其中，mz0为零升力矩系数。

对b/4点取距，得到
这个式子里没有迎角，说明这个力矩是常数（不随迎角变），即使升力为零仍有此力矩，可以称为剩余力矩。

只要对1/4弦点取矩，力矩都等于这个零升力矩。

这说明1/4弦点就是气动中心的位置。

另外，还有个特殊的点，称为压力中心，表示气动合力作用的位置，通过该点的力矩为零。

翼型前缘吸力系数为
3、厚度问题的解
在零迎角下厚度分布函数yc的对称薄翼型的绕流问题称为厚度问题。

对于厚度问题，可使用布置面源法求解。

即在翼型表面上连续布置面源求解。

但对薄翼型而言，可用弦线上布源近似代替翼面上布源，设在x轴上连续布置面源强度为q(负值为汇)，根据物面是流线条件确定q。

物面是流线的边界条件为
又由于则有
翼型表面上的压强。