电容器和电介质——大学物理课件

3.通过闭合曲面的电位移通量仅与面内自由电荷有 r 关，但 D是由空间所有自由电荷和极化电荷共同激 发的。 发的。 r 是为简化高斯定理的形式而引入的辅助物理量， 4 .D 是为简化高斯定理的形式而引入的辅助物理量 ， 方便处理有介质时的电场。 方便处理有介质时的电场。 练习六 计算题 2
（1）由电容串联知识知
q： 一个极板上的电量； 一个极板上的电量
q q C= = U A − UB U AB
两极板间的电势差(电压） U AB : 两极板间的电势差(电压）。 2. C 仅与电容器两极板的形状、几何尺寸、相对位 仅与电容器两极板的形状、几何尺寸、 置及内部介质有关。 置及内部介质有关。 3.电容的单位：F（法拉） 1F = 106 µF = 1012 pF 3.电容的单位 （法拉） 4.电容器电容的计算步骤 4.电容器电容的计算步骤 (1)给电容器充电 (1)给电容器充电 ± q ，用高斯定理求 E ； r B r (2)由 (2)由U AB = ∫ E ⋅ dl 求 U AB (3)由定义 (3)由定义 C = q U AB 计算 C 。
E — 静电场场强；ε — 电介质的电容率。 上式表明:电容器储有的能量与电场的存在相联系。 上式表明:电容器储有的能量与电场的存在相联系。
大量实验证明: 电容器能量的携带者是电场, 对静电场, 电容器能量的携带者是电场 , 对静电场 , 也可认 为能量携带者是电荷,两者等价。 为能量携带者是电荷 , 两者等价 。 但对于变化的电磁 只能说能量的携带者是电场和磁场 能量的携带者是电场和磁场。 场, 只能说能量的携带者是电场和磁场。凡是电场所 在的空间,就有电场能量的分布。 在的空间,就有电场能量的分布。
A
二、几种常见电容器的电容 S 1.平板电容器 1.平板电容器 q 2 E 极板面积S 间距d 极板面积 ，间距 ( S >> d ) q (1)充电 (1)充电 ± q； σ q 则极板间场强为： E = = （是均匀电场） 是均匀电场）
A d B
ε0 ε0S (2)两极板间电势差 (2)两极板间电势差：U − U = U = E d = q d A B AB ε0S q ε0S (3)由电容定义 C (3)由电容定义： = 得： C = U A − UB d ε0S 平板电容器电容： C= d 决定,与其所带电量、 仅由 S , d , ε 0 决定,与其所带电量、极板间电压无关。
12.6 充电电容器的能量 从负极板移至正极板, 每次把微量电荷 dq 从负极板移至正极板,外力都 要克服静电力做功, 要克服静电力做功,设 t 时刻极板带电量 q ,电压为 再移 dq, 外力做功： 外力做功： U, +q −q
最后带电 Q , 则
Q 0
q dA = Udq = dq C
Q
dq
A = ∫ dA = ∫
12.4 电介质的极化 1.无极分子的位移极化 2.有极分子的转向极化 极化电荷（束缚电荷） 3.极化电荷（束缚电荷） — 电介质表面因极化而出现的电荷。
q′
r E r E
4.极化电荷的特点
电介质 (1)不能移出电介质； (2)各向同性的均匀电介质极化时只在其表面 (2)各向同性的均匀电介质极化时只在其表面
a
λ λ + EP = E+ + E− = 2π ε 0 x 2π ε 0 (d − x) B d −a λ 1 1 U AB = ∫ Edx = ∫ ( − ) dx A a 2 π ε0 x d − x
C 则单位长度的电容为： = U
+λ
P •
−λ
O
x
λ d −a ln = π ε0 a
d
λ
AB
λ −q +q 2π ε 0r RB λ λ RB U AB = ∫ dr = ln RA 2π ε 0r 2π ε 0 RA B A q 2π ε 0 L
两板间场强： E =
RA
RB
L
C=
U AB
=
ln( RB RA )
2π ε 0 L 圆柱形电容器电容：C = ln( RB RA )
决定,与其所带电量、 仅由 S , d , ε 0 决定,与其所带电量、极板间电压无关。
E外 =
2
2
1 ε 0 E 2dV = = We 2
决定,与其所带电量、 仅由 S , d , ε 0 决定,与其所带电量、极板间电压无关。
q
RB
RARB 讨论 球形电容器电容： C = 4π ε 0 RB − RA (1)若 (1)若 d = RB − RA , d << RA , RB ,
ε0S 则： C = 4π ε 0 RARB ≈ 4π ε 0 = RB − RA d d 可视为平板电容器的电容。
U2
U
+ q1 − q1
+q
U
等效电容
−q
C
U = U1 = U2 = L q = q1 + q2 + L
C1 + q 2 − q2
C2
C = C1 + C2 + L
U
U
电介质（介电质） 12.3 电介质（介电质）对电场的影响 电介质 — 不导电的绝缘物质。 q0 一、电介质对电场的影响 C0 1.充电介质时电容器的电容 −q (1)两极板间为真空时： 两极板间为真空时：
5
(C/m )
2
r r ∫∫ D1 • dS = σ∆S ，
S1
D1 ∆S = σ∆S，
D1 = σ，
σ 5 E1 = = 4.0 × 10（V/m） ,由正极板指向负极板 ε r 1 ε0 r r 同理 ∫∫ D2 • dS = σ∆S ，D2 = σ，
S2
σ 6 E2 = , = 1.0 × 10（V/m） 由正极板指向负极板 ε r 2 ε0
C1C 2 ε1 ε2 S C= = C1 + C 2 d 2 ε1 + d1 ε2
为已知， （U A - U B）为已知， ∴ q = C(U A - U B）
q C(U A - UB ) σ= = S S
r r （2）由的高斯定理求出 D ，再求 E
作如图所示高斯面 S1 、 S2
C1 C2
= 1.27 × 10
o
rr r EE0 E′ 0
εr
o
o
有介质时的高斯定理 — 电场中通过任意闭和曲面 的电位移通量=该闭曲面包围的自由电荷的代数和。 的电位移通量=该闭曲面包围的自由电荷的代数和。
r r r D = ε 0ε r E = ε E
1.上式仅适合于各向同性的均匀电介质。
r 2. D 是综合了电场和介质两种性质的物理量。
0
q Q2 dq = C 2C
r E
⊕
U
外力做的功转化为电容器储存的能量：
1 1 Q2 1 2 = QU We = ⋅ = CU 2 2 C 2
12.7 电介质中电场的能量 1. 电场能量 1 2= 1 ⋅ ε S ⋅ ( Ed )2 = 1 ε E 2 Sd = 1 ε E 2 V We = CU 2 d 2 2 2 其中： V — 静电场占据的空间体积；
2.电场能量密度 2.电场能量密度 电场中单位体积的电场能量。 电场能量密度 we — 电场中单位体积的电场能量。
∴
We 1 we = = ε E2 V 2 1 2 we = ε E 2
3.电场能量的计算 3.电场能量的计算 一般情形： 一般情形：We =
∫Vwe dV = ∫V
1 2 ε E dV 2
=
d −a ln a
π ε0
A
B
12.2 电容器的连接 1.串联 1.串联:
q = q1 = q2 = L
+ q1 − q1 + q 2 − q 2
C1 C2
q q C= = U U1 + U 2
1 1 1 = + +L C C1 C2
2. 并联:
U = U1 + U2 + L
等效电容
+q
−q
C
U1
的两根平行长直导线相距为d 例：半径为a的两根平行长直导线相距为 ( d >> a )， 半径为 的两根平行长直导线相距为 (1)设两导线每单位长度上分别带电量 设两导线每单位长度上分别带电量+λ和 求两导 (1)设两导线每单位长度上分别带电量 和-λ,求两导 线间的电势差;(2)求此导线每单位长度的电容。 ;(2)求此导线每单位长度的电容 线间的电势差;(2)求此导线每单位长度的电容。 解： d >> a , 充电 ± λ ， 建立坐标系如图：
.
— 称电介质的电容率 (介电常数) 。 称电介质的电容率 介电常数) 空气： ε ≈ ε 0 4.电介质中的场强 E0 实验得知： E = 变小） （变小） εr 结论： 在空间自由电荷分布不变的情况下， 在空间自由电荷分布不变的情况下 ， 介质中的 场强是真空时该处场强的 ε 倍。 r
1
ε
ε = 容器为例：
q0 C0 = U0
(2)两极板间充满各向同性的均 匀电介质时： U0 测得：
C εr − q0
q0
U
结论： 充满电介质电容器的电容是真空时电容的
q0 q0 = ε rC0 U= , ∴ C = = εr U U0 εr
εr
倍。
2.电介质的相对电容率 2.电介质的相对电容率 ε r 称电介质的相对电容率 相对介电常数） 相对电容率（ ε r— 称电介质的相对电容率（相对介电常数）。 是表征电介质电学性质的物理量（纯数） 是表征电介质电学性质的物理量（纯数）。 空气： r ≈ 1 ; 一般电介质： r > 1 ;导体： r → ∞ ε ε ε 3.电介质的电容率 3.电介质的电容率 ε
1 2 均匀电场： e = we V = ε E V W 2
均匀带电球体的 例 1: 求半径为 R 、带电量为 q 的均匀带电球体的 静电能。 静电能。 q + + qr 解： 由高斯定理得： 由高斯定理得： E内 = + + + + r dr + 4π ε 0 R 3 + R o 均匀带电球体的场强 + + q
出现面极化电荷，内部无体极化电荷。 出现面极化电荷，内部无体极化电荷。
5. 极化电荷与自由电荷的关系
+σ0 σ′ E′ = , −σ ′ rr r ε0 EE0 E′ ε r 0 1 E = E0 − E′ = (σ 0 − σ ′) + σ ′ −σ0 ε0 E0 σ 0 σ0 1 Q E= , ∴ = (σ 0 − σ ′) = ε r ε 0ε r ε0 ε 0ε r
σ0 E0 = , ε0
得：
σ ′ = ( 1−
1
εr
)σ0
q′ = ( 1 −
1
εr
) q0
12.5 D 矢量及有介质时的高斯定理 +σ0 一、有介质时的高斯定理 −σ ′
r r ∑ qi 1 ∫S E ⋅ dS = ε = ε ∑ (q0 − q′) + σ ′ 0 0 −σ0 1 1 1 = ∑[q0 − (1 − )q0 ] = ∑ q0 ε 0ε r ε0 εr r r ∴ ∫S ε 0ε r E ⋅ dS = ∑ q0 r r 引入电位移矢量： 引入电位移矢量：D = ε 0ε r E r r 上式得： ∫S D ⋅ dS = ∑ q0
2 RA
(2) 若 RB >> RA RARB C = 4π ε 0 = 4π ε 0 RB − RA
可视为孤立导体球的电容。 或孤立导体球可视为一个极板在 容器。
RARB ≈ 4π ε 0 RA RA RB (1 − ) RB
∞
处的球形电
3.圆柱形电容器 3.圆柱形电容器 两极板的半径为RA , RB ( RB − RA << RA ) , 长为 L 。
2. 球形电容器 两极板的半径 RA , RB ( RB − RA << RA ) ± q ；两板间场强： = q 2 E (1)充电 (1)充电 4π ε 0 r (2)两极板间电势差 (2)两极板间电势差：
+q
−q
B
RB
RA A
dr q 1 1 U AB = ∫ r 2 = 4π ε ( R − R ) 4π ε 0 RA 0 A B q RA RB (3) 电容： = C = 4π ε 0 U AB RB − RA RARB 球形电容器电容： 球形电容器电容：C = 4π ε 0 RB − RA
第13章 13章 有导体和电介质 存在时的静电场
基 本 要 求 一、理解电容的定义，掌握电容的计算方法。 理解电容的定义，掌握电容的计算方法。 二、了解电介质的极化和电位移矢量。 三、了解有介质时的高斯定理。 四、理解电场能量，掌握电场能量的计算方法。 理解电场能量，
12.1 电容器及其 一、电容器的电容 电容器 — 由两个带等量异号电荷的导体构成的器件。 1.电容器电容的定义 1.电容器电容的定义