河北省沧州市黄骅中学2021年高一数学理联考试卷含解析

河北省沧州市黄骅中学2021年高一数学理联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（9）=（）
A． 1 B． 3 C．9 D．81
参考答案：
D
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据幂函数f（x）的图象经过点（2，4），求出函数解析式，再计算f（9）的值．
解答：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），
∴2α=4，
∴α=2；
∴f（x）=x2，
∴f（9）=92=81．
故选：D．
点评：本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
2. 在区间上是减函数的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.
【详解】在上单调递增，错误；在上单调递增，错误
在上单调递减，正确；在上单调递增，错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题.
3. “”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
解析:本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
当时，，
反之，当时，有，
或，故应选A.
4. 的值是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
5. 圆：和圆：交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是
A. x+y+3=0
B. 2x-y-5=0
C. 3x-y-9=0
D.4x-3y+7=0
参考答案：
C
6. 已知，那么用表示是（）
A． B． C． D ．
参考答案：
A
7. 方程组的有理数解的个数
为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
8. 把89化成五进制数的末位数字为: （）
A. 1
B.2
C.3
D.4
参考答案：
D
略
9. 已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列， -1,b1,b2,b3, -9五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)的值
为（）
A. 8
B.-
8 C.±8 D.
参考答案：
B
略
10. 下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是（）
A．y=﹣4x B．y=4﹣x C．y=﹣4﹣x D．y=4x+4﹣x
参考答案：
B
【考点】35：函数的图象与图象变化．
【分析】在指数型函数中，如果两个函数的底数互为倒数，则这两个函数的图象关于y对称．
【解答】解：由于y=4x，
故与其图象关于y轴对称的图象对应的函数的解析式为y=（）x
=4﹣x．
故选：B．
【点评】本题考点是指数函数的图象，考查两个底数互为倒数的函数图象的对称性，本题考查函数中的一个结论，适用范围较窄，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列语句正确的有（写出所有正确的序号）.
①
②函数y＝f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b);
③若集合只有一个元素，则a＝1;
④已知函数f(x)的定义域是(0,1)，则f(3x)定义域是 (0,1).
参考答案：
12. 用符号“∈”或“”填空．
若A＝{x|x2＝x}，则－1________A．
参考答案：
答案：
解析：要判断一个元素是否属于集合，就是要看这个元素是否符合这个集合中元素的条件．
13. 把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个
数，…，按此规律下去，即，…，则第6个括号内各数字之和为．
参考答案：
【考点】归纳推理．
【分析】利用裂项相消法，求出前面6个括号的数的总和，及前5个括号数的总和，相减可得答案．
【解答】解：∵=﹣，
故数列{}的前n项和S n=1﹣++…+﹣=1﹣=，
由于第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，…故前6个括号的数共有1+2+3+4+5+6=21个，
前面6个括号的数的总和为：S21=，
故前5个括号的数共有1+2+3+4+5=15个，
前面5个括号的数的总和为：S15=，
故第6个括号内各数字之和为=，
故答案为．
14. 设，则a，b，c的大小关系为_________ ．
参考答案：
a＜c＜b
15. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在第一象限，圆与轴相交于、
两点，且与直线相切，则圆的标准方程为．
参考答案：
16. （5分）函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是．
参考答案：
（1，3）
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据sinx≥0和sinx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出k的取值范围．
解答：由题意知，，
在坐标系中画出函数图象：
由其图象可知当直线y=k，k∈（1，3）时，
与f（x）=sinx+2|sinx|，
x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点．
故答案为：（1，3）．
点评：本题的考点是正弦函数的图象应用，即根据x的范围化简函数解析式，根据正弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．
17. 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．
参考答案：
【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．
【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8
∴a：b：c=5：7：8
设a=5k，b=7k，c=8k，
由余弦定理可得cosB==；
∴∠B=．
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为了解人们对某种食材营养价值的认识程度，某档健康养生电视节目组织8名营养专家和8名现场观众各组成一个评分小组，给食材的营养价值打分（十分制）．下面是两个小组的打分数据：
（1）求第一小组数据的中位数与平均数，用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组
打分的情况更合适？说明你的理由．
（2）你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗？请比较数字特征并说明理由．
（3）节目组收集了烹饪该食材的加热时间：（单位：min）与其营养成分保留百分比y的有关数据：
在答题卡上画出散点图，求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并说明回归方程中斜率的含义．
附注：参考数据：，.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
参考答案：
（1）中位数为7.75，平均数为7，中位数7.75更适合描述第一小组打分的情况；（2）由可知第二小组的打分人员更像是由营养专家组成；（3）散点图见解析；回归直线为：；的含义：该食材烹饪时间每加热多1分钟，则其营养成分大约会减少．
【分析】
（1）将第一小组打分按从小到大排序，根据中位数和平均数的计算方法求得中位数和平均数；由于存在极端数据，可知中位数更适合描述第一小组打分情况；（2）分别计算两组数据的方差，由可知第二小组打分相对集中，其更像是由营养专家组成；（3）由已知数据画出散点图；利用最小二乘法计算可得回归直线；根据的含义，可确定斜
率的含义.
【详解】（1）第一小组的打分从小到大可排序为：，，，，，，，
则中位数为：
平均数为：
可发现第一小组中出现极端数据，会造成平均数偏低
则由以上算得的两个数字特征可知，选择中位数更适合描述第一小组打分的情况．（2）第一小组：平均数为
方差：
第二小组：
平均数：
方差：
可知，，第一小组的方差远大于第二小组的方差
第二小组的打分相对集中，故第二小组的打分人员更像是由营养专家组成的
（3）由已知数据，得散点图如下，
，且，
则
关于的线性回归方程为：
回归方程中斜率的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．
【点睛】本题考查计算数据的中位数、平均数和方差、根据方差确定数据的波动性、回归直线的求解问题；考查学生对于统计中的公式的掌握情况，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.
19. 已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)化简f(α),
(2)若cos(α-)=,求f(α)的值.
参考答案：
(1)f(α)=
(2)
又α是第三象限角，∴cosα=∴f(α)=
略
20. 已知直线，圆C：.
试证明：不论为何实数，直线和圆C总有两个交点；
当取何值时，直线被圆C截得的弦长最短，并求出最短弦的长。

参考答案：
解：（1）方法1：由
∵Δ＞0
∴不论为何实数，直线和圆C总有两个交点。

方法2：圆心C（1，－1）到直线的距离，圆C的半径，
而＜0，即＜R，
∴不论为何实数，直线和圆C总有两个交点。

方法3：不论为何实数，直线总过点A（0，1），而＜R，
∴点A（0，1）在圆C的内部，即不论为何实数，直线总经过圆C内部的定点A。

∴不论为何实数，直线和圆C总有两个交点。

（2）当定点(0,1)为弦的重中点时，所截得的弦最短，此时k=-1 故k=，此
时圆心到直线的距离d=，弦长=2=4
略
21. 如图ABCD为矩形，CDFE为梯形，CE⊥平面ABCD，O为BD的中点，AB=2EF
（Ⅰ）求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）若ABCD为正方形，求证：平面ACE⊥平面BDF．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）如图，取AD的中点M，连接MF，OM．欲证明OE∥平面ADF，只需推知OE∥MF即可；
（Ⅱ）根据平面与平面垂直的判定定理进行证明即可．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AD的中点M，连接MF，OM，
因为ABCD为矩形，O为BD的中点，
所以OM∥AB，AB=2OM．
又因为CE⊥平面ABCD，
所以CE⊥CD．因为CDEF为梯形，
所以CD∥EF，
又因为AB=2EF，
所以EF∥OM，EF=OM，
所以EFMO为平行四边形，
所以OE∥MF，
又MF?ADF，所以OE∥平面ADF．
（Ⅱ）因为ABCD为正方形，O为BD的中点，
所以BD⊥AC，
又因为CE⊥平面ABCD，
所以BD⊥CE，
所以BD⊥平面ACE，
所以平面BDF⊥平面ACE．
22. 已知.
（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围. 参考答案：
（1）因为是奇函数，
所以，
所以；
在上是单调递增函数.
（2）在区间上有两个不同的零点，
方程在区间上有两个不同的根，
方程在区间上有两个不同的根，
方程在区间上有两个不同的根，
.。