2.3函数的单调性 课件-北师大版高中数学必修1

单调性的定义
在函数y f (x)的定义域内的一个区间A 上，
y
抽
如果对于任意两数x1, x2 A, 当 x11 xx22 时，都有 ff((xx11)) ff((xx22)) ，
那么，就称函数y f (x)在区间A上是增加 的，
象
有时也称函数y f (x)在区间A上是递增 的. 区间A 称为函数的单调增区间.
一般地，对于函数y f (x),其定义域为D,如果存在x0 D, f (x0 ) N , 使得对于任意的x D，都有（f x) N ,那么，我们称N是函数y=f (x) 的最小值， 即当x x0时，f (x0 )是函数y f (x) 的最小值，记作ymin N.
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最大值、最小值的定义
一般地，对于函数y f (x),其定义域为D,如果存在x0 D, f (x0 ) M , 使得对于任意的x D，都有（f x) M ,那么，我们称M 是函数y=f (x) 的最大值， 即当x x0时，f (x0 )是函数y f (x) 的最大值，记作ymax M .
y
4
例
3
分
2
析
1
二次函数y=x2 ,在区间( ，0)内，函数值
随着自变量的增大而 减小 ，从图像上看， 在y左侧,从左到右是 下下降降 的； 在区间(0, )内，函数值随着自变量的增 大而 增增大大 ，从图像上看，在y轴右侧，从
-2 -1
O 1 2x
左到右是 上升 的.
-1
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–2
–3
–4
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增函数
减函数
图
像
如果函数值y在给定区间上 随着自变量x的增大而增大，
法 判
如果函数值y在给定区间上
断
随着自变量x的增大而减少，
则函数在这个区间上增函数.
单 调
则函数在这个区间上减函数.
性
通过图像很容易判断函数的单调性， 但是给出函数f(x)的解析式时如何确定函数的单调性？
y=f(x)
f(x1) f(x2) o x1 x2 x
概
在函数y f (x)的定义域内的一个区间A 上，
y
括
如果对于任意两数x1, x2 A, 当 x11 xx22 时，都有 ff((xx11)) ff((xx22)) ，
y=f(x)
那么，就称函数y f (x)在区间A上是减少 的， 有时也称函数y f (x)在区间A上是递减 的. 区间A 称为函数的单调减区间.
例3 如图，某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下， 以水池的中央为坐标原点，水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系，那么
水流喷出的高度h（单位：m )与水平距离x（单位：m )之间的函数关系式为：
h
x2
2x
5 ,x
[0, 5 ].求水流喷出的高度h 的最大值是多少？
4
2
解 由函数h
x2 2x 5 ，x [0, 5 ]的图像可知，显然，
4
2
函数图像的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.
对于函数h
x2 2x 5 ，x [0, 5 ]，
4
2
当x 1 时，函数有最大值hmax
3(x1 x2 ) 0, 即f (x1) f (x2 ).
由单调函数的定义可知，函数f (x) 3x
2 是R上的增函数.
设值 作差变形 判号
下结论
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证明函数单调性的步骤
1. 设值：设任意x1, x2 给定区间, 且x1 x2； 2. 作差变形：作差f (x1) f (x2 )并适当变形； (变形手段有：因式分解，配方，通分等) 3. 判号：确定f (x1) f (x2 ) 的正负； 4. 下结论：由定义得出函数f (x) 的单调性.
f(x1) o x1
f(x2) x2 x
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例1 说出函数f (x)
1 的单调区间，并指明在该区间上的单调性. x
y
4
3
2
解 ( ，0)和(0 ， )都是函数的单调区间， 在这两个区间上函数f (x) 1 是减少的. x
1
––4 ––3 ––2 ––1 O 1 2 3 4 x –1
实
y y x1
例
3
分
2
1
一次函数y x 1,在其定义域内， 函数值随着自变量的增大而增增大，
析
从图像上看，从左到右是上上升的.
-2 -1 o 1 2 x
-1
-2
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在研究函数的过程中，我们最关心的是：
当自变量变化时，函数值随着自变量的变化如何变化.
实
y x2
27.8
25.4 21.1
以上数据表明，记忆保留量y是时间t
y
的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘
100 80
出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,
60 40
如图：
20
o 1 2 3 t(天)
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在研究函数的过程中，我们最关心的是：
当自变量变化时，函数值随着自变量的变化如何变化.
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例2 画出函数f (x) 3x 2的图像，判断它的单调性，并加以证明.
解 作出f (x) 3x 2的图像，由图看出，函数f (x) 的图像在R上是上升的， 函数f (x) 是R上的增函数.
y
5 y 3x 2
4 3 2 1
O 1 2x
证明：任取x1, x2 R, 且x1 x2，则x1 x2 0. 所以f (x1) f (x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
对于下图给出的函数，你能说出它的函数值y 随自变量x 值的变化情况吗？
思 考 交 流
函数在区间 [ 6， 5]，[ 2，1]，[3，4.5]，[7，8] 函数值y 随自变量x 的增大而增大； 函数在区间 [ 5， 2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9] 函数值y 随自变量x 的增大而减小.
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德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程 度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
情
景
测试时间t
刚记忆 20分 完毕 钟后
60分 钟后
8-9 小时后
1天后Βιβλιοθήκη 2天后6天后一个 月后
设 置
记忆保留量y (百分比)
100
58.2 44.2 35.8 33.7