【全国百强校】海南省文昌中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中）
1．若直线x =1的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．不存在
【答案】C 【解析】
试题分析：直线1x =与x 轴垂直，倾斜角为90°．故选C ． 考点：直线的倾斜角．
2．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是( ) A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y +-=
D ．210x y +-=
【答案】A
考点：两直线平行，直线方程．
3．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角 三角形，则该几何体的体积是( )
A ．2
B ．1
C ．
D ． 【答案】C
考点：三视图，体积．
4．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝4的切线，切线长为32，则a 等于 ( ) A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．0
【答案】B 【解析】
试题分析：圆心为(2,1)-，半径为2，由题意2222(2)(51)2a ++-=+，解得2a =-．故选B ． 考点：圆的切线长．
5. 已知直线,m n 与平面,αβ，给出下列三个结论：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n α⊥， 则m n ⊥； ③若m α⊥，m ∥β，则αβ⊥．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
试题分析：①若m ∥α，n ∥α，,m n 可能平行、可能相交、也可能异面，①错；②若m ∥α，则过m 作一个平面与α相交于直线c ，则//m c ，又n α⊥，则n c ⊥，所以m n ⊥，②正确；③若m ∥β，过m 作一个平面与β相交于直线c ，则//m c ，又m α⊥，则c α⊥，所以βα⊥，③正确，正确命题个数为2，故选C ．
考点：命题真假判断，空间线面位置关系．
6．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 是棱1DD 的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11B A 中 点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为( ) A ．30o
B ． 60o
C ．90o
D ．120o
【答案】C
考点：异面直线所成的角．
7．若直线l 1：ax +(1－a )y =3，与l 2：(a -1)x +(2a +3)y =2互相垂直，则a 的值为（ ） A ．－3 B ．1
C ．0或－
2
3
D ．1或－3 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知(1)(1)(23)0a a a a -+-+=，解得1a =或3a =-．故选D ． 考点：两直线垂直．
8．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( ) A ．3－ 2
B ．3＋2
C ．3－
2
2
D ．3－22
【答案】A
考点：点到直线的距离．
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和他们的高都与某一个球的直径相等，此时圆柱、圆锥、球的体积之比 为 ( )
A ．3∶1∶2
B ．3∶1∶4
C ．3∶2∶4
D ．2∶1∶3 【答案】A 【解析】
试题分析：设圆柱底面半径为r ，2
3
22V r r r ππ=⋅=圆柱，2312233V r r r ππ=
⨯=圆锥，34
3
V r π=球，所以312V V V 圆柱圆锥球：：＝：：，故选A ．
考点：旋转体的体积．
10．已知q p ,满足012=-+q p ，则直线03=++q y px 必过定点（ ） A ．)2
1
,61(-
B ．)6
1,21(
C ．)6
1,21(-
D ．)2
1,61(-
【答案】C 【解析】
试题分析：由012=-+q p ，得11022p q -+=，与30px y q ++=比较，知11
(,)26-适合此方程，即直线30px y q ++=一定过点11
(,)26
-．故选C ．
考点：直线方程．
11．在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为 ( )
A ．
8
3
B ．
3
8
C ．
4
3
D ．
34
【答案】
C
考点：点到平面的距离．
【名师点睛】求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法（学习了空间向量后有④法向量法）． 12．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B (4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点
),(n m D 重合，则n m +的值为（ ）
A.
5
34
B.
533 C. 5
32 D.
531
【答案】A 【解析】
试题分析：线段AB 中垂线方程为23y x =-，由对称性得3
172
372322n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯-⎪⎩，解得35315m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以
34
5
m n +=
．故选A ． 考点：对称问题．
【名师点睛】(1) 点 ( x , y ) 关于点 ( m , n ) 的对称点为( 2m －x , 2n －y )
(2) 点 ( x , y ) 关于直线 A x + B y + C = 0 的对称点 ( x o , y o ) ，则0000()1,0,22
y y A x x B x x y y A B C -⎧⋅-=-⎪-⎨++⎪⋅+⋅+=⎩
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个四边形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底的长均为1的等腰梯形,那么原四边形的面积 是 。

【答案】22+
考点：斜二测画法．
14．在平面直角坐标系xoy 中，直线0543=-+y x 与圆42
2
=+y x 相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于 ________．
【答案】【解析】
试题分析：圆心到直线距离为1d ==
，弦长为l ==．
考点：直线与圆相交弦长问题．
15．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积等于 .
【答案】8π
考点：三视图，三棱锥与外接球，球的表面积．
【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，明确球心位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．
16．如 图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1,BD =2,BD ⊥CD,将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体
BCD A -/，使平面⊥BD A /平面BCD ，则下列结论正确的是 .
(1)BD C A ⊥/； (2) ︒=∠90/C BA ；
(3)/CA 与平面BD A /
所成的角为︒30； (4)四面体BCD A -/的体积为6
1. 【答案】(2)(4)
考点：命题的真假判断．
【名师点睛】折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体．如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面位置关系的判定方法及相互转化，角的作法，还要正确识别出平面图象折叠后的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值所在．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形, AD ∥BC , ︒=∠90BAD ,
PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.
（1）求证：PB ADMN ⊥平面； （2）求BD 与平面ADMN 所成的角；
【答案】（1）见解析；（2）
6
π
．
考点：线面垂直的判断，直线与平面所成的角．
18．（本小题满分12分）已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上． （1）求点C 的坐标； （1）求直线MN 的方程．
【答案】（1）(1,3)-；（2）21050x y --=． 【解析】
考点：中点坐标公式，直线方程的截距式．
19. （本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，BC =2，AB =1，P A ⊥平面ABCD ，BE ∥P A ，BE =1
2
P A ，F 为P A 的中点.
（1）求证：PC ∥平面BDF .
（2）记四棱锥C-P ABE 的体积为V 1，三棱锥P-ACD 的体积为V 2，求
1
2
V V 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）3
2
． 【解析】
试题分析：（1）要证线面平行，就是要证线线平行，这条平行线就是过PC 的平面与平面BDF 的交线，从
图中看，设BD 与AC 的交点为O ，OF 就是要找的平行线，由中位线定理可证得平行；（2）题中四棱锥与三棱锥的体积没有直接的关系，我们可以通过体积公式进行转化，首先P ACD P ABC C PAB V V V ---==，而三棱锥C PAB -与四棱锥C PABE -的高相等（同），因此只要求得其底面积之比即可．
考点：空间直线与平面，直线与直线平行的判定、线面垂直的性质，棱锥的体积公式
20．（本小题满分12分）求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且截直线x －y ＝0所得弦长为27的圆 的方程．
【答案】(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.
【解析】
试题分析：求圆的方程，可以设圆的标准方程为222
()()x a y b r -+-=，由题意列出三个方程，正好题中
有三个独立条件，与x 轴相切，说明r b =，圆心在直线3x －y ＝0上，说明30a b -=，且截直线x －y ＝0所得弦长为27，可用垂径定理列出等式，联立解方程组可得．
考点：圆的标准方程．
21. （本小题满分12分）如图已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 的菱形，又ABCD PD 底面⊥， 且PD =CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN ∥平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面P AD ；
【答案】证明见解析．
考点：线面平行的判断，面面垂直的判断．
22. （本小题满分12分）
已知圆C ：044622=+--+y x y x ，直线1l 被圆所截得的弦的中点为)3,5(P ．
（1）求直线1l 的方程．
（2）若直线2l ：0=++b y x 与圆C 相交，求b 的取值范围．
（3）是否存在常数b ，使得直线2l 被圆C 所截得的弦的中点落在直线1l 上？若存在，求出b 的值；若不
存在，说明理由．
【答案】（1）2x ＋y －13＝0；（2）－3 2－5＜b ＜3 2－5；（3）存在，且b ＝－253．
（3）设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，
则直线l 2与CM 垂直，于是有y 0－2x 0－3
＝1，整理可得x 0－y 0－1＝0. 又∵点M (x 0，y 0)在直线l 2上，∴x 0＋y 0＋b ＝0.
∴由 x 0－y 0－1＝0，
x 0＋y 0＋b ＝0，解得 x 0＝1－b 2，
y 0＝－1＋b 2，
代入直线l 1的方程，得1－b －1＋b 2－13＝0，
于是b ＝－253∈(－3 2－5，3 2－5)，
故存在满足条件的常数b .
考点：直线方程，直线与圆相交弦的中点问题．
【名师点睛】
处理存在性问题的常用方法是先假定存在，再根据条件建立相应的关系式，最后对关系式进行代数变形，求解．如能求得实数解，说明存在，如无实数解，说明假设错误，结论为不存在．在解析几何中通过结合“设而不求”方法求解这存在性问题，定点、定值问题等．
：。