高中数学第二章数列2.2.3等差数列的前n项和资料省公开课一等奖新优质课获奖课件
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思索1
已知数列{an}前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
答案
a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.
5/37
梳理 对任意数列{an}，Sn 与 an 的关系可以表示为
an＝
S1 n＝1， Sn－Sn－1 n≥2，n∈N*.
第2章 §2.2 等差数列
2.2.3 等差数列前n项和(二)
1/37
学习目标
1.深入熟练掌握等差数列通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和最值问题. 3.了解an与Sn关系，能依据Sn求an.
2/37
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3/37
问题导学
4/37
知识点一 数列中an与Sn关系
答案
由二次函数性质能够得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增， 有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取 最靠近对称轴正整数时，Sn取到最值.
9/37
梳理 等差数列前n项和最值与{Sn}单调性相关.
(1)若a1>0，d<0，则数列前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}最小值；若a1<0，d<0， 则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}最大值.
答案 解析
∵S3＝S8， ∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0， ∴a6＝0.∵a1＞0， ∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0， a7＜0. 故当n＝5或6时，Sn最大.
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4.已知数列{an}前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解答
当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
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(2)通项法：当 a1>0，d<0，当aann≥＋1≤0，0 时，Sn 取得最大值；当 a1<0， d>0，当aann≤＋1≥0，0 时，Sn 取得最小值. 3.求等差数列{an}前n项绝对值之和，关键是找到数列{an}正负项分界 点.
36/37
本课结束
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Hale Waihona Puke 2.已知数列{an}为等差数列，它前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ 值是_____－__1_.
答案 解析
等差数列前n项和Sn形式为Sn＝an2＋bn， ∴λ＝－1.
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3.首项为正数等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝___5_或__6时，Sn 取到最大值.
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跟踪训练3 已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}每一项都有bn ＝|an|，求数列{bn}前n项和Tn表示式.
解答
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当堂训练
30/37
1.已知数列{an}前n项和Sn＝n2＋n，则an＝_____2_n__.
答案 解析
当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 又因为a1＝2符合an＝2n， 所以an＝2n.
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思索2
在数列{an}中，已知Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，这个数 列一定是等差数列吗？
答案
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知识点二 等差数列前n项和最值
思索
我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的
二次函数 Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，类比二次函数的最值情况，等差 数列的 Sn 何时有最大值？何时有最小值？
解答
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类型三 求等差数列前n项绝对值之和 例3 若等差数列{an}首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|， 求Tn.
解答
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反思与感悟
求等差数列{an}前n项绝对值之和，依据绝对值意义，应首先分 清这个数列哪些项是负，哪些项是非负，然后再分段求出前n项 绝对值之和.
当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
∴an＝52， n－1，
n＝1， n≥2，n∈N*.
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规律与方法
1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n) 时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统 一解析式表示，若不能，则用分段函数形式表示. 2.求等差数列前n项和最值方法： (1)二次函数法：用求二次函数最值方法来求其前n项和最值，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象对称性来确定n值，愈加直观.
跟踪训练1 已知数列{an}前n项和Sn＝3n，求an.
解答
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1，得a1＝2≠3.
∴an＝32·，3n－1，
n＝1， n≥2，n∈N*.
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类型二 等差数列前n项和最值 例 2 已知等差数列 5,427，347，…的前 n 项和为 Sn，求使得 Sn 最大的序 号 n 的值.
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题型探究
11/37
类型一 已知数列{an}前n项和Sn求an
解答
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解答
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反思与感悟
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2 时，an＝Sn－Sn－1求得an，最终验证a1是否符合an，若符合则统 一用一个解析式表示.不符合则分段.
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解答
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反思与感悟
在等差数列中，求Sn最大(小)值，其思绪是找出某一项，使这项 及它前面项皆取正(负)值或零，而它后面各项皆取负(正)值，则 从第1项起到该项各项和为最大(小).因为Sn为关于n二次函数，也 可借助二次函数图象或性质求解.
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跟踪训练2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列 前n项和Sn最小值.
已知数列{an}前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
答案
a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.
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梳理 对任意数列{an}，Sn 与 an 的关系可以表示为
an＝
S1 n＝1， Sn－Sn－1 n≥2，n∈N*.
第2章 §2.2 等差数列
2.2.3 等差数列前n项和(二)
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学习目标
1.深入熟练掌握等差数列通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和最值问题. 3.了解an与Sn关系，能依据Sn求an.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
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问题导学
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知识点一 数列中an与Sn关系
答案
由二次函数性质能够得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增， 有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取 最靠近对称轴正整数时，Sn取到最值.
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梳理 等差数列前n项和最值与{Sn}单调性相关.
(1)若a1>0，d<0，则数列前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}最小值；若a1<0，d<0， 则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}最大值.
答案 解析
∵S3＝S8， ∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0， ∴a6＝0.∵a1＞0， ∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0， a7＜0. 故当n＝5或6时，Sn最大.
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4.已知数列{an}前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解答
当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
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(2)通项法：当 a1>0，d<0，当aann≥＋1≤0，0 时，Sn 取得最大值；当 a1<0， d>0，当aann≤＋1≥0，0 时，Sn 取得最小值. 3.求等差数列{an}前n项绝对值之和，关键是找到数列{an}正负项分界 点.
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本课结束
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Hale Waihona Puke 2.已知数列{an}为等差数列，它前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ 值是_____－__1_.
答案 解析
等差数列前n项和Sn形式为Sn＝an2＋bn， ∴λ＝－1.
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3.首项为正数等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝___5_或__6时，Sn 取到最大值.
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跟踪训练3 已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}每一项都有bn ＝|an|，求数列{bn}前n项和Tn表示式.
解答
28/37
当堂训练
30/37
1.已知数列{an}前n项和Sn＝n2＋n，则an＝_____2_n__.
答案 解析
当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 又因为a1＝2符合an＝2n， 所以an＝2n.
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思索2
在数列{an}中，已知Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，这个数 列一定是等差数列吗？
答案
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知识点二 等差数列前n项和最值
思索
我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的
二次函数 Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，类比二次函数的最值情况，等差 数列的 Sn 何时有最大值？何时有最小值？
解答
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类型三 求等差数列前n项绝对值之和 例3 若等差数列{an}首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|， 求Tn.
解答
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反思与感悟
求等差数列{an}前n项绝对值之和，依据绝对值意义，应首先分 清这个数列哪些项是负，哪些项是非负，然后再分段求出前n项 绝对值之和.
当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
∴an＝52， n－1，
n＝1， n≥2，n∈N*.
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规律与方法
1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n) 时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统 一解析式表示，若不能，则用分段函数形式表示. 2.求等差数列前n项和最值方法： (1)二次函数法：用求二次函数最值方法来求其前n项和最值，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象对称性来确定n值，愈加直观.
跟踪训练1 已知数列{an}前n项和Sn＝3n，求an.
解答
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1，得a1＝2≠3.
∴an＝32·，3n－1，
n＝1， n≥2，n∈N*.
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类型二 等差数列前n项和最值 例 2 已知等差数列 5,427，347，…的前 n 项和为 Sn，求使得 Sn 最大的序 号 n 的值.
10/37
题型探究
11/37
类型一 已知数列{an}前n项和Sn求an
解答
12/37
解答
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反思与感悟
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2 时，an＝Sn－Sn－1求得an，最终验证a1是否符合an，若符合则统 一用一个解析式表示.不符合则分段.
16/37
解答
18/37
反思与感悟
在等差数列中，求Sn最大(小)值，其思绪是找出某一项，使这项 及它前面项皆取正(负)值或零，而它后面各项皆取负(正)值，则 从第1项起到该项各项和为最大(小).因为Sn为关于n二次函数，也 可借助二次函数图象或性质求解.
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跟踪训练2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列 前n项和Sn最小值.