4.3.2 空间两点间的距离公式
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OB x y .
2 2
x O A
z
P(x,y,z)
y B(x,y,0)
在 R t O B P中 ， 根 据 勾 股 定 理
OP OB
2
BP ,
2
BP z , 所 以 OP
x y z .
2 2 2
这说明，在空间直角坐标系中，空间中任意一点 P ( x , y , z ) 与原点的距离 O P
２ Ｃ （ x ,0 ,1 ) ,则 x = _ _ _ _
1、会画空间直角坐标系； 2、已知点写出其空间直角坐标； 3、空间直角坐标系中距离公式.
不要害怕批评。当你提出新的观念，
就要准备接受人批评。
4.3.2
空间两点间的距离公式
(1)掌握空间两点间的距离公式, (2)会应用距离公式解决有关问题. (3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意
识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基
本思想方法
D'
A' D
C'
B'
C
A
B
建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一 块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测
z
P2 P1 O M1 N1 M M2 H N 2 N y
在 R t P1 H P2中 ，
P1 H M N ( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) ,
2 2
x
根据勾股定理
P1 P2 P1 H
2
பைடு நூலகம்H P2
2
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) ( z 2 z 1 )
量。如果有三块砖，你如何测量AC′的长度，两块呢？
1.思考：类比平面两点间的距离公式的推导，在空间直
角坐标系中，点P（x1，y1，z1）和点Q（x2，y2，z2）的
距离，怎么求？ （1）先看简单的情形 空间中任意一点的坐标 P ( x , y , z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
如图所示，设点P在 xo y 平面上的 射影是B.则点B的坐标是 ( x , y , 0). 在 xo y 平面上，有
原结论成立.
练习： 1.求下列两点的距离
(1) A ( 2, 3, 5), B (3,1, 4 ) ( 2 ) A (6, 0,1), B (3, 5, 7 )
答案： (1). 6
(2 ). 7 0
例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离 的点． 解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA
2
MB
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7 ) (3 0) (5 0) ( 2 z )
解之得 z
14 9
4 9 ).
所以所求点的坐标是 (0, 0,
练习：在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等.
为M,N,那么M,N的坐标为
M ( x1 , y 1 , 0 )
N ( x2 , y2 , 0)
在xoy平面上,
MN
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) .
2 2
过点 P1 作 P2 N 的垂线，垂足为H,
则 所以
M P1 z1 , N P2 z 2 , H P2 z 2 z 1 .
x y z .
2 2 2
探究： 如果 O P 是定长r,那么 x 2 在空间中，到定点的距离 等于定长的点的轨迹
y z r
2 2 2
表示什么图形？ z
P
O y
以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
x
（2）如果是空间中任意一点 P ( x , y , z ) 到点
1 1 1 1
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
解:
M 1M
2 2
2
(7 4) (1 3) (2 1) 14,
2 2 2
M 2M 3
(5 7 ) ( 2 1) (3 2 ) 6,
2 2 2
M 3M 1
2
(4 5) (3 2) (1 3) 6,
2 2 2
M 2 M 3 M 3M 1 ,
答案： (0, 0, 3)
1 、 已 知 两 点 M（ - 1 ,0 ,2 ） ， M（ 0 ,3 ,- 1 ） ， 1 2 此 两 点 间 的 距 离 为 （ Ａ） A. 19 Ｂ . 11 C.19 D.11
２ 、 在 Ｒ tΔ Ａ Ｂ Ｃ 中 ， ∠ Ｂ Ａ Ｃ ＝ ９ ０ ° , 三点坐标为Ａ（２，１, ），Ｂ（１, , ） １ １２
2 2
2
因此，空间中任意两点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离 P1 P2
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) ( z 2 z 1 ) .
2 2 2
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
之间的距离公式会是怎样呢？ 如图，设 P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 是空间中任意两点，且
P1 ( x1 , y1 , z1 )
z
P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N 2 N y
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
在xoy平面上的射影分别
2 2
x O A
z
P(x,y,z)
y B(x,y,0)
在 R t O B P中 ， 根 据 勾 股 定 理
OP OB
2
BP ,
2
BP z , 所 以 OP
x y z .
2 2 2
这说明，在空间直角坐标系中，空间中任意一点 P ( x , y , z ) 与原点的距离 O P
２ Ｃ （ x ,0 ,1 ) ,则 x = _ _ _ _
1、会画空间直角坐标系； 2、已知点写出其空间直角坐标； 3、空间直角坐标系中距离公式.
不要害怕批评。当你提出新的观念，
就要准备接受人批评。
4.3.2
空间两点间的距离公式
(1)掌握空间两点间的距离公式, (2)会应用距离公式解决有关问题. (3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意
识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基
本思想方法
D'
A' D
C'
B'
C
A
B
建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一 块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测
z
P2 P1 O M1 N1 M M2 H N 2 N y
在 R t P1 H P2中 ，
P1 H M N ( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) ,
2 2
x
根据勾股定理
P1 P2 P1 H
2
பைடு நூலகம்H P2
2
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) ( z 2 z 1 )
量。如果有三块砖，你如何测量AC′的长度，两块呢？
1.思考：类比平面两点间的距离公式的推导，在空间直
角坐标系中，点P（x1，y1，z1）和点Q（x2，y2，z2）的
距离，怎么求？ （1）先看简单的情形 空间中任意一点的坐标 P ( x , y , z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
如图所示，设点P在 xo y 平面上的 射影是B.则点B的坐标是 ( x , y , 0). 在 xo y 平面上，有
原结论成立.
练习： 1.求下列两点的距离
(1) A ( 2, 3, 5), B (3,1, 4 ) ( 2 ) A (6, 0,1), B (3, 5, 7 )
答案： (1). 6
(2 ). 7 0
例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离 的点． 解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA
2
MB
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7 ) (3 0) (5 0) ( 2 z )
解之得 z
14 9
4 9 ).
所以所求点的坐标是 (0, 0,
练习：在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等.
为M,N,那么M,N的坐标为
M ( x1 , y 1 , 0 )
N ( x2 , y2 , 0)
在xoy平面上,
MN
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) .
2 2
过点 P1 作 P2 N 的垂线，垂足为H,
则 所以
M P1 z1 , N P2 z 2 , H P2 z 2 z 1 .
x y z .
2 2 2
探究： 如果 O P 是定长r,那么 x 2 在空间中，到定点的距离 等于定长的点的轨迹
y z r
2 2 2
表示什么图形？ z
P
O y
以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
x
（2）如果是空间中任意一点 P ( x , y , z ) 到点
1 1 1 1
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
解:
M 1M
2 2
2
(7 4) (1 3) (2 1) 14,
2 2 2
M 2M 3
(5 7 ) ( 2 1) (3 2 ) 6,
2 2 2
M 3M 1
2
(4 5) (3 2) (1 3) 6,
2 2 2
M 2 M 3 M 3M 1 ,
答案： (0, 0, 3)
1 、 已 知 两 点 M（ - 1 ,0 ,2 ） ， M（ 0 ,3 ,- 1 ） ， 1 2 此 两 点 间 的 距 离 为 （ Ａ） A. 19 Ｂ . 11 C.19 D.11
２ 、 在 Ｒ tΔ Ａ Ｂ Ｃ 中 ， ∠ Ｂ Ａ Ｃ ＝ ９ ０ ° , 三点坐标为Ａ（２，１, ），Ｂ（１, , ） １ １２
2 2
2
因此，空间中任意两点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离 P1 P2
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 ) ( z 2 z 1 ) .
2 2 2
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
之间的距离公式会是怎样呢？ 如图，设 P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 是空间中任意两点，且
P1 ( x1 , y1 , z1 )
z
P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N 2 N y
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
在xoy平面上的射影分别