九年级数学二次函数与图像浙江版知识精讲

初三数学二次函数与图像某某版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容
3.1 二次函数 3.2 2
ax y =的图象与性质 3.3 2
)(m x a y +=的图象 3.4 k m x a y ++=2
)(的图象
二. 本周教学目标
1. 知道二次函数的概念，会解三元一次方程组，会用待定系数法求一个二次函数。

2. 会用描点法画出函数2
ax y =的图象，并懂得抛物线的有关概念，掌握2
ax y =的性质。

3. 懂得：2
ax y =与2
)(m x a y +=与k m x a y ++=2
)(图象间的关系。

4. 通过配方确定k m x a y ++=2
)(的图象的开口方向及对称轴、顶点的位置。

三. 重点与难点
重点：二次函数的概念 2
ax y =的图像与性质 用配方法将c bx ax y ++=2
转化为
k m x a y ++=2)(的形式
难点：理解2
ax y =与2
)(m x a y +=与k m x a y ++=2
)(间关系，用待定系数法和解三元一次方程求一个二元函数。

【典型例题分析】
[例1] 试求二个二次函数，使这两个二次函数当1=x 时，函数值2=y ；当2-=x 时，函数值5=y 。

解：设所求的二次函数为c bx ax y ++=2
则⎩⎨⎧+-=++=)
2(245)
1(2c b a c b a
（2）－（1）得333=-b a 1=-b a （3）
设 2=a 代入（3）则1=b 代入（1） 1-=c ∴122
1-+=x x y 设 1=a 代入（3） 则0=b 再代入（1） 1=c ∴122+=x y
解析：由于本题只能列出三元一次方程但只有2个方程，所以不能唯一确定a 、b 、c 的值，故a 、b 、c 可有无数多组解，答案不唯一。

[例2] 已知二次函数222
12
+-=
x x y 1. 画出该二次函数的图像； 2. 写出图像的顶点坐标和对称轴；
3. 指出图像与2
2
1x y =
的图像的关系； 4. 说明当x 取何值时，函数值：（1）0>y （2）0<y （3）0=y
（4）y 取最小值 （5）随x 的增大而增大 （6）随x 的增大而减小
解：由于222
12+-=
x x y )44(212+-=x x 2)2(21
-=x
1. 列表、画图（图略）
2. 顶点坐标是)0,2(，对称轴是直线2=x
3. 把221x y =
的图像向右平移2个单位，就得到222
1
2+-=x x y 的图像。

4.（1）当x 为不等于2的一切实数时，0>y ；
（2）y 不可能小于零； （3）当2=x 时，0=y ；
（4）因为0)2(2
12
≥-x ，所以当2=x 时，y 取得最小值0；
（5）当2>x 时，y 随x 的增大而增大； （6）当2<x 时，y 随x 的增大而减小；
说明：学会根据二次函数的性质分析图像的特征，培养识图能力。

[例3] 用配方法将下列函数化成k m x a y ++=2
)(的形式，并写出顶点坐标、对称轴及最大（小）值。

①122
-+=x x y ②322
++-=x x y ③2
53212---=x x y 解：①∵2)1(122
2
-+=-+=x x x y
∴ 图象的顶点坐标为)2,1(--，对称轴为直线1-=x ，函数最小值为2-
②∵4)1(322
2
+--=++-=x x x y
∴ 顶点坐标为)4,1(，对称轴为直线1=x 4=最大值y
③∵2)3(2
1
2532122++-=---
=x x x y ∴ 顶点坐标为)2,3(-，对称轴为直线3-=x 2=最大值y
[例4] 已知抛物线的对称轴是直线2=x ，顶点纵坐标为3，该图象过)1,3(，求该抛物线的解析式。

解：由题意可知 抛物线的顶点坐标为)3,2( 故设所求的解析式为3)2(2
+-=x a y 把)1,3(代入上式 得 2-=a
∴ 解析式为3)2(22
+--=x y 即 5822
-+-=x x y
【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知 c bx ax y ++=2
中，当1=x 时，0=y ；当2=x 时，0=y ；当0=x 时，2=y 则这个函数解析式为（ ）
A. 222
++=x x y B. 232
++=x x y C. 322
+-=x x y D. 232
+-=x x y
2. 一学生推铅球，铅球行进高度)(m y 与水平距离)(m x 之间关系式为+-
=2
12
1x y +x 323
5
，则铅球落地时的水平距离是（ ） A. m 3
5
B. m 3
C. m 10
D. m 12
3. 在圆的面积公式2
r S π=中，圆的面积S 与半径r 之间的函数关系是（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数
4. 抛物线2
3
2x y -
=的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A. 向上，)0,0( B. 向下，)0,0( C. 向下，)2,3(-- D. 向上，)2,3(
5. 根据二次函数2
3
1x y =的性质，下列判断中错误的是（ ）
A. 函数的最小值为0
B. 开口向上
C. 对称轴是y 轴
D. 图像在y 轴左侧，y 随着x 的增大而增大 6. 已知矩形的周长为cm 20，设矩形的一边长为cm x ，矩形的面积为2
cm y ，则y 关于
x 的函数关系式是（ ）
A. x y 10=
B. x y 20=
C. 210x x y -=
D. x x y 202
+-=
7. 已知二次函数)0(2
<=a ax y ，当x 分别取值2-
，1.4，时，对应的函数值分别为1y ，
2y ，3y ，则它们的大小关系是（ ）
A. 321y y y <<
B. 231y y y <<
C. 312y y y <<
D. 213y y y <<
8.2)1(2
---=x y 的图象的顶点坐标是（ ）
A. )2,1(--
B. )2,1(-
C. )2,1(-
D. )2,1(
二. 填空题
1. 二次函数2
2
1x y -
=的图像是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向；在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而，当=x 时，函数值最大。

2. 已知二次函数2
ax y =的图像经过点)3,2(-A ，则=a ，顶点坐标是，对称轴是；在对称轴的侧，函数值y 随着x 的增大而减小。

3.2)21(+=x y 的图象，可由抛物线向平移单位得到。

4.222
-+=x x y 经配方后 得=y ，对称轴是直线=x ，顶点坐标是，开口向。

5. 把1)2(22
+--=x y 向平移个单位，再向平移单位，得2
2x y -=。

三. 解答题
1. 已知抛物线2ax y =经过点)2,1(-，求：（1）这个二次函数的解析式；（2）判断点
)2,1(-A 是否落在该抛物线上，为什么？
2. 有一桥孔，其形状是一条开口向下的抛物线2
4
1x y -
=。

（1）画出这条抛物线；
（2）利用图像，当水面与抛物线形桥孔距离为m 4时，求水面的宽是多少？ 3. 某公司第一年的利润是100（万元），若设每年平均增长率为x ，第三年的利润为y （万元）。

（1）写出y 关于x 之间的关系式； （2）画图
（3）当第三年的利润为400万元时，每年平均增长率是多少？
试题答案
一. 选择题
1. D
2. C
3. D
4. B
5. D
6. C
7. D
8. C
二. 填空题
1. 抛物线；)0,0(；直线0=x ；向下；增大；0
2.43-；)0,0(y 轴 右侧
3.2
x y =；左 2
1 4.3)1(2
-+=x y ；1-)3,1(-- 上 5. 左；2；下；1
三. 解答题 1. 解
（1）∵)2,1(-在2
ax y =上 ∴2
12⨯=-a 2-=a ∴2
2x y -= （2）当1-=x 时 2222
≠-=-x ∴)2,1(-A 不在2
2x y -=图象上。

2.
（1）略
（2）当4-=y 时代入241x y -= 得 24
1
4x -=-162=x 4±=x ∴ 水面宽为8)4(421=--=-x x （m ）
答：略
3.
（1）2
)1(100x y +=)0(>x （2）图略
（3）当400=y 时 4)1(2
=+x 21±=+x
∴11=x ，32-=x （舍去） ∴%1001==x 答：略。