[初中数学]初中数学复习用书(丰富的图形世界等68个) 人教版23

第十讲 三 角 形
【课标要求】
1.认识三角形的有关概念,了解三边之间的关系以及三角形内角和与外角和,了解三角形的稳定性.
2.了解图形的全等,能利用全等图形进行简单的图案设计；掌握两个三角形全等的条件；能应用三角形全等解决一些实际问题。

3．在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形；能够利用尺规作出已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能作出等腰三角形。

4．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理。

5．掌握勾股定理及逆定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

6．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。

7．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。

【中考动向】
本考点的内容是空间与图形中直线型部分最重要的内容之一，主要内容有运用三角形的三边关系、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理、等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定、勾股定理及逆定理等进行简单的计算或证明。

从近几年的中考命题看，试题中探索性的题型和从丰富的现实生活情景中抽象出三角形、全等形解决实际问题的题型逐渐增多。

从命题趋势来看，除注重考查相关的基础知识和基本方法外，也有综合性较强的大题出现。

值得注意的是，在近几年的中考试题中，操作性、探索性的题型在逐渐增多，但一般最多达到中等难度。

考查本部分内容的单独试题主要以低、中档题为主，题型主要是填空题、选择题和简单的解答题。

当然，涉及相似、四边形、圆等方面的综合题也要以本部分的内容为基础。

【知识网络】
三角形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
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⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧解决实际问题尺规作三角形三角形全等的应用条件探索直角三角形全等的探索三角形全等的条件征三角形全等的表示及特三角形的全等概念、特征、图案设计图形的全等平分线三角形的高、中线、角关系三边的关系、三内角的三角形的概念及表示本性质三角形的基本要素及基
特殊的三角形⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨
⎧角的平分线线段的垂直平分线尺规作图命题的逆命题及其真假形等腰三角形、等边三角直角三角形的判定—勾股定理—三边的关系直角三角形
第1课时 三角形的基本要素与基本性质
【知识要点】
三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见。

它不仅是研究其它图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。

因此，探索和掌握它的基本性质对同学们更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。

本节的知识要点有：
1． 三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

2． 三角形三个内角的关系：三角形三个内角的和等于360º；三角形的任意一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

3．三角形按边分类可分为不等腰三角形和等腰三角形，等腰三角形又可分为底和腰不等的等腰三角形和等边三角形；按角分类可分为直角三角形和斜三角形，斜三角形有可分为锐角三角形和钝角三角形。

4．会画出三角形三边上的高、三个角的平分线、三边的中垂线；并能利用高线、角的平分线、中垂线的有关性质解决一些实际问题。

【典型例题】
例1 已知，△ABC 中，∠A :∠B :∠C =2:3:4，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 分析：设∠A =2x º，∠B =3x º，∠C =4x º， 则有2x º+3x º+4x º=180º 解得：x =20
∴∠A =40º，∠B =60º，∠C =80º 答案：A ．
例2 两根木棒的长分别是3cm 和5cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长度是 cm 。

分析：利用三角形三边的关系，确定第三根木棒的取
值范围，再根据第三根木棒的长为偶数，求出第三根木棒的长度。

解：设第三根木棒的长度是x cm ，则有：
5-3﹤x ﹤5+3，即 2﹤x ﹤8 又∵x 为偶数，∴x =4或6
∴第三根木棒的长度是4 cm 或6 cm 。

例3 已知，如图10—1—1所示，在△ABC 中，AD 是
角平分线，AE 是高，∠B =60º，∠C =40º。

图10—1—1
C B
求∠ADB 与∠DAE 的度数。

分析：因为∠ADB 是△ACD 的外角，则∠ADB =∠C +∠CAD ，∠C =40º，只需求出∠CAD 的度数。

∠DAE 是△ADE 的内角，∠AED =90º，所以∠DAE =90º-∠ADE 解：∵∠BAC +∠B +∠C =180º
∴∠BAC =180º-（∠B +∠C ）=180º-（60º+40º）=80º
∵AD 是角平分线， ∴∠CAD =
2
1
∠BAC =40º ∴∠ADB =∠C +∠CAD =80º
∴∠DAE =90º-∠ADE =90º-80º=10º
例4 已知，如图10—1—2所示，P 是△ABC 内的一点，求证：∠BPC ﹥∠A 分析：证明两个角不相等，我们应考虑三角形的内角和定理
的推论，即三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，因此大角应为某个三角形的外角。

证明：延长BP 交AC 于D ， ∵∠BPC 是△CDP 的外角， ∴∠BPC ﹥∠1
又∵∠1是△ABD 的外角， ∴∠1﹥∠A
∴∠BPC ﹥∠A 图10—1—2
[知识运用] 一．选择题：
1．以下长度为边的三条线段能组成三角形的组数是（ ） （1）1，2，3 （2）2，3，4 （3）4，5，6 （4）5，6，10 A ．一组 B ．两组 C ．三组 D ．四组
2．已知三角形的三边分别为2，a ，4那么a 的取值范围是（ ） A ．51<<a B ．62<<a C ．73<<a D ．64<<a 3．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上都不对 4．（2005．安徽）下列图中能过说明∠1>∠2的是
( )
A.
B.
C.
D.
二．填空题：
5．两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们盯成三角形，第三根木棒长的范围是 。

6．如果一个三角形中任意两个内角的和都大于第三个角，则这个三角形是 三角形。

7．ABC ∆中，AD 是ABC ∆的中线，且cm BC 10=，则BD= cm 。

C
B
8．（2005．绵阳）如图10—1—3，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm.
图10—1—3 图10—1—4
三．解答题：
9．如图10—1—4，在△ABC 中，∠BAC 是钝角，画出：
⑴∠BAC 的平分线；⑵AC 边上的中线；⑶AC 边上的高；⑷AB 边上的高．
10．已知：如图10—1—5，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ， ∠B =50°，求∠AEC 的度数.
图10—1—5 11．（1）如图10—1—6（1），有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度； （2）如图10—1—6（2），改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过点B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．
图10—1—6（1） 图
10—1—6（2）
C
B
A
12．没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬与小红的做法，他们的画法正确吗？请说明理由．
(1) 小彬的做法 如图10—1—7（1），角平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD ＝OC ． ②连结CD ，利用刻度尺画出CD 的中点E ． ③画射线OE ． 所以射线OE 为∠AOB 的角平分线．
(2) 小红的做法 图10—1—7（1）
如图10—1—7（2），角平分线三角板画法：
①利用三角板在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ．
②分别过M 、N 画OM 、ON 的垂线，交点为P ．
③画射线OE ．
所以射线OP 为∠AOB 的角平分线．
图10—1—7（2）
第2课时 全等三角形
【知识要点】
1． 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2． 全等三角形的性质：
（1） 全等三角形的对应边（角）相等；
（2） 全等三角形的对应线段、对应角平分线、对应中线、对应高相等；全等三角形 的周长相等、面积相等。

3． 全等三角形的判定：（1）SAS ；（2）ASA ；（3）AAS ；（4）SSS ；（5）HL 。

4． 三角形全等证题思路：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧→→⎪
⎪
⎩⎪
⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧→→→→→⎪⎩⎪⎨⎧→→→AAS ASA AAS ASA SAS AAS SSS HL SAS 找任意一边找夹边已知两角找边的对角找夹边的另一角找夹角的另一边边为角的邻边找任意一角边为角的对边已知一边一角找另一边找直角找夹角已知两边 【典型例题】
例1（2005．海南）如图10—2—1，A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AB =CD ，DE ∥AF ，若要使△ACF ≌△DBE ，则还需要补充一个条件：
分析：由条件分析，结合构成全等的几种判定，
可找到几个突破口。

由AB =CD ，可知
AB +BC =BC +CD ，即AC =BD 。

由DE ∥AF ， 可知 ∠A =∠D 。

因此，目前知道一组对应角相等，并且其邻边也对应相等，找另一组对应关系既是题目要求的。

方法一：BE ∥CF 或∠EBD =∠ACF ； 方法二：∠E =∠F ； 图10—2—1 方法三：AF =DE 。

例2 （2004．河南）如图10—2—2，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75º，如果梯子底端不动，顶点靠在对面墙上，此时梯子的倾斜角为45º，求这间房子的宽AB 。

分析：由题意可知∠MCN =60º，MC =NC ，若连结MN ，则△MCN 为等边三角形，若作MD ⊥BN 于D ，则△MDN ≌△MAC 。

解：连结MN ，过点M 作MD ⊥BN 于D ；又∵∠MCN =60º，MC =NC ，△MCN 为等边三角形，∴MC =MN ，又∵∠MND =180º-60º-45º=75º=∠ACM ，∠M DN =∠A=90º，∴△MDN ≌△MAC 。

∴MD =AB =MA =a （米）
图10—2—2 图10—2—3 例3 （2004．内蒙古）如图10—2—3，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 到点D ，延长BA 到点E ，并且使AE ＝B D ，连结CE 、DE ，求证：EC =ED 。

D
D
G C
分析：因 EC 是△EC B 与△EAC 的边，所以可添辅助线使ED 成为两个三角形的边，且分别与△EC B 、△EAC 全等，进而通过全等三角形的性质得证，注意到∠B=60º，AE ＝BD ，可用截长、补短法添辅助线。

证明：如图10—2—3，延长BD 到点G ，使DG=AB ，则BG=BE ；连结EG ，△EBG 为等边三角形，∴EB=EG ，∠EBC=∠EGD=60º；又∵BC=DG ，∴△EBC ≌△EGD ∴EC=ED
例4 如图10—2—4，在△ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于 点D ，BE ⊥MN 于点E 。

（1） 当直线MN 绕点C 旋转到图 10—2—4 ①的位置时，求证：
① △ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE ；
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图10—2—4②的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明。

分析：由条件可知，不论直线MN 如何旋转，△ABC 的大小不变，∠DCA+∠ECB 始终等于90º，由此可证明△ADC ≌△CEB ，使问题得到解决。

证明：（1）①∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠CEB=90º，∠DCA+∠DAC=90º，
又∵ ∠ACB=90º，∴∠DAC+∠ECB=90º，
∴ ∠DCA=∠ECB ，又∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB 。

② 由△ADC ≌△CEB 得AD=CE ，DC= BE ， ∴DE=CE+DC= AD+BE 。

（2） DE=AD-BE 。

证明如下：由（1）的证明可知，同样可证得△ADC ≌△CEB ，
AD=CE ，DC= BE ，由图 10—2—4②可得：DE=AD-BE 。

图10—2—4 ① 图10—2—4 ②
【知识运用】
一、选择题：
1．在△ABC 和△DEF 中，根据下列条件，能断定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D ； B ．∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=EF ； C ．AB=DE ，BC=EF ，△ABC 的周长=△DEF 的周长； D ．∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ；
2．如图10—2—5，已知：AB=CD ，AD=BC ，AC 、BD 相交于O ， 图10—2—5 则图中全等三角形有（ ）
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
M
B
A
3．在ΔABC 和ΔDEF 中，已知AB=DE ，∠B=∠E，增加下面的条件后，还不能判定ΔABC≌ΔDEF 的是（ ）
A ．BC=EF
B ．AC=DF
C ．∠A=∠
D D ．∠C=∠F 4．能判定两个等腰三角形全等的是（ ）
A ．底角与顶角对应相等
B ．底角与底边对应相等
C ．两腰对应相等
D ．底对应相等 5．在△ABC 中，AB=AC ，高BF 、C
E 、AD 交于一点O ，如图10—2—6,全等三角形的对数是（ ）。

A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题：
图10—2—6 图10—2—7 图10—2—8
6．（2005．天津）如图10—2—7，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于___________（度） 7．（ 北京市东城区）在ΔABC 与ΔA ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，CD 和C ′D ′分别为AB 边和A ′B ′边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A ′B ′ ②AC=A ′C ′ ③CD=C ′D ′中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_________个正确的命题。

8．如图10—2—8，已知AC=BD ，要使得ΔABC ≌ΔDCB ，只需增加的一个条件是__________三．解答题： 9．（2005．安徽）如图10—2—9, 已知AB ∥DE, AB=DE, AF=DC, 请问图中有哪几对全等三角形? 并任选其中一对给予证明. 图10—2—9
10．（2005．河南）如图10—2—10是一条河，点A 为对岸一棵大树，点B 是该岸一根标杆，且AB 与河岸大致垂直，现有如下器材：一个卷尺，若干根标杆，根据所学的数学知识，设计出一个测量A 、B 两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。

图10—2—10
C
11．（2005．河南）如图10—2—11，在□ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF ＝DE 。

⑴、写出图中所有你认为全等的三角形； ⑵、延长AE 交BC 的延长线于G ，延长CF 交DA 的延长线于H(请补全图形)，证明四边形AGCH 是平行四边形。

图10—2—11
12．（2005．安徽）如图10—2—12的花环状图案中,ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1都是正六边形.
(1) 求证:∠1=∠2;
(2) 找出一对全等的三角形并给予证明.
第3课时 勾股定理
【知识要点】
1．掌握直角三角形的性质。

如图10—3—1，直角ΔABC 的性质
（1）勾股定理:∠C=90°，则有 c 2=a 2+b 2
（2）∠C=90°，则有∠A+∠B=90°, （3）∠C=90°，则有c>a, c>b 。

（4）补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。

图10—3—1 图10—3—2 图10—3—3 如图10—3—2： ∠C=90°且∠A=30°，则有BC= AB (或者AB=2BC)
2．掌握勾股定理的逆定理：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。

A B C
D E F A 1 A B
C
D
E
F 2 B 1
C 1
D 1
E 1
F 1
1 图10—2—12
即在ΔABC中，若a2+b2=c2，则ΔABC为RtΔ。

其中c是三角形中最长的边。

3．注意事项：
(1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。

(2) 理解勾股定理的一些变式
c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2
c2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c)
(3) 在理解的基础上熟悉下列勾股数。

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)……
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

【典型例题】
例1．已知如图10—3—3，在ΔABC中，∠ACB=90°，AB=5cm, BC=3cm, CD⊥AB于D，求CD的长。

分析：本题考查勾股定理的应用，解题思路为先用勾股定理求AC，再运用三角形的面积
公式得到SΔABC=BC·AC= AB·CD，于是不难求CD。

解：因为ΔABC是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有
AC2=AB2-BC2=25-9=16，故AC=4。

又SΔABC= BC·AC= AB·CD
∴ CD= ，∴CD的长是2.4cm。

例2 试判断：三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1 (n>0)的三角形是否是直角三角形。

分析：条件中给出的是三边的长，要判断三角形是否为直角三角形,应考察三边的关系是否满足a2+b2=c2,但是要找出最大的边。

解：∵ (2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1>0,
(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0(n>0),
∴ 2n2+2n+1为三角形中最大边。

又∵ (2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,
∴ (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,
∴ (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2
根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形。

例3 如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
判断ΔABC的形状。

分析：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

∴ a=3，b=4，c=5。

∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

例4．已知：如图10—3—4，折叠长方形（四个角都是直角，
对边相等）的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,
BC=10cm，求EC的长。

分析：容易知道三角形ΔAEF≌ΔAED，则AF=AD=BC=10，易求
得BF、CF，在RtΔEFC中，满足EF2=CE2+CF2。

图10—3—4
解：设CE=x, 则DE=8-x,
由条件知：ΔAEF≌ΔAED，∴AF=AD=10， EF=DE=8-x,
在ΔABF中，BF2=AF2-AB2=102-82=62,
∴ BF=6, ∴ FC=4,
在RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2，∴(8-x)2=x2+42,
即 64-16x+x2=16+x2, ∴16x=48, x=3,
答：EC的长为3cm。

例5 （上海市中考题）如图10—3—5，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN= 30°，点A处有一所中学，AP=160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A
到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则
不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影
响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，图10—3—5
行至哪一点后结束影响学校。

解：作AB⊥MN，垂足为B。

在RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°，
AP=160，∴ AB= AP=80．
∵点A到直线MN的距离小于100m, 图10—3—6
∴这所中学会受到噪声的影响。

如图10—3—6，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，
由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),
∴CD=120(m)。

拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。

答略。

【知识运用】 一、填空题：
1．直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为________；
2．如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5cm ，那么这个直角三角形的面积为______。

3．（2005．绵阳）如图10—3—7，若CD 是Rt ΔABC 斜边上的高，AD =3，CD =4，则
BC =__________ .
4．三角形的三边为n+1, n+2,n+3，当n=_____时，这个三角形是直角三角形。

5．如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是____。

图10—3—
8 图10—3
—9
二、选择题 ：
6．如图10—3—8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）。

A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm
7．如果线段a,b,c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）
A ．1∶2∶4
B ．1∶3∶5
C ．3∶4∶7
D ．5∶12∶13
8．直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（ ）。

A ．132 B ．121 C ．120 D ．以上答案都不对 9．（2005．潍坊）如图10—3—9，正方形ABCD 中，E F 、分别为AB BC 、的中点，AF 与DE 相交于点O ，则
DO
AO
（ ）． A ．
31 B ．5
52 C ．23 D ．21 三、解答题：
10．如图10—3—10，从电线杆离地面6m 处向地拉一条长10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
图
图10—3—10
图10—3—7 B
C E F
11．在一根长为24个单位的绳子上，分别标出A、B、C、D四个点，它们将绳子分成长为6个单位、8个单位和10个单位的三条线段。

一手将绳子的两个端点握在一起（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形？为什么？
12．已知：如图10—3—11，在ΔABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线。

求证：BE2=AC2+AE2。

图10—３—10
图10—3—11 13．（2005．绵阳）如图10—3—12①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图10—3—12②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图10—3—12③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
图10—3—12
第4课时特殊的三角形——等腰三角形与直角三角形
【知识要点】
1．熟悉直角三角形、等腰三角形和等边三角形的特殊性质和判定，并应用这些性质灵活地去解决推理和计算问题．
2．等腰三角形的性质：（1）两底角相等；（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；（3）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。

3．等腰三角形的判定：（1）等角对等边；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
4．直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；（5）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2.
5．直角三角形的判定：（1）有一个角为90°；（2）边上的中线等于这边的一半；（3）若a2＋b2=c2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）.
6．单元知识网络
【典型例题】
例1 （2002.青岛）填空题：等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长是_________cm．
分析：要求三角形的周长，只要求出第三边的长即可．由于题目中的三角形是等腰三角形，第三边也就只能在4 cm和9 cm中选取，由三角形三边的关系可知，第三边不能为
4 cm，故其周长即可确定．
解：设第三边长为x cm，则9－4<x<9＋4，即5<x<13，由于此三角形是等腰三角形，所以第三边的长为9 cm，即周长为22 cm．
例2（2002.河南）已知：如图10—4—1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角
形，并证明你的结论．
分析：连MF ，先证明四边形DEAF 是矩形，再证△AEM ≌△BFM ，可得EM ＝FM ，最后利用角之间的关系证明∠EMF ＝90°，可得△EM F 是等腰直角三角形，注意解题格式，先交待结论，然后再完整证明． 解：△MEF 是等腰直角三角形．
证明：连结AM ，∵M 是BC 的中点，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， 图10—4—1
∴AM ＝BM ＝21BC ， MA 平分∠BAC ，AM ⊥BC ．∴∠MAB ＝∠MAC ＝21
∠BAC ＝45°．
∴∠B ＝45°．
∵AB ⊥AC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴四边形DFAE 是矩形．∴DF ＝AE ． ∵DF ⊥BF ，∠B ＝45°，∴∠BDF ＝45°＝∠B ．∴BF ＝FD ＝AE ． ∴△AEM ≌△BFM ．∴EM ＝FM ，∠AME ＝∠BMF ． ∴∠EMF ＝∠AME ＋∠AMF ＝∠BMF ＋∠AMF ＝90°． ∴△EMF 是等腰直角三角形．
例3（2002. 黑龙江）已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上，如图10—4—2（1），此时
h 3＝0，可得结论：h 1＋h 2＋h 3＝h ”．
请直接应用上述信息解决下列问题：如图10—4—2（2），当点P 在△ABC 内，如图10—4—2（3），当点P 在△ABC 外这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给 予证明；若不成立，h 1、h 2、h 3与h 之间又有怎样的关系；请写出你的猜想，不需证明．
图10—4—2（1） 图10—4—2（2） 图10—4—2（3）
分析：点P 与△ABC 的位置关系有三种，可用面积法对每一种情形进行讨论，其中后两种情况通过添加辅助线都可以转化成第一种情况．
解：当点P 在△ABC 内时，结论h 1＋h 2＋h 3＝h 仍成立，过点P 作NQ ∥BC 分别交AB 、AC 、
AM 于N 、Q 、K ．
由题意得h 1＋h 2＝AK ，易证KM ＝P F ＝h 3．
∴h 1＋h 2＋h 3＝AK ＋KM ＝h ．
当点P 在△ABC 外时，结论h 1＋h 2＋h 3＝h 不成立． 如图10—4—2（3），它们的关系是h 1＋h 2－h 3＝h ． 例4 如图10—4—3，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的
中点，N 是DE 的中点， 求证：MN⊥DE．
图10—4—3
分析：∵N 是DE 的中点，∴要证MN⊥DE，也就要证MN 是DE 的垂直平分线，即证MD
＝ME ，而在Rt△BDC 和Rt△BEC 中，有MD=21
BC ＝ME
证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，
∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=21
BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，
∴NM⊥DE．
【知识运用】
一、选择题：
1．如图10—4—4，在Rt△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ACB 的平分线交AD 于点E ，交AB 于点F ，则△AEF 是（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．无法确定
图10—4—4 图10—4—5 2．在下列四个命题中，正确的命题的个数是（ ）
①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两腰上的高相等 ③等腰三角形两底角的平分线相等 ④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．厨房角柜的台面是三角形（如图10—4—5）如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积的比是（ ）
A ．41
B ． 14
C ．31
D ． 43
4．一个直角三角形两边的长分别为15、20，则第三边的长是（ ）
A ．57
B ．25
C ．57或25
D ．无法确定
5．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2
－8x ＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A ．3
B ．3
C ．6
D ．9
二、填空题：
6．（2005．南京）如图10—4—6，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：。

7．（2005．苏州）如图10—4—7，等腰三角形ABC的顶角为1200，腰长为10，则底边上的
高AD= 。

图10—4—6 图10—4—7 图10—4—8
8．在正方格纸上有一个△ABC，它的顶点位置如图10—4—8所示，则这个三角形是_________
三角形．
9．A、B、C、D是四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有
笔直的公路相连接（如图10—4—9），公共汽车行驶于城镇
之间，其票价与路程成正比，已知各城镇间的公共汽车票价如
下：A↔B：10元，A↔C：12．5元，A↔D：8元，B↔D：
6元，C↔D：4．5元．为了B、C之间交通方便，在B、C之
间建成笔直的公路．请按上述标准计算出B、C之间公共汽车图10—4—9
的票价为_______元．
三、解答题：
10．（2001．吉林）如图10—4—10，F、C是线段BE上的两点，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝
∠E，QR∥BE，求证：△PQR是等腰三角形．
图10—4—10
11．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下走向离树20米处的池塘，而另一只
爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子所经过的距离相等，问这棵树有多高？
12.如图10—4—11，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点P，则 P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD＋PE＝CF．若P点在BC的延长线上，那么PD、PE和CF之间
存在什么关系？写出你的猜想并加以证明。

图10—4—11
第五课时：线段的垂直平分线、角的平分线
【知识要点】
1．角平分线的性质定理及其逆定理
（1）性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等．
（2）逆定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
2．线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
（1）性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
（2）逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【典型例题】
例1 已知：在△ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC.
求证：点O在BC的垂直平分线上.
证明：连结BO
∵ ON是AB的垂直平分线
∴ OA=OB
∵ OA=OC ∴ OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
例2 如图10—5—1（a），△ABC中，AD⊥BC于D，AB＋ BD＝DC．求证：∠B ＝2∠C．
图10—5—1（a ） 图10—5—1（b ） 图10—5—1（c ）
分析：此题需添加辅助线将线段之和AB ＋BD 或线段之差DC －BD 转化为一条完整线 段，再结合AD⊥BC，可利用线段的垂直平分线来实现．
证法一（补短法）延长 DB 到E ，使 BE ＝AB ，则 AB ＋BD ＝ DE ，利用线段 CE 的垂直平分线AD 的性质解决，如图10—5—1（b ）．
证法二（截长法）在 DC 上截取DE ＝ DB ，则 DC －BD ＝ DC －DE ＝EC ＝ AB ．利用线段BE 的垂直平分线AD 的性质解决，见图10—5—1（c ）．
例3 已知：如图10—5—2，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，B 、D 为垂足，线段AC 平分∠C ， 求证：BC=DC ．
分析：要证BC=DC ，须正点C 在∠A 平分线上，须证∠1=∠2，即证90°-∠3=90°-∠4，这由已知条件线段AC 平分∠C 便可得证．
图10—5—3 图10—5—3
例4：已知：如图10—5—3，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 为∠BAC 的平分线， D 到AB 的距离为5.6cm 求：BC 的长
分析：此题要充分利用角平分线的性质定理，避免绕远路，去证三角形全等。

证明：在Rt △ABC 中，∵∠CAB=60°∴∠B=30°
∵AD 是∠BAC 的平分线
∴∠1 =
1
2
∠CAB=30° ∴∠1 = ∠B ∴AD = DB ∵D 到AB 的距离为5.6cm 即DE=5.6cm ∴CD = DE =5.6cm ∵Rt △DEB 中 ∵∠B=30°，DE=5.6cm ∴DB = 2DE=11.2
∴BD = 11.2 ∴BC = CD + DB =5.6+11.2=16.8(cm)
例5 已知：如图10—5—4，△ABC 中，∠B ，∠C
的平分线相交于点O ，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，D 、E 、F 分别是垂足。

求证：点O 在∠A 的平分线上。

分析：此题要注意区分何时用判定定理，何时用性
质定理。

证明：∵点O 在∠B 的平分线上
又∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC
E C
B。