尖山区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

尖山区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足111
22
n n n a a +=
+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．5
8
2． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）]
A ．1=x
B ．1-=x
C ．2=x
D ．2-=x 3． 若直线l
的方向向量为=（1，0，2），平面α
的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
4． 函数f （x ）=xsinx 的图象大致是（ ）
A
． B
．
C
． D
．
5． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）
A ．20
B ．25
C ．22.5
D ．22.75
6． 已知函数22
()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．2015
2
B ．2015
3
C ．20152
3
D ．20152
2
7． sin570°的值是（ ） A
．
B
．﹣ C
．
D
．﹣
8． 函数f （x ）
=﹣x 的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y=﹣x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y=x 对称
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 已知函数f （x ）
=是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣3≤a ＜0
B ．﹣3≤a ≤﹣2
C ．a ≤﹣2
D ．a ＜0
10．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ） A
．
B ．2
C
．
D
．
11．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2
B ．x 3﹣2x 2
C ．﹣x 3+2x 2
D ．﹣x 3﹣2x 2
12．设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞
二、填空题
13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 分别是B 1C 1、CC 1的中点，则直线A 1P 与DQ 的位置关系是 ．（填“平行”、“相交”或“异面”）
14．如图，在矩形ABCD
中，AB = 3BC =， E 在AC 上，若BE AC ⊥， 则ED 的长=____________ 15．设
为单位向量，①
若
为平面内的某个向量，则
=||
•
；②
若
与
平行，则
=||
•
；③
若
与平行且
||=1
，则
=．上述命题中，假命题个数是 ．
16．下列命题：
①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；
③2
()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1
:||
f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1
()f x x
=
在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．
17．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为
，则总体的个数为 ．
18．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，M 是BC 的中点，BM=2，AM=c ﹣b ，△ABC 面积的最大值为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=log a （x 2+2），若f （5）=3； （1）求a 的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f （x ）＜f （x+2）．
20．已知全集U 为R ，集合A={x|0＜x ≤2}，B={x|x ＜﹣3，或x ＞1}
求：（I ）A ∩B ；
（II ）（C U A ）∩（C U B ）；
（III ）C U （A ∪B ）．
21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
22．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x 年后游艇的盈利为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
23．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=1，A 1A=1，
（1）求证：直线BC 1∥平面D 1AC ； （2）求直线BC 1到平面D 1AC 的距离．
24．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明:1m ≤
尖山区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 3． 【答案】B
【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥， 因此l ⊥α．
故选：B ．
4． 【答案】A
【解析】解：函数f （x ）=xsinx 满足f （﹣x ）=﹣xsin （﹣x ）=xsinx=f （x ），函数的偶函数，排除B 、C ， 因为x ∈（π，2π）时，sinx ＜0，此时f （x ）＜0，所以排除D ， 故选：A ．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
5． 【答案】C
【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x ，则 0.3+（x ﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C ．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数2
2
()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()
10
10f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得
3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等
比数列，T 122015...a a a =，201521...T a a a =，
两式相乘，根据等比数列的性质得()()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，
T =20152
3
，故选C.
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 7． 【答案】B
【解析】解：原式=sin （720°﹣150°）=﹣sin150°=
﹣． 故选B
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
8． 【答案】C
【解析】解：∵f （﹣x ）=
﹣+x=﹣f （x ）
∴
是奇函数，所以f （x ）的图象关于原点对称
故选C ．
9． 【答案】B
【解析】
解：∵函数
是R 上的增函数
设g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5（x ≤1），h （x ）
=（x ＞1）
由分段函数的性质可知，函数g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h （x ）
=在（1，+∞）单调
递增，且g （1）≤h （1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a ≤﹣2 故选B
10．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2
=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
11．【答案】A
【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．
12．【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m
的范围.
二、填空题
13．【答案】 相交
【分析】由已知得PQ ∥A 1D ，PQ=A 1D ，从而四边形A 1DQP 是梯形，进而直线A 1P 与DQ 相交．
【解析】解：∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 分别是B 1C 1、CC 1的中点， ∴PQ ∥A 1D ，
∵直线A 1P 与DQ 共面，
∴PQ=A 1D ，∴四边形A 1DQP 是梯形， ∴直线A 1P 与DQ 相交． 故答案为：相交．
【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
14．【答案】21
2
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°. 因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝
3
2
，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝21
2.
15．【答案】 3 ．
【解析】解：对于①，向量是既有大小又有方向的量， =||•的模相同，但方向不一定相同，∴①是假
命题；
对于②，若与平行时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣||•
，∴②是假命
题；
对于③，若与平行且||=1时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣
，∴③是
假命题；
综上，上述命题中，假命题的个数是3． 故答案为：3．
【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的基本概念是什么，是基础题目．
16．【答案】①② 【解析】
试题分析：子集的个数是2n
，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()2
41f x x =-为偶函数，故错误.
对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n
个；对于
奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个
元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 17．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
18．【答案】 2 ．
【解析】解：在△ABM 中，由余弦定理得：
cosB=
=
．
在△ABC 中，由余弦定理得：
cosB==．
∴
=
．
即b 2+c 2
=4bc ﹣8．
∵cosA==，∴sinA=
=
．
∴S=
sinA=bc
=
．
∴当bc=8时，S 取得最大值2．
故答案为2
．
【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc 的关系是解题关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f （5）=3，
∴
，
即log a 27=3 解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则
=
…
（3）不等式f （x ）＜f （x+2），
即为
化简不等式得
…
∵函数y=log 3x 在（0，+∞
）上为增函数，且
的定义域为R ．
∴x 2+2＜x 2
+4x+6…
即4x ＞﹣4， 解得x ＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
20．【答案】
【解析】
解：如图：
（I ）A ∩B={x|1＜x ≤2}；
（II ）C U A={x|x ≤0或x ＞2}，C U B={x|﹣3≤x ≤1}
（C U A ）∩（C U B ）={x|﹣3≤x ≤0}；
（III ）A ∪B={x|x ＜﹣3或x ＞0}，C U （A ∪B ）={x|﹣3≤x ≤0}．
【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．
21．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
22．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．23．【答案】
【解析】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，
故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，
故直线BC1平行于平面DA1C；
（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）
以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得
而△AD1C中，，故
所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积，
即直线BC1到平面D1AC的距离为．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．
24．【答案】（1）f x （）在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()
()2
2211x
x f x e
x
x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()(
)2
1x
f x x e
a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又(
)
1f
a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f
>，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x
f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x
f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'==-
，
又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e +≤-，
则只需证明()3211m m e m +≤+，即1m
m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。