2019年高考数学(理)一轮复习精品课时练习：课时检测(四十二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习
课时达标检测（四十二） 直线与圆、圆与圆的位置关系
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 直线与圆的位置关系
1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交
C ．相离
D ．随a 的变化而变化
解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．
2．已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m >0)被圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m ＝( )
A ．6
B ．8
C ．9
D ．11
解析：选C 圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，圆心C (－1,1)，半径r ＝22，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－3＋4＋m |5＝2
2
×22＝2，解得m ＝9或－11(m >0，舍去)，故选C.
3．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )
A ．1 B. 2 C ．2
D ．2 2
解析：选A 圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心坐标为(0，－1)，半径r ＝2.直线l 的斜率为－1，方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|0－1－1|
2
＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为12
，所以△AOB 的面积为1
2×22
×
1
2
＝1.故选A. 4．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12
D ．2或12
解析：选D 法一：由3x ＋4y ＝b 得y ＝－3
4x ＋b 4，
代入x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，
并化简得25x 2－2(4＋3b )x ＋b 2－8b ＋16＝0，
Δ＝4(4＋3b )2－4×25(b 2－8b ＋16)＝0， 解得b ＝2或b ＝12.
法二：由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以
|3×1＋4×1－b |
32＋42
＝1，解得b ＝2或b ＝12.
5．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．
解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22
－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.
答案：x －y ＋2－2＝0
6．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________________．
解析：由题意知，当∠ACB 最小时，圆心C (3,4)到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为
4－23－1
＝1，所以直线l 的斜率为－1
1＝－1，因此所求
的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
答案：x ＋y －3＝0
对点练(二) 圆与圆的位置关系
1．已知圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0，圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆M 与圆N 的公切线条数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 由题意可知，圆M 的圆心为(0,2)，半径为2，圆N 的圆心为(1,1)，半径为1，MN ＝2，且1<2<3，所以圆M 与圆N 相交，则圆M 与圆N 的公切线有两条，故选B.
2．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5
D ．2 6
解析：选C x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.
3．(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解析：选B 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a
2
，所以2
a 2
－a 2
2
＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为
1，两圆半径之和为3，故两圆相交．
4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )
A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0
B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0
C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0
D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0
解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋6
1＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －
y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ
－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.
5．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b
2的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．9
解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2
的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1
a 2＋
1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2
)＝5＋b 2a 2＋4a 2b
2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2
b
2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1
b
2的最小值为9.
6．已知圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2与圆C 2：x 2＋(y －b )2＝2(b >0)相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则b ＝________.
解析：由题意知C 1(1,0)，C 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝2，所以线段AB 和线段C 1C 2相互
垂直平分，则|C 1C 2|＝2，即1＋b 2＝4，又b >0，故b ＝ 3.
答案： 3
7．过圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的相交弦端点的圆中周长最小的圆的方程是____________________________________________________________．
解析：联立圆方程得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0，
x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，
解得⎩⎨⎧
x 1＝－15
，
y 1
＝－2
5
或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－1，y 2
＝－2， ∴两圆的两个交点分别为A ⎝⎛⎭⎫－15，－2
5，B (－1，－2)． 过两交点的圆中，以AB 为直径的圆的周长最小． ∴该圆圆心为⎝⎛⎭⎫－35
，－6
5， 半径为
⎝⎛⎭⎫－15＋12＋⎝⎛⎭⎫－25＋22
2
＝
25
5
，
∴所求圆的方程为⎝⎛⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝45. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝4
5
[大题综合练——迁移贯通]
1．(2018·河南洛阳模拟)已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B .
(1)求实数a 的取值范围；
(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2,4)，求实数a 的值． 解：(1)由题设知
|a ＋5|
a 2
＋1
<5，故12a 2－5a >0，
所以a <0或a >5
12.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (2)圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心坐标为(1,0)，
又弦AB 的垂直平分线过圆心(1,0)及P (－2,4)，∴k l ＝4－0－2－1＝－4
3，
又k AB ＝a ，且AB ⊥l ，∴k l ·k AB ＝－1，
即a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，∴a ＝34
. 2.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7
＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为r .
由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5
＝2 5.
∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝
|k －2|k 2＋1
＝1，
得k ＝3
4，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.
故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.
3．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为
圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；
(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→
，求实数t 的取值范围．
解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.
(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，
所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准
方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.
(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－0
2－0＝2.
设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0，
则圆心M 到直线l 的距离d ＝
|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|
5
. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22
， 所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.
故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→
，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①
因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.
于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221.
因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．。