2019-2020学年河北省邢台市第一中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年河北省邢台市第一中学高一上学期第一次月
考数学试题
一、单选题
1．已知集合{=M x x ≥，a = ） A ．{}a M ⊆ B ．a M ⊆
C ．{}a M ∈
D ．a M ∉
【答案】A
【解析】M 是一个集合，a 是一个元素，且在集合M 中，由此可以选择. 【详解】
因为M 表示集合，a 表示一个元素，又≥，
根据集合与元素之间的关系，可记作：a M ∈；亦可记作：{}a M ⊆. 故选：A. 【点睛】
本题考查集合与集合，元素与集合之间的关系以及记法，属简单基础题. 2．下列函数中指数函数的个数是（ ）
①23x y =⋅ ②13x y += ③3x y = ④()21x
y a =-（a 为常数，12
a >
，1a ≠）
⑤3y x = ⑥4x y =- ⑦()4x
y =- A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】
对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为1x +，不是x ，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④，
故选：B. 【点睛】
本题考查指数函数的定义：只有形如(0,1)x
y a a a =>≠的函数才是指数函数. 3．已知集合{
}
2
12,4,2A a a a =+-，且3A -∈，则a =（ ） A ．-1 B ．-3或1 C ．3 D ．-3
【答案】D
【解析】令集合A 中的元素24a a +与2a -分别为-3，求得a 的值，再利用集合的互异性，进行取舍. 【详解】
因为3A -∈，故：
令243a a +=-，解得1a =-或3a =-；
当1a =-时，2423a a a +=-=-不满足集合的互异性，故舍去； 当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足集合互异性，故3a =-； 令23a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去； 综上所述：3a =-， 故选：D. 【点睛】
本题考查元素与集合的关系，以及集合的互异性；请大家注意集合互异性，可以对参数的值进行取舍，这是易错点.
4．已知全集{}3,2,1,0,1,2,3,4U =---，集合(
)
{}
2
10A x x x =-=，集合
{}
2,9B x x N x =∈≤，则()U C A B ⋂=（ ）
A ．{-3，-2，2，3}
B ．{2，3}
C ．{1，2，3}
D ．{0，1，2，3}
【答案】B
【解析】分别求解集合A 和集合B ，然后由集合的运算法则求解即可. 【详解】
对集合A ：(
)
2
10x x -=，解得：0x =或1x =或1x =-； 用列举法表示集合{}1,0,1A =-；
对集合B ：29x ≤，解得33x -≤≤，又x N ∈
用列举法表示集合{}0,1,2,3B = 故：{}3,2,2,3,4U C A =--，则：
{}()2,3U C A B ⋂=，
故选：B. 【点睛】
本题考查不等式的补运算、交运算、方程的求解、不等式的求解，属基础知识题. 5．集合{
}
1A x y x ==-，{}
22B y y x ==+，则A B U 等于（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．[1，+ ∞）
D ．[2，+ ∞）
【答案】C
【解析】求得函数1?
y x =-的定义域即为A 集合，求得2
2y x =+的值域即为B 集合，最后取并集即可. 【详解】 对函数1?y x =
-，其定义域为[)1,+∞；
对函数2
2?y x =+，其值域为[
)2,+∞； 故[
)1,A B ⋃=+∞， 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的表示方法（描述法）、集合的并运算以及简单函数定义域、值域的求解. 6．图中的阴影表示的集合中是（ ）
A ．()U A C
B ⋂ B ．()U B
C A I C ．()U C A B I
D ．()U C A B U
【答案】B 【解析】【详解】
因为阴影部分属于集合B,但不属于集合A,
所以，图中阴影是集合Ｂ与Ａ的补集的交集,即U B C A ⋂．
故选B.
7．下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（ ） A ．2()f x x =
，2
()()g x x =
B ．0()1,()f x g x x ==
C ．3
223(),()()f x x g x x =
=
D ．21
()1,()1
x f x x g x x -=+=
- 【答案】C
【解析】【详解】试题分析：A 中
定义域为
，
定义域为
两个函数的定义域不一致,故A 中两函数不表示同一函数；B 中
定义域
为
，
,定义域为{}|0x x ≠两个函数的定义域不一致,故B 中两函数不表示同
一函数；C 中两个函数的定义域和解析式均一致,故C 中两函数表示同一函数；D 中
定义域为
，
定义域为{}|1x x ≠，两个函数的定义域不一
致,故D 中两函数不表示同一函数；所以C 选项是正确的. 【考点】函数的三要素. 【易错点晴】
函数的三要素：定义域，对应关系，值域；根据函数的定义知，两个函数的定义域和对应关系一样，那么值域就一样，两个函数就相同，仅是定义域和值域一样则函数未必相同，例如
，定义域均为
，值域均为
，但两个函数显然不一
样，若两个函数的定义域不一样，则两个函数必然不是同一个函数. 8．下列判断正确的是（ ）
A ．函数22()2
x x f x x -=-是奇函数
B ．函数1()(11x
f x x x
+=-- C ．函数2()1f x x x =-
D ．函数()1f x =既是奇函数又是偶函数 【答案】C
【解析】【详解】试题分析：A 中函数的定义域为{}|2x x ≠不关于原点对称，()f x 不是奇函数；B 中函数的定义域为{}|11x x -≤<不关于原点对称，()f x 不是偶函数；C 中函数的定义域为{}
|1,1x x x ≤-≥或，2()1()f x x x f x -=-+-≠，
2()1()f x x x f x -=-+-≠-，所以()f x 是非奇非偶函数；D 中是偶函数，不是奇
函数.故选C.
【考点】函数的奇偶性. 【方法点睛】
判断函数奇偶性的方法：⑴定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=〔或或()()0f x f x --=〕⇔函数()f x 是偶函数；对于
函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
〔或或
⇔函数()f x 是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①判断定义域是否
关于原点对称；②比较
与()f x 的关系；③下结论.⑵图象法：图象关于原点成中
心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数.⑶运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；③若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==. 9．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．10- B ．6- C ．4- D ．2-
【答案】A
【解析】()28242f a b -=---=，则826a b +=-， 所以()28246410f a b =+-=--=-，故选A 。

10．已知函数()f x 在定义域（-1，1）内单调递减，且()()
2
11f a f a -<-，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．（-2，1）
B ．（0，2）
C ．(2
D ．（0，1）
【答案】D
【解析】由函数定义域，可得到参数的限制条件；再由单调性，可得参数的另一个限制条件，解不等式组取交集即可求得.
【详解】
因为函数()f x 的定义域为()1,1-，故：
111a -<-<，解得：()0,2a ∈；
2111a -<-<，解得：()(
)
2,00,2a ∈-⋃；
又该函数单调递减，且()(
)
2
11f a f a -<-，故：
211a a ->-，解得：()2,1a ∈-；
综上所述，取交集可得：()0,1a ∈. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数单调性解不等式，涉及不等式的求解；本题的难点是没有注意函数的定义域，从而造成错解.
11．下面四个函数：①3y x =-②211y x =+③2210y x x =+-④,0,
1,0.x x y x x
-≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩.
其中值域为R 的函数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】试题分析：注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R ，②的值域
，③的值域为
【考点】函数的值域
12．对,a b ∈R ，记max {,a b }=,,a a b
b a b
≥⎧⎨⎩＜，函数()f x ={}
max 1,2()
x x x R +-∈的最小值是 （ ） A ．0 B ．
12
C ．
32
D ．3
【答案】C
【解析】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据1x +和2x -的大小关系，结合新定义给出函数()f x 的解析式，再通过画函数的图象即可求得最小值. 【详解】
由12x x +≥-，可得
22(1)(2)x x +≥-，即12
x ≥
. ∴11,2
()12,2x x f x x x ⎧
+≥⎪⎪=⎨⎪-<
⎪⎩
作出函数()f x 的图象如图所示：
∴min 1
13()()1222
f x f ==+= 故选C. 【点睛】
本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事 ”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
二、填空题 13．函数21x y -=
-的定义域是______.
【答案】(]
,0-∞
【解析】由被开方数大于等于零，可得关于x 的指数不等式，求解即可. 【详解】 若使得函数21x y -=
-有意义，则：
210x --≥，整理得：112x
⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭，即：
1122x
⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由指数函数单调性可得： 0x ≤，
故答案为：(]
,0-∞. 【点睛】
本题考查指数不等式的求解，涉及函数的定义域求解.
14．已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =-，则当0x <时，
()f x =______
【答案】()1x x +
【解析】当0x <时，其相反数则为正数，满足解析式，结合函数为奇函数，即可求得. 【详解】
令0x <，则0x ->，故满足：()()()1f x x x -=-+， 又因为()f x 为奇函数，故：()()f x f x -=-， 综上()()1f x x x -=-+， 解得：()()1f x x x =+，即为所求. 故答案为：()1x x +. 【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式，属重要基础题.
15．{}
2
|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的取值组成
的集合是______ .
【答案】11032⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
，，
【解析】【详解】
解：由x 2+x-6=0，得x=-3或x=2 ∴A={-3，2} 又∵B={x|mx-1=0}
当m=0时，B=∅，满足A U B=A, 当0m ≠时，则解得x=-
1
ｍ,因此1m =3，1m =-2，解得m 的集合为1103
2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，- 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 满足：
()()()1
2f x y f x f y +=++，且
102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当12x >时，()0f x >.给出以下结
论:①()1
02f =-;②()312f -=-;③()f x 为R 上的减函数;④()12
f x +为奇函
数;⑤()1f x +为偶函数.其中正确结论的序号是________. 【答案】①②④
【解析】由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上，根据函数奇偶性与单调性，继续对各个选项逐一验证可得答案． 【详解】
由题意和,x y 的任意性，取0x y ==代入()()()1
2
f x y f x f y +=++， 可得()()()01
020=++
f f f ，即1(0)2
f =-，故①正确； 取12x =
，
1
2y =-代入可得()1110222⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭f f f ，即111
0222
⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭f ，
解得112⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
f ； 再令12x y ==-
代入可得()111
122232122⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭
f f f ，故②正确；
令y x =-代入可得11(0)()()22-==+-+f f x f x ，即11
()()022
++-+=f x f x ，故1
()2
+
f x 为奇函数，④正确； 取1y =-代入可得()()()11
12
-=+-+
f x f x f ，即()()()11
1102
---=+
=-<f x f x f ，即()()1f x f x -<， 故()f x 为R 上减函数，③错误； ⑤错误，因为11()1()22+=+
+f x f x ，由④可知1
()()2
=+g x f x 为奇函数，故11
()()2()22
-+
--=-g x g x g x 不恒为0， 故函数()1f x +不是偶函数. 故答案为：①②④ 【点睛】
本题考查函数的概念及性质，熟记函数的基本性质，灵活运用赋值法进行处理即可，属
于常考题型.
三、解答题
17．计算（或化简）下列各式： （1）1 1.5
212
3
4
4910.000127649--⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+--
+-
【答案】(1)2447
70
；(2)0. 【解析】（1）逐项求解，然后相加即可；
（2）利用完全平方公式，以及平方差公式进行化简. 【详解】 （1）原式=(
)()
132
2
1
22
2
434
3
7110383-
-
-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=
18
927107+-+ =2447
70
（2）原式=2
111111
2222221111
2222a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫+- ⎪⎝⎭
=1
111
22
22
a b a b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
=0 【点睛】
本题考查分数指数幂的计算，第二问要注意技巧的应用，巧用完全平方公式及平方差公式.
18．已知()(){}
2
2330A x x a x a a =-+++≤，601x B x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭
.
（1）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围； （2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.
【答案】(1)[]
6,2--；(2)()() ,91,-∞-⋃+∞
【解析】（1）A B ⋂=∅，则只需保证两个集合的端点值满足约束关系即可； （2）A B B ⋃=，则A B ⊆，由两个集合的端点值即可进行约束.
【详解】
对集合A ，()()2
2330x a x a a -+++≤， 分解因式可得：()()30x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦
解得：[],3A a a =+；
对集合B ，601x x
+<-，整理得： ()()610x x +-<，
解得：B =()(),61,-∞-⋃+∞；
（1）若A B ⋂=∅，则：
631a a ≥-⎧⎨+≤⎩
，解得[]6,2a ∈-- （2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，故：
36a +<-或1a >，解得()(),91,a ∈-∞-⋃+∞
【点睛】
本题考查集合的相互关系，涉及不等式的求解，属重要基础题.
19．集合
{}22190A x x ax a =-+-=,{}2560B x x x =-+=,{}
2280C x x x =+-=. （1）若A B =，求a 的值；
（2）若A B ∅I Ü，A C ⋂=∅，求a 的值．
【答案】（1）5a =；（2）2a =-.
【解析】试题分析：（1）由A=B ，由题意求出B ，用韦达定理求a ；（2）由∅⊊A∩B ，A∩C=∅，又B={2，3}，C={2，-4}，则3∈A ，2∉A ，解出a 即可．
试题解析：由已知，得{}2,3B =，{}2,4C =-
（1）∵A B =于是2,3是一元二次方程22190x ax a -+-=的两个根，
由韦达定理知： 2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩
解之得5a =.
（2）由A B ⋂∅⇒ÙA B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，
得3A ∈，2A ∉，4A -∉，
由3A ∈，
得2233190a a -+-=，解得5a =或2a =-
当5a =时，{}
{}25602,3A x x x =-+==，与2A ∉矛盾； 当2a =-时，{}
{}221503,5A x x x =+-==-，符合题意. ∴2a =-.
试题点睛：本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合关系中的参数取值问题、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．
20．设函数()2
1f x ax bx =++（0a ≠、b R ∈），若()10f -=，且对任意实数()x x R ∈不等式()0f x ≥恒成立．
（1）求实数a 、b 的值；
（2）当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）1a =，2b =；（2）(][),26,-∞-+∞U .
【解析】【详解】试题分析：（1）根据f （-1）=0，△≤0，解出即可；（2）先求出函数f （x ）的表达式，根据函数的单调性求出k 的范围即可.
试题解析：（1）∵()10f -=
∴10a b -+=
∵任意实数x 均有()0f x ≥成立
∴()22010140
a a a
b a >⎧⇒-≤⇒=⎨∆=-≤⎩ 解得：1a =，2b =
（2）由（1）知()2
21f x x x =++ ∴()()()221g x f x kx x k x =-=+-+的对称轴为22
k x -= ∵当[]2,2x ∈-时，()g x 是单调函数 ∴222k -≤-或222
k -≥
∴实数k 的取值范围是(][),26,-∞-+∞U .
试题点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的证明，注意运用定义法，考查推理能力，属于中档题．二次函数的单调性由函数的开口方向及对称轴判断，当含有参数时注意分类讨.
21．若{},0,1A a =-，1,,1B c b b a ⎧⎫=+⎨⎬+⎩
⎭，且A B =，()2f x ax bx c =++. （1）求()f x 解析式；
（2）若[]1,2x ∈-时，求()f x 的值域；
（3）若[]
1,x m ∈时，()[]1,f x m ∈，求实数m 的值. 【答案】(1)()2 22f x x x =-+；(2)[]
1,5；(3)2. 【解析】（1）由集合相等，可求得,,a b c ，从而求得函数解析式；
（2）简单二次函数的值域求解，配方即可；
（3）由对称轴知，二次函数在该区间上单调递增，则该二次函数过点()1,1和(),m m ，解方即可.
【详解】
（1）由A B =，可得：
1a =，1b a +=-，0b c +=，解得：
1,2,2a b c ==-=，故：
()222f x x x =-+.
（2）()2
22f x x x =-+ =()211x -+
故：当1x =时，取得最小值1；
当1x =-时，取得最大值5.
故该函数的值域为[]1,5.
（3）由解析式可得，对称轴为：1x =，
故该二次函数在[
]1,m 上单调递增，故：
()()11f f m m
⎧=⎪⎨=⎪⎩整理得21122m m m =⎧⎨-+=⎩ 解得1m =或2m =，又1m >，
故2m =.
【点睛】
本题考查集合的相等、二次函数的值域、二次函数的基本性质，属基础题. 22．已知113
a ≤≤，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-.
（1）求()g a 的函数表达式；
（2）判断并证明函数()g a 在区间1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调性，并求出()g a 的最小值. 【答案】(1)()1196?,? ,121112? ,?,32a a a g a a a a ⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪+-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
；(2) ()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增；()1122min g a g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 【解析】（1）根据动轴定区间的处理方式，进行分类讨论即可；
（2）先用单调性的定义证明函数单调性，再根据单调性求解其最小值.
【详解】
（1）()221f x ax x =-+的对称轴为1x a
=； 1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故：[]11,3a ∈ 当[]11,2a ∈，即1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时， ()()395M a f a ==-，()111N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
则：()()()196g a M a N a a a
=-=+- 当(]12,3a ∈，即11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，
()()11M a f a ==-，()111N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
则：()()()12?g a M a N a a a
=-=+- ()1196?,? ,121112? ,?,32a a a g a a a a ⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪+-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
（2）设：121132
a a ≤<<，则 ()()()121212110g a g a a a a a ⎛⎫-=--> ⎪⎝
⎭ 即：()()12g a g a >，
故()g a 在11,
32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减； 设12112
a a <<≤，则 ()()()121212190g a g a a a a a ⎛⎫-=--< ⎪⎝
⎭ 即：()()12g a g a <，
故()g a 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增； 综上所述：()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递减； 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增； ()1122
min g a g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题考查二次函数的动轴定区间、最值、单调性定义、分段函数，属函数综合题.。