广东省珠海市紫荆中学九年级第三次模拟考试数学试题

珠海市紫荆中学2011～2012学年度（下）模拟考试（3）
初三年级 数学试卷
说明:
1.全卷共4页，考试用时100分钟，满分为120分.
2.答卷前，考生务必先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卷上填写姓名、试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑.
3.选择题用2B 铅笔把答题卡对应这题目的答案的标号涂黑.非选择题答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则,作答的答案无效．
一、 选择题（每题3分，共15分） 1、—8的立方根是（ ） A ．2± B ．2 C ．—2 D ．—8没有立方根
2、世界最长的跨海大桥——港珠澳大桥工程全部投资原来估算为７２９．４亿元，后因香港老太逼停一案，导致预算增加88亿元，用科学记数法表示现在的投资预算应为（ ） A ． 1010174.8⨯元 B ．910174.8⨯ 元 C ．1110174.8⨯ 元 D ．11108174.0⨯元
3、下列正多边形中，不能．．
铺满地面的是（ ） A ．正三角形 Ｂ．正方形 Ｃ．正六边形 Ｄ．正七边形 4、从1，2，—3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ） A ．0 Ｂ．
13 Ｃ．2
3
Ｄ．1 5、如图，一个小立方块所搭的几何体，从不同的方向看所得到的平面图形中（小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数），不正确的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每题4分，共20分）
6、因式分解：2
2a b ab b ++= ．
7、若分式21
1
x x -+的值为0，则x 的值等于 ．
8、已知：如图，CD 是⊙O 的直径，点A 在CD 的延长线上，AB 切⊙O 于点B ， 若∠A ＝30°，OA ＝10，则AB= ．
9、在菱形ABCD 中，对角线AC=8，BD=6，则D 到AB 的距离为____________.
1
21422242
23
2
3 D O B
10、如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形 ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第2012个等腰直角三角形的面积S 2012＝________。

三、解答题一（每题6分，共30分）
11、计算：3
2
13|13272-⎛⎫
----+ ⎪⎝⎭
12、解不等式组543121 2
5x x x x +>⎧⎪
--⎨⎪⎩，≤．并把解集在数轴上表示出来．
13、如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，AB DC AE DF AE DF ==，∥，，求
证：EC FB =.
14、如图，Rt ABC △的斜边5AB =，3cos 5
A =
． （1）用尺规作图作线段AC 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）； （2）若直线与AB ，AC 分别相交于D E ，两点，求DE 的长．
15、目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔“小蛮腰”，如图所示，新电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）．
（tan39°≈0.81，,cos39°≈0.78，,sin39°≈0.63）
四、解答题二（每题7分，共28分）
16、广珠城轨某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？
A
E C
D
F
B
A B C
17、初三年级学习压力大，放学后在家自学时间较初一、初二长.为了解学生学习时间，该年级随机抽取25%的学生问卷调查，制成统计表和扇形统计图，请你根据图表中提供的信息回答下列问题：
学习时间（h ） 1 1.5 2 2.5 3 3.5
人数 72 36 54 18
（1）初一年级共有学生___________人．
（2）在表格中的空格处填上相应的数字．
（3）表格中所提供的六个数据的中位数是_______，众数是__________．
（4）估计“从该校初一年级中任选一名学生，放学后在家自学时间超过3h （不含3h ）”概率．
18、如图，反比例函数y 1的图象与一次函数y 2的图象交于A ，B 两点，y 2
的图象与x 轴交于点C ，过A 作AD ⊥x 轴于D ，若OA=5，AD=2
1
OD ，点B 的横坐标为
2
1． （1）求一次函数的解析式及△AOB 的面积．
（2）结合图象直接写出：当y 1＞y 2时，x 的取值范围．
19、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF=BF ；
（2）若AD=2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．
五、解答题三（每题9分，共27分） 20、阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2
=－1，这个数i 叫做虚数单位．那么形如a+bi （a ，b 为实数）的数就叫做复数， a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3-4i ）=5－3i ．
（1）填空：i 3=_____，i 4
=_______ ； （2）计算：①()()i -2i 2+；②()2
i 2+；
3.5 30%
1h 20%
1.5h
20% 10% 2h 2.5h 15% 5% 3h C
B
E F A
D
O
⌒
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将
i-1i
1
化简成a+bi的形式．
21、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=5，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AMNP，
直线MN分别与边BC、CD交于点E、F.
（1）判断BE与ME的数量关系，并加以证明；
（2）当△CEF是等腰三角形时，求线段BE的长；
（3）设x=BE，y=CF·（AB2-BE2），试求y与x之间的函数关
系式，并求出y的最大值.
22、如图，抛物线C1：y=ax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0），
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线y=x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P，求△DBP 的面积
（3）如图2，连接AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC·（AC+EC）为定值．
珠海市紫荆中学2011～2012学年度（下）模拟考试（3）
初三年级数学试卷
一、选择题（每题3分，共15分）
1、 2、 3、 4、 5、
二、填空题（每题4分，共20分）
6、．
7、．
8、．
9、．10、
．
三、解答题一（每题6分，共30分）
11、计算：
3
2
1
3|1327
2
-
⎛⎫
----+
⎪
⎝⎭
12、解不等式组
543
121
25
x x
x x
+>
⎧
⎪
--
⎨
⎪⎩
，
≤．
并把解集在数轴上表示出来．
13、
14、
15、
四、解答题二（每题7分，共28分）
16、
17、（1）___________
（2）___________；______________________
A
E C
D
F
B
A
B
C
（3）___________；___________ （4）
18、
19、
五、解答题三（每题9分，共27分）
20、（1）___________；___________
C
B
E
F
A
D
O
21、
22、
答案1、C 2、A 3、D 4、B 5、B
6、()2
1b a + 7、1 8、39、4.8 10、2010
2
11、答案：解：原式983133=-+-+4分 23=．
6分
12、解：由不等式组：543121
2
5x x x x +>⎧⎪
⎨--⎪⎩ ①
≤ ② 解不等式①，得2x >-． 2分
解不等式②，得5(1)2(21)x x --≤． 即5542x x --≤．
∴3x ≤．
4分 由图可知不等式组的解集为：23x -<≤． 5分
6分
13、答案：证明
AB DC =
AB BC DC BC ∴+=+ 即AC DB = 2分
AE DF ∥ A D ∴∠=∠
4分
在AEC △和DFB △中
AE DF A D AC DB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
AEC DFB ∴△≌△
EC FB ∴= 6分
14．解：（1）作图正确得3分（不保留痕痕迹的得1分）， ··········· 2分 （2）因为直线垂直平分线段AC ，所以CE AE =， 又因为BC AC ⊥，所以DE BC ∥， 所以1
2
DE BC =
． ············ 4分
因为在Rt ABC △中，5AB =，3
cos 5A =，
所以3
cos 535
AC AB A ==⨯=，BC=4 ···· 5分 得2DE =． ······························· 6分
15. 解：（1）在Rt △BAC 中，45BCA ∠=，90BAC ∠=，
∴△BAC 是等腰直角三角形． ∴610AC AB ==米．
∴大楼与电视塔之间的距离AC 为610米． 3分 （2）作//DE AC 交AB 于点E （如图6）， 则39BDE ∠=，610DE AC ==． 在Rt △BED 中，
tan 39BE
DE
=， ∴tan39494.0BE DE =⋅≈米． 5分 ∴610494.0116CD AE AB BE ==-=-=米．
∴大楼的高度CD 约为116米． 6分
16、解：设甲工程队单独完成任务需x 天，则乙工程队单独完成任务需(2)x +天，1分
39 45
D C
B
A
图6
E
A
B
C
E
D
F
A B
C
D E 第14题
依题意得
2312
x x +=+． 3分 化为整式方程得
2340x x --=
解得1x =-或4x =． 5分 检验：当4x =和1x =-时，(2)0x x +≠，
4x ∴=和1x =-都是原分式方程的解． 6分 但1x =-不符合实际意义，故1x =-舍去； ∴乙单独完成任务需要26x +=（天）．
答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天． 7分 17、答案：（1）1340；（2）72,108；（3）2.25，3.5． 5分 （4）解：0.3． 7分 18、解：（1）如图，连接OB ，在Rt △AOD 中，OA= 5 ，AD=2
1OD ，且OD 2+AD 2=OA 2
， 代入解得AD=1，OD=2，故A （-2，1）， 1分 设B 点纵坐标为h ，已知B 点横坐标为21 ，则（-2）×1=2
1
h ，解得h=-4， 故B （
2
1
，-4）， 2分 设直线AB 解析式为y=kx+b ，则 -2k+b=1 ，2
1
k+b=-4 ，得 k=-2 b=-3，
直线AB 解析式为y=-2x-3， 3分
由此可得C （-
23 ，0），所以，S △AOB =S △AOC +S △BOC =4
15
； 5分 （2）当y 1＞y 2时，x 的取值范围是：-2＜x ＜0或x ＞2
1
； 7分
19、答案：证明：（1） 连结AC ，如图 ∵C 是弧BD 的中点 ∴∠BDC =∠DBC
又∠BDC =∠BAC
在三角形ABC 中，∠ACB =90°，CE ⊥AB ∴ ∠BCE=∠BAC ， ∠BCE =∠DBC ∴ CF =BF 因此，CF =BF ． 3分 （2）证法一：作CG ⊥AD 于点G ， ∵C 是弧BD 的中点 ∴ ∠CAG =∠BAC ， 即AC 是∠BAD 的角平分线． ∴ CE =CG ，AE =AG ，在Rt △BCE 与Rt △DCG 中，CE =CG ， CB =CD
∴Rt △BCE ≌Rt △DCG ，∴BE =DG ，∴AE =AB -BE =AG =AD +DG 即 6-BE =2+DG
∴2BE =4，即 BE =2 又 △BCE ∽△BAC ，∴ 2
12BC BE
AB ==· 32±=BC （舍去负值），∴32=BC 7分 （2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB
C
B
E F
A
D
O G
∴∠BEF=︒=∠90ADB ，
在Rt ADB △与Rt FEB △中，
∵FBE ABD ∠=∠
∴ADB △∽FEB △，则BF AB EF AD = 即BF EF 62=， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3=
利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-=
又∵△EBC ∽△ECA 则
CE BE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2 ∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+
∴2
2=
EF ∴3222=+=CE BE BC
20、解：（1）∵i 2=-1，∴i 3=i 2•i=-1•i=-i ， 1分
i 4=i 2•i 2=-1•（-1）=1， 2分
（2）①（2+i ）（2-i ）=4-i 2=5； 3分
②（2+i ）2=i 2+4i+4=-1+4i+4=3+4i ； 4分
（3）∵（x+y ）+3i=（1-x ）-yi ，
∴x+y=1-x ，3=-y ，
∴x=2， y=-3； 6分
（4）原式=i ． 9分
21、(1)BE=ME ， 1分
∵AB=AM,AE=AE ∴Rt △ABE ≌Rt △AME ∴BE=ME 3分
(2)BE=4-24 6分
（3）y=-8x 2
+40x （0<x ≤2） 8分
y max =48 9分
22、（1）解：∵抛物线顶点为P （1，0），经过点（0，1）
∴可设抛物线的解析式为：y=a （x-1）2，将点（0，1）代入，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x 2-2x+1； 3分
（2）解：根据题意，平移后顶点坐标P （2，-1）
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）2-1，
∴A （0，-1），B （4，3），∴S △DBP =3； 6分
（3）证明：过点Q 作QM ⊥AC 于点M ，过点Q 作QN ⊥BC 于点N ，
设点Q 的坐标是（t ，t 2-4t+3），则QM=CN=（t-2）2，MC=QN=4-t ．
∵QM ∥CE ，∴△PQM ∽△PEC ，
∴QM ：EC =PM ：PC ，即(t-2) 2 ：EC =t-1 ：2 ， 得EC=2（t-2），
∵QN ∥FC ，∴△BQN ∽△BFC ，
∴QN ：FC =BN ：BC ，
即4-t ：FC =3-(t 2 -4t+3) ：4 ，
得FC=4 ：t ，又∵AC=4，
∴FC （AC+EC ）=t
4 [4+2（t-2）]=8， 即FC （AC+EC ）为定值8． 9分。