2017年福建省中考数学预测试卷(一)和解析

2017年福建省中考数学预测试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）在下列各数中，绝对值最大的数是（）
A．﹣2 B．1 C．D．
2．（4分）下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（）
A． B．C．D．
3．（4分）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算结果是a6的式子是（）
A．a2•a3B．（﹣a）6C．（a3）3D．a12﹣a6
5．（4分）我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为（）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×105D．0.35×108
6．（4分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．
7．（4分）已知正多边形的一个外角是30度，这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12
8．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m=0
9．（4分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS 垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（）
A．40m B．60m C．120m D．180m
10．（4分）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的四个顶点坐标分别是A（m，2m），B（n，2n），C（n+3，2n），D （p，q），则p，q所满足的关系式是（）A．q=2p B．q=2p﹣6 C．q=2p+3 D．q=2p+6
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）使有意义的x的取值范围是．
12．（4分）分解因式：3x2﹣12=．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好
都是9.6环，方差分别是S
甲2=0.96，S
乙
2=1.12，S
丙
2=0.56，S
丁
2=1.58．在本次射
击测试中，成绩最稳定的是．
14．（4分）已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=（度）
15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，则∠BOD=°．
16．（4分）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：|﹣3|+（）﹣1﹣÷5．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣a2，其中a=，b=．19．（8分）如图，△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一条直线上．有下面四个关系式：（1）AD=CB，（2）AD∥BC，（3）∠B=∠D，（4）AE=CF．请用其中三个作为已知条件，余下一个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．已知：
求证：
证明：
20．（8分）尺规作图：如图，线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小明的作图过程如下：
①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD．∴四边形ABCD即为所求．
（1）根据小明的作图步骤，作出图形；
（2）小明这样作图的依据是．
21．（8分）某城市2016年约有初中生10万人，2017年初中生人数还会略有增长．该市青少年活动中心对初中生阅读情况进行了统计，绘制的统计图表如表：2013﹣2016年某市喜爱阅读的初中生人数
根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中m的值为；
（2）2016年，在该市喜爱阅读的初中生中，首选阅读科普读物的人数为万；
（3）请你结合对数据的分析，预估2017年该市喜爱阅读的初中生人数，并简单说明理由．
22．（10分）某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．
（1）求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）如果身高为1.5米的小华站在CD之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O 切BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC=，求BD的长．
24．（13分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC 上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．
（1）如图1，当BD=2时，AN=，NM与AB的位置关系是；（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．
25．（13分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y=x﹣1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y=2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．
2017年福建省中考数学预测试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）在下列各数中，绝对值最大的数是（）
A．﹣2 B．1 C．D．
【解答】解：|﹣2|=2，|1|=1，||=，|﹣|=，
∵2＞1＞，
∴绝对值最大的数是﹣2，
故选：A．
2．（4分）下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（）
A． B．C．D．
【解答】解：根据同位角的定义，可知A是同位角．
故选：A．
3．（4分）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看易得左侧有2个正方形，右侧有一个正方形．
故选A．
4．（4分）下列运算结果是a6的式子是（）
A．a2•a3B．（﹣a）6C．（a3）3D．a12﹣a6
【解答】解：∵a2•a3=a5，（﹣a）6=a6，（a3）3=a9，a12﹣a6无法合并，
故选B．
5．（4分）我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为（）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×105D．0.35×108
【解答】解：3 500 000=3.5×106，
故选：A．
6．（4分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，
∴摸到黄球的概率是=．
故选B．
7．（4分）已知正多边形的一个外角是30度，这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：因为360÷30=12，
则正多边形的边数为12．
故选D．
8．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m=0
【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故选A．
9．（4分）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS
垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（）
A．40m B．60m C．120m D．180m
【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PSR，
∴=，即=，
∴PQ=120（m）．
故选C．
10．（4分）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的四个顶点坐标分别是A（m，2m），B（n，2n），C（n+3，2n），D （p，q），则p，q所满足的关系式是（）A．q=2p B．q=2p﹣6 C．q=2p+3 D．q=2p+6
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CD可以看做由AB平移得到，且A与D对应，B与C对应，
∵A（m，2m），B（n，2n），C（n+3，2n），D （p，q），
∴p﹣m=n+3﹣n，q﹣2m=2n﹣2n，
∴q=2p﹣6．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）使有意义的x的取值范围是x≥1．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（4分）分解因式：3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2）．
【解答】解：原式=3（x2﹣4）
=3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好
都是9.6环，方差分别是S
甲2=0.96，S
乙
2=1.12，S
丙
2=0.56，S
丁
2=1.58．在本次射
击测试中，成绩最稳定的是丙．
【解答】解：∵s2
丙＜s2
甲
＜s2
乙
＜s2
丁
，
∴在本次测试中，成绩最稳定的是丙．
故答案为：丙．
14．（4分）已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=60（度）
【解答】解：连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60．
15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，则∠BOD=140°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，
∴∠C=180°﹣∠A=180°﹣110°=70°，
∴∠BOD=2∠C=140°．
故答案为：140．
16．（4分）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…；
则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，
A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，
所以点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
故答案为：13．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：|﹣3|+（）﹣1﹣÷5．
【解答】解：原式=3+2﹣5÷5
=5﹣1
=4．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣a2，其中a=，b=．【解答】解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣a2=3ab，
∴当a=，b=时，原式=9．
19．（8分）如图，△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一条直线上．有下面四个关系式：（1）AD=CB，（2）AD∥BC，（3）∠B=∠D，（4）AE=CF．请用其中三个作为已知条件，余下一个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．已知：
求证：
证明：
【解答】解：题设：（1）（2）（4），结论：（3）．
理由：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=EF+CF，
∴AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠D=∠B．
也可以（1）（2）（3）⇒（4）；或（2）（3）（4）⇒（1）．证明方法类似．
20．（8分）尺规作图：如图，线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小明的作图过程如下：
①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD．∴四边形
ABCD即为所求．
（1）根据小明的作图步骤，作出图形；
（2）小明这样作图的依据是对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求．
（2）小明这样作图的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
21．（8分）某城市2016年约有初中生10万人，2017年初中生人数还会略有增长．该市青少年活动中心对初中生阅读情况进行了统计，绘制的统计图表如表：2013﹣2016年某市喜爱阅读的初中生人数
根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中m的值为8；
（2）2016年，在该市喜爱阅读的初中生中，首选阅读科普读物的人数为0.75万；
（3）请你结合对数据的分析，预估2017年该市喜爱阅读的初中生人数，并简单说明理由．
【解答】解：（1）100﹣15﹣11﹣16﹣12﹣38=8．
故答案为：8．
（2）5.0×15%=0.75．
故答案为：0.75．
（3）6.6万人，理由如下：
∵该市喜爱阅读的初中生人数逐年增长，且增长趋势变快，5.0﹣3.5=1.5（万人），1.6＞1.5，
∴5+1.6=6.6（万人）．
22．（10分）某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．
（1）求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）如果身高为1.5米的小华站在CD之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图所示建立平面直角坐标系．
由题意可知A（﹣4，0），B（4，0），顶点E（0，1）．
设抛物线G的表达式为y=ax2+1．
∵A（﹣4，0）在抛物线G上，
∴16a+1=0，解得．
∴．
自变量的取值范围为﹣4≤x≤4．
（2）当y=1.5﹣1=0.5时，﹣x2+1=0.5，
解得：x=±4，
∴m的取值范围是：4﹣4＜m＜4+4．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O 切BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC=，求BD的长．
【解答】解：（1）如图1所示：连接OD．
∵BC与圆O相切，
∴OD⊥BC．
∴∠ODB=90°．
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB．
∴OD∥AC．
∴∠ODA=∠DAC．
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠OAD=∠DAC．
∴AD平分∠BAC．
（2）如图2所示：连接ED．
∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，
∴AE=10，∠EDA=90°．
∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC=，
∴AD=×10=4．
∴DC=×4=4，AC=×4=8．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴，即，解得：BD=．
24．（13分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC 上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．
（1）如图1，当BD=2时，AN=，NM与AB的位置关系是垂直；
（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，
∴CD=2，
∴AD==2，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=2，
∵N为ED的中点，
∴AN=DE=，
∵M为AB的中点，
∴AM=AB=2，
∵=，==，
∴，
∵∠CAB=∠DAN=45°，
∴∠CAD=∠MAN，
∴△ACD∽△AMN，
∴∠AMN=∠C=90°，
∴MN⊥AB，
故答案为：，垂直；
（2）①补全图形如图2所示，
②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，
理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠CAN+∠NAM=45°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵N为ED的中点，
∴，AN⊥DE，
∴∠CAN+∠DAC=45°，
∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，
同理=，
∴，
∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN，
∴△ANM∽△ADC，
∴∠AMN=∠ACD，
∵D在BC的延长线上，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，
∴∠AMN=90°，
∴MN⊥AB；
（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，
在△ADK与△ABE中，
，
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4，MB=2，
∴MG=2，
∵∠G=90°，
∴ME≥MG，
∴当ME=MG时，ME的值最小，
∴ME=BE=2，
∴DK=BE=2，
∵CK=BC=4，
∴CD=2，
∴BD=6，
∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．
25．（13分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y=x﹣1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y=2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．
【解答】解：（1）∵函数y=x﹣1，令y=x，则x﹣1=x，无解；
∴函数y=x﹣1没有不变值；
∵函数y=，令y=x，则x=，解得：x=±1，
∴函数y=的不变值为±1，q=1﹣（﹣1）=2，
∵函数y=x2，令y=x，则x=x2，解得：x1=0，x2=1，
∴函数y=x2的不变值为：0或1，q=1﹣0=1；
（2）①函数y=2x2﹣bx，令y=x，则x=2x2﹣bx，
整理得：x（2x﹣b﹣1）=0，
∵q=0，
∴x=0且2x﹣b﹣1=0，
解得：b=﹣1；
②由①知：x（2x﹣b﹣1）=0，
∴x=0或2x﹣b﹣1=0，
解得：x1=0，x2=，
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2，
∴1﹣0≤q≤2﹣0，
∴1≤q≤2；
（3）∵记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．
∴函数G的图象关于x=m对称，
∴G：y=，
∵当x2﹣2x=x时，x3=0，x4=3；
当（2m ﹣x ）2﹣2（2m ﹣x ）=x 时，△=1+8m ， 当△＜0，即m ＜﹣时，q=x 4﹣x 3=3； 当△≥0，即m ≥﹣时，x 5=，x 6=， ①当﹣≤m ≤0时，x 3=0，x 4=3，
∴x 6＜0，
∴x 4﹣x 6＞3（不符合题意，舍去）； ②∵当x 5=x 4时，m=1，当x 6=x 3时，m=3； 当0＜m ＜1时，x 3=0（舍去），x 4=3， 此时0＜x 5＜x 4，x 6＜0，q=x 4﹣x 6＞3（舍去）； 当1≤m ≤3时，x 3=0（舍去），x 4=3， 此时0＜x 5＜x 4，x 6＞0，q=x 4﹣x 6＜3； 当m ＞3时，x 3=0（舍去），x 4=3（舍去）， 此时x 5＞3，x 6＜0，q=x 5﹣x 6＞3（舍去）； 综上所述：m 的取值范围为1≤m ≤
3或m ＜﹣
．。