双曲线的标准方程(1)
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F1
o
常数=2a 常数
F2
x
3.列式．|MF1| 列式． 列式
小 结 结 束
- |MF2|= ±2a _ (x-c)2 + y2 = + 2a
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简. 4.化简. 化简
y
动 画 音 乐
(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = ±2a
2）当a＞c＞0时，动点 的轨迹是什么？ ） 的轨迹是什么？ ＞ ＞ 时 动点M的轨迹是什么 动点M的轨迹不存在 的轨迹不存在. 动点 的轨迹不存在 若常数a=0,轨迹是什么? a=0,轨迹是什么 3）若常数a=0,轨迹是什么? 线段F 线段F1F2的垂直平分线 4）当0＜a＜c时，动点 的轨迹是什么？ ） 的轨迹是什么？ ＜ ＜ 时 动点M的轨迹是什么 双曲线
1
与双曲线x =15的焦点相同 与双曲线x2-15y2=15的焦点相同 • 变式:上题的椭圆与双曲线的一个 变式: 交点为P 交点为P，求|PF1|
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小结回顾
动 画 音 乐
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|） （ ）
y
M
M F2
y
图象
F ( ±c,0)
2
y x + 2 =1 2 a b
F(0, ± c)
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？ 什么叫做椭圆 椭圆？
动 画 音 乐
平面内与 两定点 1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和 两定点F 等于常数2a 等于常数 ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹 的点的轨迹.
9
16
思考：如将“绝对值”去掉，应该是怎样的结论？ 思考：如将“绝对值”去掉，应该是怎样的结论？
动 画 音 乐
例2，如果方程
表示双曲线， 表示双曲线，求m的范围
x2 y2 − =1 2+ m m +1
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解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1 2+m)(m+1)>0， m<m>变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 的范围。 求m的范围。 变式2 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时， 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时， 的范围。 求m的范围。
动 画 音 乐
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y
M
F 1
o
F 2
x
1. 什么叫做椭圆？ 什么叫做椭圆 椭圆？
动 画 音 乐
平面内与 两定点 1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和 两定点F 等于常数2a 等于常数 ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹 的点的轨迹.
Y
M (x, y)
x2 y2 − = 1 共焦点， 3.求与双曲线 3.求与双曲线 共焦点， 16 4 且过点( 的双曲线方程。 且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
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9 (4) 经过两点 3， 4 2 ， ， − 5 4
(
)
动 画 音 乐
习题2 习题 .3 (1) １，２，5, 6
2 2
动 画 音 乐
x y − 2 =1 2 a b
F1 o
2
2
y
M
y
M F2
F2
x
F1
x
y2 x2 − 2 =1 2 a b
F ( ±c, 0)
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位置： 确定焦 点F(0, ± c) 位置： 椭圆看分母大小 问题：如何判断焦点在哪个轴上？ 问题：如何判断焦点在哪个轴上？ 双曲线看系数正负
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F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y − 2 =1 2 a bx − 2 =1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
c =a +b
2 2
练习
动 画 音 乐
求适合下列条件的双曲线的标准方程 1.C=5， 1.C=5，b=3 2.焦点为（0，-6），（0，6），a=3 2.焦点为（ ），（0 ），a=3 焦点为
Y
M (x, y)
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F1 (− c , 0 )
O
F2( c , 0 ) X
2.什么叫做双曲线？ 什么叫做双曲线？ 什么叫做双曲线
动 画 音 乐
双曲线的定义 平面内与 两定点 F1、F2 的距离的___________ 的距离的 差的绝对值
F1
y
M
o
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F1 (− c , 0 )
O
F2( c , 0 ) X
动 画 音 乐
定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
图象
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F1
·· ·
2
y M oF2 x
F2 F1
2
·· ·
o
2
M x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y + 2 =1 2 a b
2 5
例3：求适合下列条件的双曲线的标准方程
动 画 音 乐
（1）a=3,b=4,焦点在x轴上 a=3,b=4,焦点在 焦点在x （2）a= 2 经过点A ），焦点在 焦点在y 5 ，经过点A（2，5），焦点在y轴上
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动 画 音 乐
• 证明椭圆
y2 x2 = + 25 9
x2 a2
− b2 =1 a > 0,b > 0) (
y2
叫做双曲线的标准方程 叫做双曲线的标准方程
动 画 音 乐
? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 焦点在 轴上的双曲线 的标准方程是： 的标准方程是：
M
y
F2
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y x − 2 =1 2 a b
2
2
x
F1
动 画 音 乐
F2
x
小于|F 常数2a (小于|F1F2|) 为____________________ 常数 的点M的轨迹 叫做双曲线。 的点 的轨迹 叫做双曲线 双曲线。 其中两个定点F 叫做双曲线 双曲线的 其中两个定点 1、F2叫做双曲线的焦点 |F1F2|=2c 叫做焦距 注意： 注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a .
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 建系. 所在的直线为 轴 线段F 动 线段 1F2的中点为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程？ 如何求这优美的曲线的方程？ 优美的曲线的方程
画
y
M
坐标系 2.设点． M（x , y）,双曲线的焦 设点． 设点 设 （ ） 双曲线的焦
音 乐
距为2c（ 距为 （c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) ）
M F1
( (x +c) + y ) = (±2a +
2 2 2
(x −c)2 + y2
)
o
2
F2
x
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cx − a = ±a (x −c) + y
2 2
2
(c − a )x − a y = a (c − a )
2 2 2 2 2 2 2 2
c2 = a2 + b2
练习：写出以下椭圆的焦点坐标 练习：
x2 1, − 16 2 y 3, − 16
y2 =1 9 2 x =1 9
x2 y2 F(± 2, − = 1 F(±5,0) 9 16 y2 x2 F(0,± 4, − = 1 F(0,±5) 9 16
动 画 音 乐
已知双曲线的焦点为F 例1, 已知双曲线的焦点为 1(-5,0),F2(5,0)，双 ， 曲线上一点P到 、 曲线上一点 到F1、F2的距离的差的绝对值等 于6，求双曲线的标准方程 ，求双曲线的标准方程.
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动 画 音 乐
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讨论： 讨论： 1）当a=c时，动点 的轨迹是什么？ 的轨迹是什么？ ） 时 动点M的轨迹是什么 动点M的轨迹是分别以点 的轨迹是分别以点F 为端点， 动点 的轨迹是分别以点 1、F2为端点， 方向指向F 外侧的两条射线． 方向指向 1F2外侧的两条射线．
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定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|） （ ）
y
M
M F2
y
图象
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F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y − 2 =1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x − 2 =1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
c =a +b
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 轴上， 所以设它的标准方程为： 所以设它的标准方程为：x 2 y 2 ∵
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a
2a = 6, 2c =10
2
−
b
2
= 1 (a > 0, b > 0)
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16 x2 y2 − =1 所以所求双曲线的标准方程为： 所以所求双曲线的标准方程为：
F1
o
常数=2a 常数
F2
x
3.列式．|MF1| 列式． 列式
小 结 结 束
- |MF2|= ±2a _ (x-c)2 + y2 = + 2a
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简. 4.化简. 化简
y
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(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = ±2a
2）当a＞c＞0时，动点 的轨迹是什么？ ） 的轨迹是什么？ ＞ ＞ 时 动点M的轨迹是什么 动点M的轨迹不存在 的轨迹不存在. 动点 的轨迹不存在 若常数a=0,轨迹是什么? a=0,轨迹是什么 3）若常数a=0,轨迹是什么? 线段F 线段F1F2的垂直平分线 4）当0＜a＜c时，动点 的轨迹是什么？ ） 的轨迹是什么？ ＜ ＜ 时 动点M的轨迹是什么 双曲线
1
与双曲线x =15的焦点相同 与双曲线x2-15y2=15的焦点相同 • 变式:上题的椭圆与双曲线的一个 变式: 交点为P 交点为P，求|PF1|
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小结回顾
动 画 音 乐
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|） （ ）
y
M
M F2
y
图象
F ( ±c,0)
2
y x + 2 =1 2 a b
F(0, ± c)
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？ 什么叫做椭圆 椭圆？
动 画 音 乐
平面内与 两定点 1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和 两定点F 等于常数2a 等于常数 ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹 的点的轨迹.
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思考：如将“绝对值”去掉，应该是怎样的结论？ 思考：如将“绝对值”去掉，应该是怎样的结论？
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例2，如果方程
表示双曲线， 表示双曲线，求m的范围
x2 y2 − =1 2+ m m +1
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解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1 2+m)(m+1)>0， m<m>变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 的范围。 求m的范围。 变式2 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时， 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时， 的范围。 求m的范围。
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y
M
F 1
o
F 2
x
1. 什么叫做椭圆？ 什么叫做椭圆 椭圆？
动 画 音 乐
平面内与 两定点 1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和 两定点F 等于常数2a 等于常数 ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹 的点的轨迹.
Y
M (x, y)
x2 y2 − = 1 共焦点， 3.求与双曲线 3.求与双曲线 共焦点， 16 4 且过点( 的双曲线方程。 且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
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9 (4) 经过两点 3， 4 2 ， ， − 5 4
(
)
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习题2 习题 .3 (1) １，２，5, 6
2 2
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x y − 2 =1 2 a b
F1 o
2
2
y
M
y
M F2
F2
x
F1
x
y2 x2 − 2 =1 2 a b
F ( ±c, 0)
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位置： 确定焦 点F(0, ± c) 位置： 椭圆看分母大小 问题：如何判断焦点在哪个轴上？ 问题：如何判断焦点在哪个轴上？ 双曲线看系数正负
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F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y − 2 =1 2 a bx − 2 =1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
c =a +b
2 2
练习
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求适合下列条件的双曲线的标准方程 1.C=5， 1.C=5，b=3 2.焦点为（0，-6），（0，6），a=3 2.焦点为（ ），（0 ），a=3 焦点为
Y
M (x, y)
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F1 (− c , 0 )
O
F2( c , 0 ) X
2.什么叫做双曲线？ 什么叫做双曲线？ 什么叫做双曲线
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双曲线的定义 平面内与 两定点 F1、F2 的距离的___________ 的距离的 差的绝对值
F1
y
M
o
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F1 (− c , 0 )
O
F2( c , 0 ) X
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定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
图象
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
·· ·
2
y M oF2 x
F2 F1
2
·· ·
o
2
M x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y + 2 =1 2 a b
2 5
例3：求适合下列条件的双曲线的标准方程
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（1）a=3,b=4,焦点在x轴上 a=3,b=4,焦点在 焦点在x （2）a= 2 经过点A ），焦点在 焦点在y 5 ，经过点A（2，5），焦点在y轴上
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• 证明椭圆
y2 x2 = + 25 9
x2 a2
− b2 =1 a > 0,b > 0) (
y2
叫做双曲线的标准方程 叫做双曲线的标准方程
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? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 焦点在 轴上的双曲线 的标准方程是： 的标准方程是：
M
y
F2
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y x − 2 =1 2 a b
2
2
x
F1
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F2
x
小于|F 常数2a (小于|F1F2|) 为____________________ 常数 的点M的轨迹 叫做双曲线。 的点 的轨迹 叫做双曲线 双曲线。 其中两个定点F 叫做双曲线 双曲线的 其中两个定点 1、F2叫做双曲线的焦点 |F1F2|=2c 叫做焦距 注意： 注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a .
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 建系. 所在的直线为 轴 线段F 动 线段 1F2的中点为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程？ 如何求这优美的曲线的方程？ 优美的曲线的方程
画
y
M
坐标系 2.设点． M（x , y）,双曲线的焦 设点． 设点 设 （ ） 双曲线的焦
音 乐
距为2c（ 距为 （c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) ）
M F1
( (x +c) + y ) = (±2a +
2 2 2
(x −c)2 + y2
)
o
2
F2
x
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cx − a = ±a (x −c) + y
2 2
2
(c − a )x − a y = a (c − a )
2 2 2 2 2 2 2 2
c2 = a2 + b2
练习：写出以下椭圆的焦点坐标 练习：
x2 1, − 16 2 y 3, − 16
y2 =1 9 2 x =1 9
x2 y2 F(± 2, − = 1 F(±5,0) 9 16 y2 x2 F(0,± 4, − = 1 F(0,±5) 9 16
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已知双曲线的焦点为F 例1, 已知双曲线的焦点为 1(-5,0),F2(5,0)，双 ， 曲线上一点P到 、 曲线上一点 到F1、F2的距离的差的绝对值等 于6，求双曲线的标准方程 ，求双曲线的标准方程.
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讨论： 讨论： 1）当a=c时，动点 的轨迹是什么？ 的轨迹是什么？ ） 时 动点M的轨迹是什么 动点M的轨迹是分别以点 的轨迹是分别以点F 为端点， 动点 的轨迹是分别以点 1、F2为端点， 方向指向F 外侧的两条射线． 方向指向 1F2外侧的两条射线．
动 画 音 乐 首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|） （ ）
y
M
M F2
y
图象
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y − 2 =1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x − 2 =1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
c =a +b
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 轴上， 所以设它的标准方程为： 所以设它的标准方程为：x 2 y 2 ∵
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a
2a = 6, 2c =10
2
−
b
2
= 1 (a > 0, b > 0)
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16 x2 y2 − =1 所以所求双曲线的标准方程为： 所以所求双曲线的标准方程为：