混凝土徐变计算分析方法

混凝土徐变计算分析方法
孙海林，叶列平，丁建彤
(清华大学土木工程系，北京，100084)
摘 要：国内外不乏桥梁工程因为混凝土的徐变而挠度过大甚至坍塌的实例。

混凝土徐变问题越来越受到研究者的关注，徐变计算理论和方法不断发展。

本文综述了各种有关徐变的计算方法（有效模量法、老化理论、流动率法等）以及现在常用的各种方法（徐变应力分析的全量方法、按龄期调整的有效模量法、积分退化核的方法、率型本构方程等），并对这些方法进行了简要评述，讨论了徐变计算的发展方向。

关键词：混凝土；徐变；叠加法；逐步计算法
尽管对混凝土收缩和徐变已经进行了几十年的实践和研究，对混凝土收缩和徐变的认识在不断提高，关于收缩和徐变对结构的影响分析、计算理论和方法在不断发展，但是预计和控制混凝土的收缩和徐变及其对结构物性能的影响仍然是十分复杂而又难以获得精确答案的问题。

国内外不乏因为混凝土的收缩和徐变影响结构使用、乃至造成工程事故的例子。

CEB调查了27座混凝土悬臂桥（大约半数是连续跨，其它跨中带铰）的变形资料，跨度从53~195米，有些桥梁在建造完成8～10年后挠度仍有明显增长趋势，甚至有两座桥的挠度从建成起到最后报告测量时间（分别是建成后的16年和20年）一直在以相同的变形速度增加[1]。

英国的Kingston桥是一座跨度为62.5+143.3+62.5m的预应力混凝土箱梁桥，主跨中央带铰，1970年建成后跨中挠度缓慢加大，至今已经超过30cm[2]。

1977年建成的太平洋上的帕劳共和国Koror–Babeldaob桥，主跨241m，是当时世界上最长的后张预应力混凝土箱形梁桥，建成后挠度不断加大，1996年加固修补3个月后桥梁倒塌[2]。

这些桥的变形过大都直接或者间接与徐变相关。

美国1978年完工的Parrots渡桥是当时美国采用轻骨料混凝土建造的净跨最长的悬臂拼装法预应力混凝土连续刚构桥Parrots渡桥，该桥在使用12年后，195m的主跨跨中下垂了约635mm[3]。

林同炎国际公司受托诊断的结果表明，实测的徐变比按照PCA和ACI-209公式的计算值大30%。

其原因主要有三方面：一是在设计和施工中采用了密封条件下测得的混凝土收缩和徐变值，而在使用中桥的箱形梁暴露在自然环境下，前者的收缩和徐变值小于后者；二是PCA和ACI-209的收缩、徐变计算模型对约2年后的收缩、徐变预测值明显偏低，且龄期越长，偏低越多；三是开裂增大挠度。

改用BP2模型并考虑开裂后，计算结果与直至3000天的实测挠度相当吻合。

近年来，超静定结构的发展与预应力混凝土大跨径桥梁的应用更促使收缩和徐变影响的分析和计算成为结构设计人员越来越关心的问题。

1.线性徐变假设的条件
混凝土是一种非线性材料，徐变是混凝土材料非线性的一种表现形式。

严格来说，应该采用非线性的徐变准则来预测混凝土结构的徐变变形。

但是目前非线性徐变理论还没有达到实用的地步，人们常常近似地认为徐变变形与其应力之间存在着线性关系，服从Boltzman叠加原理。

在下列条件下，实测结果与叠加原理（或者线性关系）非常接近：
应力的数值低于混凝土强度的40~50％左右，或者是说在工作应力范围之内；
应变值在过程中没有减小；
徐变过程没有经历显著的干燥；
在初始加载以后应力值没有大幅度增加。

与前三个条件的任何一个相比，违背最后一个条件引起的误差较小，最后一个条件在计算时通常可以忽略。

第二个条件最重要，应变递减引起的效应必须用非线性理论来处理。

在叠加原理（应力σ不大于0.5c σ，c σ是混凝土强度）和线性徐变假设条件下，总应变可表示为：
∫++=t
t d t J t J t 0)()(),(),()()(000τετστττσε (1) (1)式是一种积分型徐变定律，其中),(0τt J 为柔度函数（也称为徐变函数）
，表示从时间0τ起一直作用的单位常应力在时间t 所产生的应变（即单位应力产生的弹性应变和徐变应变之和）；)(t ε为t 时刻的总应变；)(0
t ε是与应力无关的应变（包括收缩应变和温度应变等）。

(1)式还可表达为， ∫+=t
c d t C t C t 0)(),(),()()(00ττστττσε (2) 式中，)(t c ε是为0τ时刻加载入t 时刻的徐变应变，),(0τt C 是徐变柔量（也称单位徐变、徐变度）。

徐变系数是徐变变形与弹性变形之比。

2. 经典徐变方法
最早的徐变计算方法是McMillan 于1916年提出有效模量法，后来的研究者在此基础上不断提出了几种更加复杂的方法。

这些方法基本是通过使用柔度函数的简化形式进行结构的徐变分析，如徐变率法（老化理论）、流动率法等多种方法，各种方法的徐变柔量及其优缺点可以参照表1。

随着徐变实验数据的增加和更长时间数据的提供，Bazant 和Panula 对徐变计算方法进行了系统分析，认为前面提到的几种方法总体上不如有效模量法准确，当时提出这些方法的主要目的是将徐变求解的积分方程转化为代数线性方程[4]。

随着计算机技术的进步，许多研究者也将这些方法应用到逐步计算法中去，使这些方法焕发了新的生命力。

3. 现代徐变方法
Bazant 在2001年简要总结了现代常用的三种徐变计算方法[5]：
基于龄期调整的有效模量法一步近似求解方法；
根据叠加原理的积分型徐变定律的逐步计算法；
基于Kelvin 或者Maxwell 模型的率型徐变模型（应变率方法）的逐步计算法。

目前高性能计算机非常普及，通用有限元程序广泛应用于大型结构物的设计，所采用的徐变分析基本上是基于逐步计算的有限元方法。

该方法的基本原理是把整个计算时段划分为多个时间小段，分别计算各个时段内的徐变变形和内力，并逐时段进行叠加。

每个时段内的徐变变形和内力的数值计算，根据需要，可采用矩形公式、梯形公式或抛物线型辛普森积分公式，徐变函数值可以取小段时间内的下限值、上限值或者中值。

对徐变进行分析计算，程序方面主要考虑四个因素：
数值计算速度——计算效率
准确性——计算模型的选择
计算数值稳定性——求解的稳定性
是否需要应力存储历史——计算机存储需求
其中第4个因素是目前比较关键的一个问题。

混凝土的徐变变形不但与当时的应力有关，还与应力历史有关（徐变是一种取决于应力历程的应变）。

在大型混凝土结构的计算中如何减少对应力历史的记录、压缩计算机的存储空间，是一个重要的计算技巧问题。

随着计算机技术的进步，这方面的问题慢慢将变为次要问题，但在目前阶段，这仍然是徐变计算的一个关键问题。

析是可行的，但有时候并不实际，因为每一步都需要对整个应力历程积分，在实际结构运用时将导致大量的数据存储，很不经济。

因此，现代徐变分析方法主要集中在不存储应力历史的逐步计算法，下面将简要综述一下目前使用的各种方法。

(1)AEMM法（按龄期调整的有效模量法，也称TB法）
按龄期调整的有效模量法（Age-adjusted Effective Modulus Method，即AEMM法，也称TB法）是由Trost于1967年建立的，后来Bazant进行了改进[6]。

他们将按龄期调整的有效模量法与有限单元法相结合，使得混凝土结构的徐变计算能够采用更逼近实际的有限单元法、逐步计算法。

将徐变系数1),()(),(000−=τττϕt J E t 代入(1)式得到，
ττϕτ
τστϕτσετd t d d E t E t t )],(1[)(1)],(1[)
()(0000+++=∫ (3) 为使用方便，进行如下简化，用徐变应变E t t c )
()()(0τσεε−=和徐变应力
)()()(0τσσσ−=t t c 代入(3)式则有，
ττϕτ
τσστϕτσετd t d d E E t t E t t c c c ),()(1)
(),()()(000∫++= )(),(1)(),()()(0
00∫++=t c c d t E E t t E στστϕστϕτσ (4) 从上面公式中可以看出，(4)式没有区分瞬时弹性应力和前面时段产生的徐变应力。

应用积分中值定理，得到 ),()
()(),()
()(00ξτϕσστϕτσεt E t E t t E t c c c ++= (5)
上式中，),(),(000τϕτϕττξξt t t ≤≤≤≤，即。

),(ξτϕt 可表达成),(),(0τρϕτϕξt t =，ρ是与时间t 有关的函数，称为老化系数。

因此，上式成为，
ϕστϕτστρϕστϕτσεE t t E t E t t E t c c c )(),()()],(1[)(),()()(00000+=++=
(6) 式中，)
,(100τρϕϕt E E +=定义为按龄期调整的有效模量。

Trost 利用松弛条件（应变不变时，混凝土中的应力随时间的延长而逐渐衰减的现象称为应力松弛）近似确定ρ值，1~5.0=ρ，建议取用8.0=ρ。

龄期调整有效模量法就是用老化系数来考虑混凝土老化对最终徐变值的影响，实质上是用积分中值定理将徐变计算的积分方程转化为代数方程。

按龄期调整的有效模量法用于弹性有限元程序分析时，不需要编制专门的徐变分析程序，使得有限元法很简单，并可以快速、近似地确定徐变和收缩应力。

AEMM 法在我国应用最多，尤其在桥梁工程界，国内许多论文都是基于此方法[7～10]，也有
较成熟的软件，但其整体计算精度取决于时效系数ρ。

陈永春（1981）等在上述理论基础上，提出了中值系数法，导出了考虑混凝土收缩徐变和钢筋松弛相互影响的预应力损失计算公式[11]。

AEMM 法的关键是老化系数的取值，王勋文等（1996）运用考虑龄期影响的徐变本构理论与继效流动理论相结合的方法，推导了松弛系数R （松弛系数是指松弛条件下任意时间的应力与初始弹性应力之比）与徐变系数之间的关系，得出了计算老化系数的实用公式[12]。

范立础等（1991）用AEMM 法采用位移法编写计算程序，进行了桥梁结构徐变次内力分析[13]。

(2) 结构徐变应力分析的全量方法 用ττ
τστσd d d d )()(＝代入(1)式，并用分部积分推得， ∫++=t
t d t L t E t t 0)()(),()()
()(0τεττστσε (7)
其中，τ
ττ∂∂−=),(),(t J t L 为应力脉冲记忆函数。

基于应力脉冲记忆函数的方法起初因为缺乏计算效率而很少应用，高政国(2001)等提出了混凝土结构徐变应力分析的全量方法[14]，以应力全量的形式进行徐变应力分析。

全量理论的基本原理是把荷载全部作用于结构，然后逐级调整位移，直到平衡条件得到满足。

全量法是将非线性求解问题转化为一系列线性计算过程。

他还通过使用]1)[(),()(ττϕτ−−−=t r e t C ，避免存储应力历史。

在一般的大型混凝土结构的徐变应力过程分析中，尤其是在大体积混凝土坝应力场仿真分析中应用比较好。

(3) 积分退化核方法
如果积分型徐变定律能转换为一阶微分方程组给出的率型徐变定律，就可以不要储存和应用全部应力或应变历史。

可采用近似的特殊徐变函数，即用退化积分核来代替当前积分核),(0τt J 。

用Dirichlet 级数形式表示的柔度函数曾为McHenry ，Maslov 和Arutyunyan 用过，其主要目的是想把结构问题从时间的积分方程转换为微分方程，而不是为了在逐步计算法中避免储存应力或者应变历史。

Selna 以及Bresler 和Selna 首先利用了不存储应力历史这个优点。

最普遍的退化核取Dirichlet 级数形式，表达为
()∑=−−=n i t y y i i e
a t J 1)]()([1)(),(τττ (8)
式中，)(τi a ，)(t y i 均是取决于实验的函数，n 为级数项数。

若取i i t t y τ/)(=，则(8)式变为：
()
∑=−−−=n
i t i i e a t J 1/)(1)(),(ττττ (9)
若取t T t y i i )()(φλ=，得到以下极为广泛应用的Kabir 公式，
[]
∑=−−−=n i t T i i e a t J 1))((1)(),(τφλττ (10)
式中，)(T φ是取决于温度的函数。

刘忠在博士论文中使用了公式(11)[15]：
[]
)(1)(),(1))((ττττφλb e a t J n i t T i i +−=∑=−− (11)
公式(11)相对于Kabir 公式加入)(τb 考虑了瞬时弹性和滞后弹性影响。

(4) 率型本构方程
混凝土的徐变机理虽然尚未完全弄清，但从其徐变性能上来看，可以利用流变模型进行分析和研究徐变计算方法。

徐变模型可以用两种最基本的流变模型描述：Maxwell 模型（见图1，由弹性组件和粘性组件串联而成）和Kelvin 模型（见图2，由弹性组件和粘性组件并联而成）。

用多个流变基本模型和组件组合可以得到各种徐变流变模型，如Burgers 、Hansen 、Fliigge 、Cowan 、Roll 、Powers 、Nerille 、Bjuggren 模型等。

4.结语
目前结构分析中，采用比较多的徐变分析方法是AEMM法、SSM法（逐步计算法），
而微分方程方法（如徐变率法、改进的Dischinger法、流动率法等）在实际大结构分析中，由于比较难以与有限元结合，已较少采用。

基于叠加法的逐步计算法（SSM法）是与实验最为吻合的方法。

在特大跨桥梁结构和核反应堆外壳的计算中，Bazant推荐使用这种方法。

由于需要考虑应力历史，这种方法计算量比较大。

考虑到计算机存储需求，目前研究热点是不考虑应力历史的逐步计算法，目前广泛采用的方法是在计算中采用徐变指数函数表达式，即利用指数函数的特点，建立徐变应变增量的递推公式，以避免记录应力历史，前面总结的用积分退化核的形式或者率型本构的形式，实际上都是基于指数函数的形式。

随着计算机技术的进一步发展，这个问题将不成为关键问题，基于叠加法的逐步计算法将向计算更准确的方向发展。

基于叠加法的逐步计算法基于线性徐变假设，对非线形徐变问题则需要考虑采用新的方法。

例如，刘忠通过增大因子算法，实现了不影响递推性质的非线性徐变分析，推广了递推分析方法[15]。

随着计算机技术的进步，非线性徐变理论将进一步发展。

正如ACI 209委员会1992年的报告所指出的“收缩和徐变对结构内力和变形的影响目前还无法计算得很准确，用不同的软件计算出的结果出入较大”。

目前，从收缩、徐变的数学模型到结构分析的理论和方法，国内外的学者和学术团体都在进行研究改进的工作，例如根据统计学的原理对混凝土结构的收缩、徐变问题进行“不定性”分析的研究，对于卸载时徐变恢复的非线性问题的研究等，徐变计算理论和方法将得到进一步发展。

参考文献
[1]J. L. Vitek . Long-term deflections of large prestressed concrete bridges [R] . Progress Report, CEB
Bulletin No.235 , 1997
[2]陈开利 . 帕劳共和国的桥梁倒塌事故 [J] . 国外公路，1998 18(3)：31-33
[3]Rafael Manzanarez and Miroslav Olmer . Parrotts Ferry Bridge Retrofit [R]. T.Y. Lin International, January,
1994.
[4]Milan Jirasek and Zdenek P. Bazant. Inelastic analysis of structures [M] . Wiley, 2002
[5]Z. P. Bazant . Prediction of concrete creep and shrinkage-past, present and future [J] . Nuclear Engineering
and Design 2001 203: 27–38
[6]Bazant, Z. P . Prediction of concrete creep effects using age-adjusted effective modulus method [J] . ACI
Journal, 1972 69 : 212-217
[7]彭卫、杜时贵 . 混凝土徐变效应的计算机分析 [J] . 西安公路交通大学学报, 1999 16(3) : 138-142
[8]刘忠 . 混凝土徐变收缩的递推AEMM法 [J] . 重庆交通学院学报，1994 13(5) : 31-34
[9]段明德 . 预应力混凝土桥施工仿真分析徐变计算 [J] . 铁道学报，1998 20(5) : 91-97
[10]凌知民 . 轨道交通预应力混凝土连续梁桥的徐变控制 [J] . 桥梁建设，2002 (3) : 25-28.
[11]陈永春、马国强 . 考虑混凝土收缩徐变和钢筋松弛相互影响的预应力损失的计算[J] .建筑结构学报.
1981 (6):31-45
[12]王勋文、潘家英 . 按龄期调整有效模量法中老化系数x的取值问题 [J] . 中国铁道科学，1996 17(3)：
12-23
[13]范立础、杜国华、鲍卫刚 . 桥梁结构徐变次内力分析 [J] . 同济大学学报，1991 19(1) : 23–32
[14]高政国、黄达海、赵国藩 . 混凝土结构徐变应力分析的全量方法 [J] .土木工程学报，2001 34(4) :
10~14
[15]刘忠 . 大跨径钢－砼复合桥梁的时间、几何、材料、温度非线性空间分析 [D]. 同济大学，1994
[16]Peter F.Takács . Deformations in Concrete Cantilever Bridges: Observations and Theoretical Modeling [D] .
The Norwegian University of Science and Technology, March 2002.。