(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案

第二章 年金 部分习题参考答案证明：
(1)(1)
(1)(1)(1)(1)[]()
m n
n m m n m n m n v v v v v v i i
v v i i a a i i
⌝⌝----=---=⨯
--=⨯-=⨯-证明：
n n n-t t n t t n t
t
t
t n
n
n
n
n n
n t t t
t t t t t t t t n n
a S a a v a a v a =
a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a v
iv a v v v
--+
=
+
----（1-）（1-）（
1-）（1-）
6. 解：由公式得：
m
n m+n m
v
a =a a
-711187
7
7
v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=
1=0.08299
---也即：（1+）
解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：
5
71212
0.08 0.0818
18712
1000(10.08)1000(10.08)
100037.45024 1.0839169.84
S S S -=+=+=⨯⨯=
12. 解：根据题意，有
1010
301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：
10v =1/210
301010301010301010
30101111(1)
a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)822
1800
K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: n
n a =a v a ∞∞
+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：
n n n a a Ra =R
v a 2
2
R
R ∞∞
++又由于三人所领取的年金现值相等，有:
n
n
n n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：
2
2i i 2
2
2
2
2
2
2
i i 2
2
2
10510
5
i i 22105i 2
i 21051051000=1700011==17
1=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15
escart t=f =-0.00117f
S S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）
（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。

经过试算，（1.033），（1.
2=0.000989
00.00117
1.033542
0.0009890.00117
i =2t ==%+⨯=+（）034）根据线性插值t =1.033+(1.034-1.033)因此，（-1）0.067083 6.7083
24. 设每月月末存入金额为R,利率调整后每月月末增加额为P,
根据题意：
222
2
122233101022111111331i =10%i /2=5%
i
11
i=1=10.25%=
=
210.102510.05...(1.1025 1.10251.1025...1v v v v v v R v v v -+++++++
++（）（）
（）解法（一）
解：根据题意，则半年期的实际利率为，一年期的实际利率则为：（1+
R ,令，，有
R （1+1.1025+1.1025+1.1025 1.1025）11111
11
12111
.1025)11000110001111 1.05 1.1025166.7560
v v v R R R -=+⨯=
=解得：222
2
111()i =10%i /2=5%
i
i=1=10.25%2
i=k=0.10251110.1025;n V R -=⨯+（）（）
（）解法（二）：
解：根据题意，则半年期的实际利率为，一年期的实际利率则为：（1+
），设第一次存款额为R
通过对题设的分析，发现某人在每年1月1日的投资正好构成一个首项为R ,公比为1.1025的期初付年金的等比数列的积累值，而因为，所以每年1月1日付款的等比年金积累值为：（）同211()12()()1111711110.1025 1.0511000,1110.10251110.1025 1.0511000166.7560
n n n V R V V R R R =⨯+⨯+=⨯++⨯+⨯==时，每年月日付年金的等比数列的积累值为（）根据题意，有即
（）（）解得：
26. 根据题意，按照单利计算的第二十年末的积累值为：
0.040.04
20
2110020100i+200i+300i+...+2000i =2000+100i 2
=200021000i 2840i=0.04
=1001=100=
S S ⨯⨯+⨯
+=- （1+20）20
（）解得：而按照复利计算的20年末的积累值为：
100（）（31.96920-1）3096.920（元）35.依据题意可知
该永续年金现值⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
d
)()0(..
..
n
n n
n n n
n a i a i nv i nv a a nv Ia V 或=+-=
+=∞解：依据题意，该年金为等差递增年金，第六次、第七次付款额分别为11、13，由题意第六次、第七次付款额的现值相等，可得 11v 5=13v 6
V=11/13 从而i=1/v-1=2/11
而等差递增年金现值公式为⎡⎤⎡⎤i
nv a a V n
n n -⨯+⨯=21)0(故该永续年金的现值
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
662
1]21[lim ]21[lim )0(2=+=⨯+⨯=-⨯
+⨯=∞→∞
→i
i i a a i
nv a a V n n n n
n n n
42. 根据题意，第十年年末的积累值为：
55
2
4
5
0.085
55
5 0.085
6
10001000 1.08 1.08 1.08
1.08 1.05=10001000 1.08 1.050.080.05
1.4693 1.2763=1000 5.86660 1.0811340.03
=9309.55697297.1582=16606.7151
S S +⨯⨯++
⨯-+⨯⨯⨯--⨯⨯+⨯
+ （1+0.08）（1.05+1.05
... 1.05）（1+0.08）46. 解法一：
根据题意，设每月末领取R 元，每月年金增加额为P,有：
0.0325 0.03
0.05
101015 0.03 0.03 0.05251015 0.0515a 0.03=1000000.03a a 0.03()0.05 1.03100000()0.030.05a =17.41315a =8.53020a =10.37966
a ()0R R R R P R P -⨯⨯++⨯⨯⨯=+⨯（12）
（12）（12）
（元），解得=5665.30414
元查表得：，，上式经整理为：
10
0.03 0.0325100.030.05 1.03(a a ).050.03
66.08
R P -⨯⨯=-=（12）（12）
解得：解法二：
根据题意，1112
12
01i =12[i 12[=
令（1+0.03）-1], （1+0.05）-1],设每月末领取R 元，每月年金增加额为P,有：
1
1
12
12
0010110
01 i 30010 i i 12018010
i i i 10120180180 i i 300300i =12[i 12[Ra 100000
a ()a (10.03)100000a a a (10.03)(10.03)1
a a 100000
66.08
R R P P P ---=
=+++=++++
==令（1+0.03）-1], （1+0.05）-1],解得：47. 根据题意，有
10
1
(1)()n (0)0
14
14
14
2
2
21(0)()1
1
1
14
14
2
1
2
1
1
(1)1(1)f ()(1)(1)(1)(1)1(1)(1)()84.5
2t
t
r t dr
r dr
t
t t
t
t
t t a e e t i t v dt t v dr t i dr t a dr t t dr t t δδ--+---=+⎰⎰===+=+==-=-+=-=-+=-=⎰
⎰⎰⎰
⎰
结合连续变化年金的现值公式V 则延期一年连续变化年金的现值为：
V。