概率论习题答案第3章_随机变量的数字特征

概率论习题答案第3章_随机变量的数字特征
第3章随机变量的数字特征
1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .
“They found Peking greatly changed ”
解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。

它们的字母数分别为4，5，6，7，7。

所以分布律为
5/29)77654(5
1
)(=++++=X E .
2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。

解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。

这时，字母数更多的单词更有可能被取到。

分布律为
29/175)147665544(29
1
)(=?+?+?+?=
Y E .
3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。

解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221
3
12
110222==C C C p 。

所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
)(2
1
222112290116台=?+?+?=
E 。

4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。

求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。

解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。

分布律为
得分的数学期望为
)(12
49)121110987(361)54321(61点=++++++++++=
E 。

5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。

（2）设随机变量X 的分布律为
Λ,4,3,2,1,6
}{2
2--==
=k k
k X P π，问X 的数学期望是否存在
解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!
6!
5}5{65===
=
=--X P e e X P λ
λ
λλ，因此
计算得到6=λ，即)6(~X π。

所以)(X E =6。

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
21
1
21
221
11
2
ln 61)
1(6
6)
1(}{)
1()(π
π
π=-=-==-=∑∑∑+∞
=-+∞
=-+∞
=-k k k k k k k k k k X kP X E ，因此期望存在。

（利用了11,1)1()1ln(0
≤<-+-=+∑∞
=x n x x n n
n
）（不符书上答案）
6，（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）是一个随机变量，其
概率密度为?
>=-其他,00
,9/)(3/x xe x f x ，求一天的平均耗水量。

（2）设某动物的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为
>-≤=5,25
15,
0)(2x x
x x F
求这种动物的平均寿命。

解：（1）一天的平均耗水量为
+∞
-+∞
-+∞
-+∞
-+∞
∞--=+
=-===0
3
/03/0
3/2
03/2)(2320)(39)()(x x x x e xd dx xe e d x dx e x dx x xf X E 6200
3/=+=?+∞-dx e x （百万升）。

（2）这种动物的平均寿命为
)25
1()()(5
2
5
2==
-==+∞
+∞
+∞
∞-dx x x xd x xdF X E （年）。

7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X 的概率密度为<<-=其他,
010,)1(42)(5x x x x f ，
求X 的数学期望。

解：[]--=-==+∞
∞
-1
621
5
2
)1(7)1(42)()(x d x dx x x dx x xf X E
[
][][]-+--=--=-+--=1
710
71
7
10
6
1
62
1(2)1(2)1(14)
1(7dx
x x x x xd dx x x x x =1/4。

8，设随机变量X 具有概率密度如下，求)(X E 。

≤≤-=其他,02
1),/11(2)(2x x x f 。

解：2ln 23)ln 2()/11(2)()(2
12
2
1
2
-=-=-==??+∞
∞
-x x dx x x dx x xf X E 。

9，设随机变量X 具有概率密度如下，求)(X E 。

<<-≤≤-+=其他,010,
2/)1(301,2/)1(3)(22x x x x x f 解：-++==-+∞∞-1
20
12)1(23)1(23)()(dx x x
dx x x dx x xf X E
0)1(23)1(231
2012=-+-=??dx x x
dx x x 。

（对第一个积分进行变量代换y x -=）
10，设),4(~p B X ，求数学期望)2(sin X
解：∑=-
-=4
044)1(2sin )2(sin
k k k k
p p C k X
E ππ )221)(1(4)1()1(2133
43114p p p p p p C p p C +--=-??+-??=。

（不符书上答案）11，设球的直径R 服从区间),0(a 上的均匀分布，求球体积6/3R V π=的数学期望。

解：R 的概率密度函数为≤≤=其他,
00,/1)(a x a x f ，所以
24
16)(3
3
a dr a r V E a
ππ=
=?。

12，设随机变量X 的概率密度为>=-其他,
00
,3.0)(3.0x e x f x ，另有X 的函
数??
>≤≤<=4,164
0,0,
0)(2X X X X X g ，求数学期望)]([X g E 。

解：+∞
--+∞
∞
-?+?==4
3.02
3.0163.0)()()]([dx e dx e
x dx x f x g X g E x x
)584200(9
1
2.1--=e （不符书上答案）
13，设随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，且都服从区间)1,0(上的均匀分布，记),,,m in(211n X X X Y Λ=，),,,m ax (21n n X X X Y Λ=，求)(),(1n Y E Y E 。

解：因为),2,1(n i X i Λ=的分布函数为
≥<≤<=1,110,0,
0)(x x x x x F ，所以可以求出
n Y Y ,1的分布函数为
≥<≤--<=1,110,)1(10,0)(min y y y y y F n ，
≥<≤<=1,110,0,0)(max y y y y y F n 。

n Y Y ,1的密度函数为
<<-=-其他,010,)1()(1min y y n y f n ，<<=-其他,
010,)(1max y ny y f n 。

所以n Y Y ,1的数学期望为
1
1
)1()
1()
1()()(1
1
1
1
01
min 1+=
---=-==
--+∞
∞
-n dy y n dy y n dy y ny dy y yf Y E n n n ， 1
)()(1
max +=
==
+∞
∞
-n n
dy ny dy y yf Y E n
n 。

14，设随机变量(X,Y)具有分布律
求)(),(),(XY E Y E X E ，)23(),(Y X E Y X E +-。

解：求出边缘分布律如下
2/1}{)(20
===∑=k k X kP X E ， 4/3}{)(2
===∑=k k Y kP Y E ，
14/314/311}{}{)(202
=??====∑∑==j i j Y P i X ijP XY E ，
4/128/7}{}{)()(2
02
-=-===-=-∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E ，328/84}{}{)23()23(2
02
====+=+∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E 。

15，在上题中，求)]1/([)],,[min(+X Y E Y X E 。

解：14/314/31}{}{),min()],[min(2
02
0=?====∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E ，
14/928/18}{}{1
)]1/([2
020
====+=+∑∑
==j i j Y P i X P i j
16，设随机变量具有概率密度其他
1
,10,10,
0,
24),(≤+≤≤≤≤??
=y x y x xy y x f
求)(),(),(XY E Y E X E 。

解：5/224),()(10
2
1
===
-?y
R
R ydx x
dy dxdy y x xf X E ，
5/224),()(10
2
1
===
-?y
R
R xdx y dy dxdy y x yf Y E ，15/224),()(10
22
10
===
-?y
R
dy dxdy y x xyf XY E 。

17，某工程队完成某种工程的天数X 是随机变量，具有分布律
所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=，求)(),(Y D Y E 。

解：根据题意，可得利润的分布律为
因此，
4001.020001.010003.010002.02000)(=?-?-?+?=Y E （元）16000001.0)2000(1.0)1000(3.010002.02000)(22222=?-+?-
+?+?=Y E []1440000)()()(2
2=-=Y E Y E Y D 。

18，设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为
>=-其他,
00,)()2/(2
22x e x x f x σσ
其中0>σ为常数，求)(),(),(X D X D X E 。

解：2)()(0)
2/(0
)
2/(0
)
2
22
2222π
σ
σ
σσσ=+-== =+∞
-∞+-+∞
-+∞
∞-dx e xe
dx e
x dx x xf X E x x x ，+∞-∞+-+∞
-+∞
∞
-+-==
=
)
2/(0
)
2/(20
)
2/(2
3
2
2
22 22222)()(dx
x dx e
x dx x f x X E x
x x σσσσ
20)
2/(22222σσσ=-=+∞-x e
，
[]22
2)2/2()()()(σπ-=-=X E X E X D ，σπ)2/2()(-=X D 。

（本题积分利用了2
2
/2π
=
+∞
-dx e
x ，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）19，设随机变量X 服从几何分布，其分布律为
Λ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k ，
其中10<
1)1(}{)(1
2
11
=?
=-===∑∑+∞
=-+∞
=， ?
---+=-===∑∑∑∑+∞
=-+∞=-+∞
=-+∞=1111
1
1
2
1
2
2
)1()1)(1()
1(}{)(k k k k k k k p k p k k p p k p k X P k X E p
p p p p 1
2)12(
223-=-=，所以，[]22
22111)()()(p
p
p p X E X E X D -=-=
-=。

本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。

设∑+∞=--=1
1)1()(k k p k p s ，
则p
p dp p s k k p
1
1)1()(1
1
-=--=∑?+∞
=，所以2'
1
1
)()(p
dp p s p s p
=
=?。

类似的，设∑+∞
=--+=1
1
)
1)(1()(k k p k k p S ，则经过两次积分以后可得到p
p 2
)1(-，在经过
两次求导得到32
)(p
p S =。

20，设随机变量X 具有概率密度为
<≥=+θθθθx x x k k x f k k ,
0,),;(1
其中0,0>>θk 为常数。

（1）若1>k ，求)(X E 。

（2）问当1=k 时，)(X E 是否存在（3）若2>k ，求)(X D 。

（4）问当2=k 时，)(X D 是否存在解：（1）当1>k 时，11)()(-====+∞
+∞
+∞
∞-k k dx x
k dx x
k dx x xf X E k k
k k θ
θθθθ。

（2）当1=k 时，+∞==?+∞
θ
θdx x
X E 1
)(，即)(X E 不存在。

（3），当2>k 时，2)()(2
12
2
-===??+∞
-+∞∞-k k dx x
k dx x f x X E k k θθθ，
所以，[])2()1()1(21)()()(2
2
22
2
2
--=??
---=-=k k k k k k k X E X E X D θθ。

（4）当2=k 时，+∞===??+∞
+∞∞-θθdx x
dx x f x X E 2
2
2
2)()(，所以)(X D 不存在。

21，（1）在14题中，求XY Y X Cov ρ),,(。

（2）在16题中，求XY Y X Cov ρ),,(，)(Y X D +。

（3）在第二章习题第14题中，求XY Y X Cov ρ),,(。

解：（1）根据14题中结果，得到
56/94/32/114/3)()()(),(-=?-=-=Y E X E XY E Y X Cov ；
因为7/4}{)(20
2
2
===∑=k k X P k X E ， 28/27}{)(2
22
===∑=k k Y P k Y E ，
所以[]28/9)()()(22=-=X E X E X D ，[]112/45)()()(22=-=Y E Y E Y D ， 5
5
)
()(),(-
==
Y D X D Y X Cov XY ρ。

（2）根据16题结果可得：
()75/25/215/2)()()(),(2
-=-=-=Y E X E XY E Y X Cov ；
因为 5/124),()(10
3
10
2
2
===
-?y
R
R ydx x dy dxdy y x f x X E ， 5/124),()(10
310
2
2===
-?y
R
R xdx y dy dxdy y x f y
Y E ，
所以，[]25/1)()()(22=-=X E X E X D ，[]25/1)()()(22=-=Y E Y E Y D
75/2),(2)()()(=++=+Y X Cov Y D X D Y X D ，
32)
()()
,(-==
Y D X D Y X Cov XY ρ。

（3）在第2章14题中，由以下结果
得到，14.1)(=X E ，34.1)(=Y E ，8.1)(=XY E ，9.1)(2=X E ，34.2)(2=Y E ，所以，2724.0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ；
[]6004.0)()()(2
2=-=X E X E X D ，[]5444.0)()()(2
2=-=Y E Y E Y D ,
4765.05717
.02724
.0)
()(),(==
=
Y D X D Y X Cov XY ρ.
22，设随机变量(X,Y)具有4)(,9)(==Y D X D ，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，
)43(+-Y X D 。

解：根据题意有 ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+
)()(2)()(Y D X D Y D X D XY ρ++=116)6/1(249=?-?++=。

)3,4(2)3()4()43(Y X Cov Y D X D Y X D +-++=+-
),(6)(9)(Y X Cov Y D X D -+=516)6/1(6369=?-?-+=。

23，（1）设随机变量321,,X X X 相互独立，且有1)(,0)(2==i i X E X E ，
3,2,1=i ，求[
]
2322
1)4(X X X E -。

（2）设321,,X X X 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求[]2321)2(X X X E +-。

解：（1）因为321,,X X X 相互独立，所以
[
]
]168[])4[()()4(2
33222232212322
1X X X X E X X E X E X X X E +-=-=-
][16][][8][]168[2
3322
22
3322
2X E X E X E X E X X X X E +-=+-=
171601=+-=。

（2）根据题意，可得[]3/1)()()(,2/1)(22=+==i i i i X E X D X E X E ，3,2,1=i 。

[]
]4244[)2(2331212
322212321X X X X X X X X X E X X X E -+-++=+-
]
[][4][][2][][4][][4][2331212
32
22
1X E X E X E X E X E X E X E X E X E -+-++= 2
1
1211313431=-+-++=。

24，设随机变量(X,Y)具有概率密度
其他
1
0,,
0,
1),(<<<??
=x x y y x f
验证X,Y 不相关，但X,Y 不是相互独立的。

解：因为 3/2),()(1
===
-?x
x
R
R xdy dx dxdy y x xf X E ，
0),()(10
===
-?x
x R
R ydy dx dxdy y x yf Y E ，
0),()(1
===
-?x
x
R
R xydy dx dxdy y x xyf XY E ，
所以，0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ，即，验证了X,Y 不相
关。

又因为，??
<<===??-∞
+∞-他其，,01021),()(x x dy dy y x f x f x
x
X ；
<<-<<+=
<≤<<-==-∞+∞-他其，，，他
其，，，015.015.0010101011),()(1
1
y y y y y dx y dx dx y x f y f y y
Y ，
显然，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以验证了X,Y 不是相互独立的。

25，将n 只球号）n ~1(放入n 只盒子号）n ~1(中去，一只盒子装一之球。

若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。

记X 为总的配对数，求)(X E 。

解：引入随机变量定义如下
=个盒子
个球未落入第第个盒子个球落入第第i i i i X i 01
则总的配对数∑==n
i i X X 1
，而且因为n X P i 1}1{==，所以，)1,(~n
n N X 。

故所以，11)(=?=n
n X E 。

（第3章习题解答完毕）。