广东省清远市第三中学2018届高三上学期第二次周考数学文试题 含答案

广东省清远市清城区三中高三第一学期第二次周考
数学（文）试题
（本卷满分150分，时间120分钟）
一、选择题（60分，每题5分）
1、已知全集R，集合M={x|x＞1}，N={x||x|≤2}，则（∁R M）∩N等于（）
A．（﹣2，1] B．[﹣2，1）C．[﹣2，1] D．[1，2]
2、命题，；命题，；则下列命题中真命题是（）
A．B．C．D．
3、设 a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．＜B．a2＞b2C．a﹣c＞b﹣c D．ac＞bc
4、如右图所示,程序执行后的输出结果为( )
A. B.1 C.2 D.3
5、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．B．C．D．
6、设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限C．第三象限 D.第四象限
7、已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2 B．6 C．4 D．2
8、一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）
A．抽签抽样B．分层抽样C．系统抽样D．随机抽样
9、若动直线与函数和的图象分别交于、两点，则
的最大值为（）
A. B. 2 C. D
10、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则
的表达式可以是（）
A. B.
C. D.
11、已知，记数列的前项之积为，则的值为() A．－B．－1 C.D．2
A
B
C 12、已知椭圆，过右焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于两点，的垂直
平分线交轴于
，则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（20分，每题5分）
13．抛物线2
4x y =的焦点F 到准线l 的距离为 。

14．ABC ∆的顶点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.
则cos()B C +=_______.
15．已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,
(), 3.
x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩
若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则=b
16．若关于x 的函数()222
2sin tx x t x
f x x t
+++=+（0>t ）的最大值为M ，最小值为N ，且,6=+N M ，则实数t 的值为 ．
三、解答题（70分）
17、（本题满分12分）已知等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和为n S ，且335,9a S ==.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设等比数列{}()n b n *∈N ，{}n b 的前n 项和为n T ，若0>q 且13,353==T a b ，求n T ；
（3)设1
1
+=
n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S
18、（本题满分12分）
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为x 。

在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间(]100,300对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的 经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的 经济损失为2000元； （1）试写出是()x S 的表达式：
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面
2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求证：AB PE ⊥； （3）求三棱锥P BEC -的体积.
20、（本题满分12分）
已知椭圆22
221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F
（1）求椭圆方程；
（2）过点(3,0)M 作直线与椭圆交于B A ,两点，求OAB ∆面积的最大值.
21、（本题满分12分） 已知函数()2
ln (0)a e f x x a x
+-
=+
≥
C D
E
A
B
P
（1）()x f y =在()()1,1f 的切线与直线()011=+--y x e 平行，求a 的值。

（2）不等式()a x f ≥对于0>x 的一切值恒成立，求实数a 的取值范围。

22.（本小题满分10分）
如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且BC BD 31=,CA CE 3
1
=，AD ，BE 相交
于点P.
求证：(1) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；
(2) AP ⊥CP 。

数学（文）答案：
一、选择题：CACAD ABCDA BA
二、填空题： 13、
81 14、 26
26- 15、0=b 16、3 三、解答题：
17、（1）31312532
392a a d s a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩
解得112a d =⎧⎨=⎩ （2分） 1(1)21n a a n d n ∴=+-=- （4分）
（2）由上可得，359b a ==，133=T 所以公比3q =， 从而，1
1b = （6分）
所以．1(1)1(13)1(31)1132
n n
n n b q T q -⨯-===--- （8分） (3)由（1）知，12-=n a n . ∴)1
21121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n 10分
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--++-+-=
+++=∴)121121()5131()311(2121n n b b b S n n 1
2)1211(21+=
+-=
n n
n （12分） 18、（1）()[](]()⎪⎩⎪
⎨⎧+∞∈∈-∈=,300,2000300,100,1004100,0,0x x x x x S
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A
……1分
由600200≤<S ，得250150≤<w ，频数为39，……3分
分 （3）根据以上数据得到如下列联表：
……………….8分
K 2
的观测值()2
100638227 4.575 3.84185153070
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯……………………….10分
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分
19、解：（1）因为D ，E 分别为AB ，AC 中点，
所以DE ∥BC ，
又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，
所以DE ∥平面PBC . …………………4分 （2）连结PD ，
因为DE ∥BC ，又90=∠ABC °， 所以DE AB ⊥.
又PA PB =，D 为AB 中点， 所以PD AB ⊥. 所以AB ⊥平面PDE ，
所以AB PE ⊥. …………………8分 （3）因为平面PAB ⊥平面ABC ，
有PD AB ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ，
所以1111232232P BEC P ABC V V --=
=⨯⨯⨯⨯=
…………12分
20、（1）依题意有2c =，
c a =
． 可得26a =，22b =．
故椭圆方程为22
162
x y +=．………………………4分
（2）OAB ∆面积的最大值为3 12分
21、解：（1）函数()2
ln (0)a e f x x a x
+-=+
≥的定义域为()0,+∞， 22
122
()a e x a e f x x x x
+---+'=-=， ………………………2分
(1)3f a e '=--，由题意得31a e e --=-， ………………………3分
解得2a =. …………………………4分
（2）不等式()f x a ≥对于0x >的一切值恒成立，等价于ln 20x x a e ax ++--≥对于
0x >的一切值恒成立.
记()ln 2g x x x a e ax =++--()0x >，则()ln 1g x x a '=+-. ………………6分
令()0g x '=，得1
a x e
-=，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表
∴()g x 的最小值为11()2a a g e a e e --=+--. ……………………………8分
记1()2(0)a h a a e e a -=+--≥，则1()1a h a e -'=-，令()0h a '=，得1a =. 当a 变化时，(),()h a h a '的变化情况如下表：
∴当01a ≤<时，函数()h a 在()0,1上为增函数，
1(2)1
()(0)20e e h a h e e e
--≥=--=>，即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a >，满足题意. …………10分
当12a ≤≤时，函数()h a 在[]1,2上为减函数，()()20h a h ≥=，即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a ≥，满足题意.
当2a >时，函数()h a 在()2,+∞上为减函数，()()20h a h <=，即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a <，不满足题意.
综上,所求实数a 的取值范围为[]0,2. ………………12分
22.证明：（I ）在ABC ∆中，由11
,,33
BD BC CE CA =
=知： ABD ∆≌BCE ∆，………………2分
ADB BEC ∴∠=∠即ADC BEC π∠+∠=.
所以四点,,,P D C E 共圆；………………5分 （II ）如图，连结DE .
在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=, 由正弦定理知90CED ∠=.………………8分 由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠, 所以.AP CP ⊥………………10分。