解析】北京市清华附中2019-2020学年高二居家自主学习在线检测试卷(期末考试)数学试题

2019-2020学年北京市清华附中高二第二学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1. 集合{}
22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（ ） A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】
先求出集合A ，再根据集合A 的
元素个数即可求出集合A 的子集个数. 【详解】解：∵{
}
{}221,0,1A x x =∈-<<=-Z ， ∴集合A 的子集个数为328=个， 故选：D.
【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题. 2. 函数(
)f x = ）
A. ()0,2
B. []0,2
C. ()
(),02,-∞+∞
D. (]
[),02,-∞+∞
【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】
由分母中根式内部的代数式大于0，解一元二次不等式得★★★答案★★★. 【详解】由2
20x x ->，得0x <或2x >，所以函数(
)f x =
的定义域为
()(),02,-∞+∞.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法及一元二次不等式的解法，属于基础题. 3. 在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，
所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限. 故选：B.
【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 4. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()(f x ) A. 是奇函数，且在定义域上是增函数 B. 是奇函数，且在定义域上是减函数 C. 是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数 D. 是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数 【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】
根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得()()f x f x -=-，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得()f x 为(1,1)-上的减函数；即可得★★★答案★★★．
【详解】解：根据题意，函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则有10
10x x ->⎧⎨+>⎩
，解可得11x -<<，
即()f x 的定义域为(1,1)-；
设任意(1,1)x ∈-，()(1)(1)()f x ln x ln x f x -=+--=-，则函数()f x 为奇函数； 1()(1)(1)1x f x ln x ln x ln
x -=--+=+，其导数22
()1
f x x '=-， 在区间(1,1)-上，()0f x '<，则()f x 为(1,1)-上的减函数； 故选：B ．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．
5. 已知双曲线2
21(0)x y a a
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为（ ）
B.
4
C.
2
D.
4
【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】
根据渐近线方程得出4a =，结合离心率公式求解即可. 【详解】20x y +=可化为12
y x =-
1
2
=，解得4a =
则
2e =
= 故选：A
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了双曲线性质的应用，属于中档题.
6. 已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2
，则满足条件的点P 的个数为（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】
设()00,P x y ，根据点P 到直线y x =的距离为
2
，求得22000021x y x y +-=，再由()00,x y 在圆C 上，得到()0010y x -=，取得00y =或01x =，进而求得满足条件的点的个数，得到★★★答案★★★.
【详解】设()00,P x y ，由点P 到直线y x =的
距离为
2
，得0022
x y -=
两边平方整理得到2
2
000021x y x y +-=①
因为()00,x y 在圆C 上，所以()2
2
0012x y +-=，即2
2
00021x y y +-=②
联立①②得()0010y x -= 解得00y =或01x =
当00y =时，由①②可得2
01x =，解得01x =或01x =-，即(1,0)P 或(1,0)P -
当01x =时，由①②可得2
0020y y -=，解得00y =或02y =，即(1,0)P 或()1,2P
综上，满足条件的点P 的个数为3个. 故选：C.
【点睛】本题主要考查了点圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为方程组解的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）
A.
2
B. 2
C. 2
D. 23【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】
根据三视图画出原图，并由此计算出最长的棱长.
【详解】由三视图画出原图如下图所示几何体A BCD -，由三视图可知平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，F 是BD 的中点，
所以AF BD ⊥，根据面面垂直的性质定理可知AF ⊥平面BCD ，且1AF =.作CE BD ⊥，交DB 的延长线于E ，根据三视图可知3CE =1BE =，1BF FD ==，
所以22112AB AD ==+=，2BD =，()
2
2312BC =
+=，
()
2
2
331223CD =+
==，()
2
2232122AC =
++=
所以最长的棱长为23CD =. 故选：D
【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
8. 已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1
()02
b a a -⋅=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】
||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和
必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-
22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛
⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
则“||||b a b =-”是“1
()02
b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C
【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题. 9. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-；
②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.
若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c <<
B. b a c <<
C. b c a <<
D.
c b a <<
【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-可得()
f x 在[]4,8上单调递增，
根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，
()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，
故a b c >>. 故选：D.
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a ，b ，c （a b c >>，且a ，b ，*c ∈N ）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A. 每场比赛的第一名得分a 为4
B. 甲至少有一场比赛获得第二名
C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名
D. 丙至少有一场比赛获得第三名 【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】
根据四场比赛总得分，结合a ，b ，c 满足的条件，可求出a ，b ，c ，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决. 【详解】∵甲最后得分为16分， ∴4a >，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则38a b +=，则384b a =-<，而*b ∈N ，则1b =，
又*c ∈N ，a b c >>，此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则28a b c ++=，则
284b c a +=-<，
由a b c >>，且a ，b ，*c ∈N 可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意； ③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则28a b c ++=，则
284b c a +=-<，
由a b c >>，且a ，b ，*c ∈N 可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意； ④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则38a c +=，此时显然5a =，1c =， 则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共35116⨯+=分， 乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5318+⨯=分， 丙的得分情况为4场第二名，则48b =，即2b =，此时符合题意. 综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名. 故选：C.
【点睛】本题考查了学生的逻辑推理能力和阅读理解能力，属于中档题.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 4
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为______. 【★★★答案★★★】24 【解析】 【分析】
先求出二项式4
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式通项公式44421441(2)()2r r r r r r
r T C x C x x ---+==，
再令420r -=，求出2r
代入运算即可得解.
【详解】解：由二项式4
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r r
r T C x C x x ---+==，
令420r -=，解得2r
，即展开式中的常数项为42
2
443
2
42421
C -⨯=⨯
=⨯， 故★★★答案★★★为24.
【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题. 12. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为______. 【★★★答案★★★】1. 【解析】 【分析】
利用抛物线的标准方程可得1p =，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果. 【详解】抛物线2
2y x =的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得1p =. 故★★★答案★★★为：1
【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.
13. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =_______；数列{}n a 的前n 项和的最小值为_____．
【★★★答案★★★】 (1). 6- (2). 20- 【解析】 【分析】
运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a 2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值． 【详解】解：等差数列{a n }的公差d 为2， 若a 1，a 3，a 4成等比数列， 可得a 32＝a 1a 4，
即有（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ）， 化为a 1d ＝﹣4d 2，
解得a 1＝﹣8，a 2＝﹣8+2＝﹣6； 数列{a n }的前n 项和S n ＝na 11
2
+n （n ﹣1）d ＝﹣8n +n （n ﹣1）＝n 2﹣9n ＝（n 92-
）2814
-， 当n ＝4或5时，S n 取得最小值﹣20． 故★★★答案★★★为：﹣6，﹣20．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．
14. 在ABC 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC 的最大内角的余弦值为_________，ABC 的面积为_______．
【★★★答案★★★】 (1). 18 (2). 【解析】 【分析】
由题意可得ABC 的最大内角为C ，再根据余弦定理即可求出cos C ，由同角的平方关系可求出sin C ，再根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵4a =，5b =，6c =， ∴ABC
最大内角为C ，其余弦值222cos 2a b c C ab
+-=
1625361
2458+-==⨯⨯， ∵0C π<<，
∴sin C ==
∴ABC 的面积in 12
s S ab C =
137452=⨯⨯⨯157=
， 故★★★答案★★★为：
18；157． 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及其应用，属于基础题．
15. 设函数()()()2log ,1
53,1x a x f x x a x a x -≥⎧=⎨--<⎩
.
①若1a =，则()f x 的最小值为______；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______. 【★★★答案★★★】 (1). 1- (2). 0a ≤或1
13
a ≤<. 【解析】 【分析】
①代入a 的值，求出()f x 在各个区间的最小值即可判断；
②通过讨论a 的范围，再讨论1≥x 和1x <时的零点情况，即可求出满足()f x 恰有2个零点的a 的范围
.
【详解】解：①若1a =，1≥x 时，()2log 1f x x =-，()f x 在[)1,+∞上单调递增，()f x 的
最小值是()11f =-，
1x <时，()()()()()2
2
513543525f x x x x x x =--=-+=--，()f x 在(),1-∞上单
调递减，()()1f x f >， 故()f x 的最小值为1-.
②当0a >时，1≥x 时，()2log f x x a =-在[1,)+∞上单调递增，
所以min ()(1)0f x f a ==-<，此时()2log f x x a =-在[1,)+∞有1个零点，
此时，要使()f x 恰有2个零点，则只需1x <时，()()()53f x x a x a =--有1个零点即可，
所以131
a a <⎧⎨≥⎩，解得113a ≤<，又0a >，所以113a ≤<；
当0a =时，()f x 恰有2个零点，符合题意；
当0a <时，1≥x 时，()5log f x x a =-，()f x 单调递增，()()10f x f a ≥=->，()f x 在[)1,+∞没有零点，
要使()f x 恰有2个零点，则只需1x <时，()()()53f x x a x a =--有2个零点即可， 所以31a a <<，所以0a <；
综上，若()f x 恰有2个零点，则0a ≤或
1
13a ≤<， 故★★★答案★★★为：①1-；②0a ≤或1
13
a ≤<.
【点睛】本题主要考查分段函数最值的求法及已知零点个数求参数范围问题，同时考查分类讨论和数形结合的数学数学，属于难题.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数()2
sin22cos f x a x x =+，且满足()f x 的图象过点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. （1）求函数()f x 的解析式及最小正周期； （2）若函数()f x 在区间,12m π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数m 的取值范围. 【★★★答案★★★】（1）()2sin 216f x x π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭；最小正周期π；（2）,6π⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 【解析】 【分析】 （1）由06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
列式求得a 值，代入函数解析式，再由辅助角公式化简求得，函数的解析式，再利用最小正周期公式求解； （2）由（1）知()2sin 216f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭，根据函数()f x 在区间,12m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，由26
2
m π
π
+
≥
求解.
【详解】（1）由题意，233sin 2cos 206364f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 解得3a =
.
∴()2
3sin 22cos f x x x =+，
3sin 2cos 21x x =++，
2sin 216x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，
()f x 的最小正周期22
T π
π=
=； （2）∵函数()f x 在区间,12m π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，
所以26
2
m π
π
+
≥
，解得6
m π
≥
.
∴实数m 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角恒等变换的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，
13AC BC CC ===，113
AE AA =
，111
3C F CC =.
（1）求证：//CE 面11A FB ；
（2）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值；
（3）求二面角11A FB A --的余弦值. 【★★★答案★★★】（1）证明见解析；（2
）11
；（3
. 【解析】 【分析】
（1）易证四边形1A ECF 为平行四边形，推出1//A F CE ，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由题可知，11C A ，11C B ，和1C C 两两垂直，于是以1C 为原点，11C A ，11C B ，和1C C 分别为x 、y 和z 轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面11A FB 的法向量m ，设直线1AC 与面11A FB 所成的角为α，则1sin |cos ,|m C A α=<>，再根据空间向量数量积的坐标运算进行求解即可；
（3）在（2）的基础上，根据法向量的性质求出平面1AFB 的法向量n ，从而得
cos ,||||
m n
m n m n <>=
，再由二面角与法向量夹角的关系即可得解．
【详解】解：（1）证明：
113
AE AA =
，111
3C F CC =，1A E CF ∴=，
又1//A E CF ，∴四边形1A ECF 为平行四边形，1//A F CE ∴，
1A F ⊂面11A FB ，1A F ⊂面11A FB ，//CE ∴面11A FB ．
（2）
1CC ⊥底面ABC ，111CC C A ∴⊥，111CC C B ⊥，
BC AC ⊥，1111C B C A ∴⊥，
于是以1C 为原点，11C A ，11C B ，和1C C 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则1(0C ，0，0)，1(3A ，0，0)，(3A ，0，3)，1(0B ，3，0)，(0F ，0，1)，
∴1(3C A =，0，3)，1(3A F =-，0，1)，11(3A B =-，3，0)，
设平面11A FB 的法向量为(m x =，y ，)z ，则111·0·0m A F m A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即30330x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，
令1x =，则1y =，3z =，∴(1m =，1，3)， 设直线1AC 与面11A FB 所成的角为α，则
111
222
sin |cos ,||
|11||||1132
m C A m C A m C A α=<>===⨯．
故直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值为
22211
．
（3）由（2）可知，(3AF =-，0，2)-，1(3AB =-，3，3)-，
设平面1AFB 的法向量为
1(n x =，1y ，1)z ，则1·
0·0n AF n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即111113203330x z x y z --=⎧⎨-+-=⎩， 令12x =，则11y =-，13z =-，∴(2n =，1-，3)-，
4154
cos ,||||771411
m n m n m n ∴<>=
==-
⨯． 由题可知，二面角11A FB A --为锐二面角， 故二面角11A FB A --的余弦值为
154
77
． 【点睛】本题考查空间线面的位置关系、线面角和二面角的求法，熟练运用线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理，以及利用空间向量解决线面角和二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18. 某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40
名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，
[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得
到跳绳成绩的折线图（如图）.
（1）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”.已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（2）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，记X 表示在抽取的2名学生中体育成绩在[)60,70的学生人数，求X 的分布列：
（3）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N .当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值.（结论不要求证明） （注：()()(
)
222
2
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=-+-+-⎢⎥⎣
⎦
，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均
数）
【★★★答案★★★】（1）325；（2）★★★答案★★★见解析；（3）a ，b ，c 的值为79，84，90或79，85，90.
【解析】 【分析】
（1）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有13
100032540
⨯
=； （2）根据求离散型随机变量分布列的步骤，确定X 取不同值时的概率，列表对应，列出X 的分布列，根据数学期望公式，代入数值求解即可；
（3）由方差的运算公式，可以得当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，a ，b ，c 的值为70，80，100.
【详解】解：（1）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，
所以该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有
13
100032540
⨯
=． （2）由题可知，跳绳成绩在[60，70)的样本学生有2人，在[80，90)的样本学生有3人，
X 表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70)的学生人数，X 取值为0，1，2．
23253(0)10
C P X C ===，
1123253
(1)5C C P X C ===，
22251
(2)10
C P X C ===，
随机变量X 的分布列如下：
（3）甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[70，80)，[80，90)，[90，100]三组中，其中a ，b ，c N ∈．
当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，a ，b ，c 的值为79，84，90或79，85，90．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，右焦点为()1,0F ，O 为坐标原
点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线:1l x ty =+（0t ≠）交椭圆C 于A 、B 两点，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ，求OFB △与FAM △面积之差的绝对值的最大值.
【★★★答案★★★】(1)2212x y +=；
(2)
4
. 【解析】 【分析】
(1)由椭圆的离心率及右焦点的坐标和,,a b c 之间的关系求出,a b 的值，进而求出椭圆的方程；
(2)设,A B 的坐标，由题意可得D 的坐标，进而求出直线AD 的方程，令0y =，求出M 的横坐标为定值，再由面积公式求出OFB △与FAM △面积之差的绝对值的表达式，由均值不等式可得其最大值. 【详解】(1)
由题意可得2
c e a =
=
，1c =
，解得a =222211b a c =-=-=， 所以椭圆的方程为2
212
x y +=；
(2)11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)D x y -，不妨设10y >，20y <，
联立直线l 与椭圆的方程可得2
2221x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，整理可得()22
2210t y ty ++-=，则
124
22t y y t +=-
+，12
21
2y y t =-+，
又直线AD 的方程为12
1112
()y y y y x x x x +-=--，
令0y =，得
112122111221121212
()(1)(1)
y x x y x y x y ty y ty x x y y y y y y --++++=
+==
+++21212
12
2
1
2221222t ty y y y t t y y t -⋅
+++=
=
+=-++， 所以直线AD 恒过定点()2,0M ， 所以
1212111
|||||||()|||222
AFM
OFB S S MF y OF y y y -=⋅-⋅-=+△△2
12||1222||||
t t t t =⨯=+
+4≤
=
， 当且仅当
2
||||
t t =
，即t =时，等号成立， 所以OFB △与FAM △
. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合和三角形面积的求法，同时考查根与系数的关系及基本不等式的应用，属于中档题. 20. 已知函数()()2
ln 21f x x ax a x =+-+.
（1）当1a =-时，求证：()f x 恰有1个零点；
（2）若()f x 存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围. 【★★★答案★★★】（1）证明见解析；（2）151,,22⎛
⎫⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）先求导，根据导数和函数最值得关系求出最值，即可判断；
（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =-时，函数()2
ln f x x x x =-+的定义域为(0,)+∞,
可得()()()421112121x x x x f x x x x x
+--++'=-+==-
， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以当1x =时，函数取得最大值，最大值()()max 10f x f ==， 所以函数()f x 恰有1个零点.
（2）由函数()()3
ln 21f x x ax a x =+-+，其中(0,)x ∈+∞，
可得()()22
12(21)1(21)(1)321ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=+-+==
， ①当0a ≤时，令()0f x '=，解的1x =， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以当1x =时，函数取得极大值，极大值为()110f a =--<，解得1a >-， 所以10a -<≤.
②当0a >时，令()0f x '=，解的1x =或1
2x a
=， 若
112a
>时，即1
02a <<时，
当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1
12x a
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当1
2x a
>
时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 即函数()f x 在区间1(0,1),(
,)2a
+∞上单调递增，在1
(1,)2a 单调递减， 当1x =时，函数取得极大值，极大值为()110f a =--<，解得1a >-，
所以102
a <<； 若
112a
=时，即1
2a =时，可得()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，函数无极值；
若1
12a <时，即12
a >时， 当1
02x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；
当1
12x a
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 即函数()f x 在区间1(0,),(1,)2a
+∞上单调递增，在1
(,1)2a 单调递减，
当1
2x a
=
时，函数取得极大值， 极大值为()()11111ln 12ln 21022424f x f a a a a a a a ⎛⎫==+-+⨯=---< ⎪⎝⎭
极大值恒成立， 所以1
2
a >
. 综上所述，函数()f x 存在极大值，且极大值小于0，则a 的取值范围为111,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的综合应用，其中解答中熟记导数与函数间的关系，着重考查导数的应用，以及分类讨论思想，属于中档试题.
21. 设有穷数列A ：1a ，2a ，……，n a （3n ≥）满足*
i a ∈N （1i =，2，……，n ）且
12n a a a <<<，将2n C 个i j a a +（1i j n ≤<≤）的值从小到大排列，记作数列B .
(1)对数列:A 1,3,5,7,9，直接写出数列B ；
(2)若数列A 为等差数列，且数列B 的所有项之和为100，求所有满足条件的数列A ； (3)若存在数列A 使得数列B 为等差数列，求项数n 的所有可能值.
【★★★答案★★★】(1) 数列:B 4，6，8，8，10，10，12，12，14，16；(2) :A 1,3,5,7,9；(3)见解析 【解析】 【分析】
（1）直接列举即可；
（2）由数列B 的总和为数A 总和的1n -倍，然后根据n 为整数，解不定方程即可；
（3）通过列举得方式3n =和4n =可以使得B 为等差数列，然后通过反证法，得到当n 大于等于5时中间有两项相等，从而得到矛盾结论.
【详解】(1)数列:B 4，6，8，8，10，10，12，12，14，16.
(2)设数列A 有n 项，易知数列B 中2n C 个i j a a +中A 每一项出现1n -次，
即数列B 的和为数列A 和的1n -倍，所以数列A 的所有项之和为1001
n -，即12100=
1n a a a n +++-， 又数列A 为等差数列，所以
1()10021n n a a n +=-， 所以1n -的取值必须为100的因数，又*i a ∈N (1i =，2，……，n )且12n a a a <<
<， 当3n =时，131003a a *+=
∉N ，不符合题意； 当4n =时，14753a a *+=
∉N ，不符合题意； 当5n =时，1510a a *+=∈N ，此时:A 1,3,5,7,9；
当6n =时，16203
a a *+=∉N ，不符合题意； 当7n ≥时，1()10021
n n a a n +>-方程整数解，不符合题意. 综上：所有满足条件的数列A 为1,3,5,7,9. (3)由题意知3n =时，数列:A 1,2,3，则:3,4,5B 成立； 4n =时，数列:1,2,3,5A ，则:3,4,5,6,7,8B 成立； 当5n ≥时，假设B 为等差数列，讨论如下： 情况1：112b a a =+，213b a a =+，314b a a =+，，1045b a a =+， 可解得517a a d =+，414a a d =+，313a a d =+，则3415a a a a +=+矛盾，不符合题意； 情况2：112b a a =+，213b a a =+，323b a a =+，，1045b a a =+，
可解得516a a d =+，414a a d =+，312a a d =+，则与3415a a a a +=+矛盾，不符合题意；
综上，n 可取得值为3,4.
【点睛】本题主要考查等差数列的概念及性质，等差数列前n 项和公式，同时考查分类讨论的数学思想即分析问题解决问题的能力，属于难题.
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