2021年湖北省荆州市松滋街河市镇中学高二数学理测试题含解析

2021年湖北省荆州市松滋街河市镇中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若a=b或a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
略
2. 已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足．若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；
③；④中有可能成立的个数
为
（）
A．①②B．②③C．③④D．①③
参考答案：
D
3. ，则( )
A． B． C． D．
参考答案：
B 4. 若函数不存在极值点，下列对a值判断正确的是（）A．不存在B．存在唯一的一个 C. 恰好两个D．存在无数多个
参考答案：
B
5. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）
A．13 B．35 C．49
D． 63
参考答案：
C
6. 在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形
1 3 6
10 15
则第个三角形数为( )
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
7. 设随机变量，若，则( )
A. B. C. 1 D. 2
参考答案：
B
【分析】
根据，可以求出的值，利用二项分布的方差公式直接求出的值.
【详解】解:，解得，，故选B. 【点睛】本题考查了二项分布的方差公式，考查了数学运算能力.
8. 设直线x-y+3=0与圆相交于A、B两点，则弦AB的长为（）
A．2 B．C．2 D．4
参考答案：
A
略
9. 已知数列，，，且，则数列的第五项为（）A．B．C．D．
参考答案：
D
略
10. 若上是减函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结
束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．参考答案：
0.18
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
12. 在等比数列中, 若是方程的两根，则--=___________.
参考答案：
-2
略
13. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积
是▲．
参考答案：
略
14. 一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为
36π，那么该三棱柱的体
积是．
参考答案：
162
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据球的体积得出球的半径，由球与棱柱相切可知棱柱的高为球的直径，棱柱底面三角形的内切圆为球的大圆，从而计算出棱柱的底面边长和高．
【解答】解：设球的半径为r，则=36π，解得r=3．
∵球与正三棱柱的三个侧面相切，
∴球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆，
∴棱柱底面正三角形的边长为2=6．
∵球与棱柱的两底面相切，
∴棱柱的高为2r=6．
∴三棱柱的体积V==162．
故答案为162．
15. 直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx 所围成图形的面积为．
参考答案：
2
【考点】67：定积分．
【分析】直接利用定积分公式求解即可．
【解答】解：直线x=，x=，
y=0及曲线y=cosx 所围成图形的面积为： =
（﹣sinx）=1+1=2．
故答案为：2．
16. 已知是一次函数，满足,则________。

参考答案：
17. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱
锥外接球的表面积为_____
参考答案：
16π
【分析】
以，，为棱构造一个长方体，则长方体外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，则所求外接
球半径即为长方体体对角线的一半，利用勾股定理求解得到半径，代入球的表面积公式求得结果.
【详解】如图所示，，，两两互相垂直
以，，为棱构造一个长方体
则这个长方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球
长方体外接球半径R为其体对角线长的一半
此三棱锥外接球的表面积：
本题正确结果：16π
【点睛】本题考查多面体外接球的表面积求解问题，关键是能够根据两两互相垂直的关系构造出长方
体，将问题转变为求解长方体外接球的问题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 本小题满分10分）
（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）解方程：．
参考答案：
解：（Ⅰ）=5×5×4×3＋4×4×3……… 4分
=348 ……… 5分（Ⅱ）……… 7分
∴2 x=1 或 2 x +1=5 ………9分
x=（舍）或x=2 故方程得解为x=2 ……… 10分
略
19. 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，，，点M为棱AE 的中点.
（1）求证：平面BMD∥平面EFC；
（2）若DE⊥平面ABCD，求二面角A-EF-C的余弦值.
参考答案：
（1）证明：连接交于，连接。

为正方形是的中点
又是的中点在中，
又且四边形是平行四边形
平面平面
分
（2）以为空间坐标系原点，分别为轴，建立空间直角坐标
…………6分
设平面的一个法向量为
令…………8分
同理求得平面的一个法向量
…………11分
由观察知二面角的平面角为锐角
二面角的余弦值为。

分
20. 标准正态总体的函数为
（1）证明是偶函数；
（2）求的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明的增减性。

参考答案：
（1）
21. 给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．
【分析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立?a=0或?0≤a＜4；（2分）
关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根?△=1﹣4a≥0?a≤；…（4分）
p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…
如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞
∴＜a＜4；…（6分）
如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤
∴a＜0…（7分）
所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．
22. 设S是不等式x2﹣x﹣6≤0的解集，整数m、n∈S．
（1）求“m+n=0”的概率；
（2）设ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望．
参考答案：
【考点】CF：几何概型；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）根据题意首先求出不等式的解集，进而根据题意写出所有的基本事件．
（2）根据所给的集合中的元素并且结合题意，列举出所有满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到概率，即可得到离散型随机变量m的分布列，进而求出其期望
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，即S={x|﹣2≤x≤3}，
由于整数m，n∈S共有6×6=36个有序实数对，满足m+n=0，所以A包含的基本事件为（﹣2，2），（2，﹣2），（﹣1，1），（1，﹣1），（0，0）共有5个，
由古典概型的公式得到m+n=0”的概率为：．
（2）由于m的所有不同取值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
所以ξ=m2的所有不同取值为0，1，4，9，
且有P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=4）=，P（ξ=9）=，
故ξ的分布列为
所以Eξ=0×+1×+4×+9×=．。