高考数学复习点拨 常见椭圆中的错例分析

椭圆中的常见错例分析
椭圆作为圆锥曲线的一种，在解决与之相关的问题时，常因概念不清、思路不严谨而出现种种错误.下面就学生常见的几种错误作以归纳,并对此进行剖析,供同学们学习时参考.
一、对椭圆的定义理解不清楚
例1 平面内一点M 到两定点F 1(0,－5)、F 2(0,5)的距离之和为10,则M 点的轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 错解:根据椭圆的定义, M 点的轨迹为椭圆,故选A.
剖析: 在椭圆的定义中, 点M 到两定点F 1、F 2的距离之和必须大于两定点的距离,即
1212MF MF F F +>,亦即22a c >.而本题中1212MF MF F F +=,所以,点M 的轨
迹不为椭圆,而是线段F 1F 2.
正解:因为点M 到两定点F 1、F 2的距离之和为│F 1F 2│,所以点M 的轨迹是线段F 1F 2,故选D.
二、焦点位置不清
例2 已知椭圆的焦点在坐标轴上,且过点A(5,4),离心率3
5
e =
,求此椭圆的标准方程. 错解:由题意设椭圆的标准方程为22
221x y a b +=(a>b>0),则有
222222516
135a b c a b a c ⎧+=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩
, 解之得2
250
32a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆的标准方程为
22
15032
x y +=. 剖析:题目中只说椭圆的焦点在坐标轴上,但并没有指明焦点在x 轴上还是在y 轴上,应包括两种情况.而错解只列出焦点在x 轴上的情况是不完整的,从而该解题过程是错误.
正解: (1)当椭圆的焦点在x 轴上时,设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=(a>b>0),则由题
意得
222222516
135a b c a b a c ⎧+=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩
, 解之得2
250
32a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆的标准方程为
22
15032
x y +=. (2) 当椭圆的焦点在y 轴上时,设椭圆的标准方程为22
221x y b a +=(a>b>0), 则由题意得
222222516
135b a c a b a c ⎧+=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩
, 解之得2288116
881
25a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴椭圆的标准方程为
22
188********
x y +=. 综上所述, 椭圆的标准方程为
22
15032
x y +=或2218818812516
x y +=. 三、对椭圆的标准方程理解有误 例3 求经过点A(
13,13),B(－1
2
,0)的椭圆的标准方程. 错解: 当椭圆的焦点在x 轴上时,设椭圆的标准方程为22
221x y a b +=(a>b>0),依题意得
222
11199114a b a ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,解之得 221
4
1
5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为22
11145x y +=. 同理, 当椭圆的焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为22
11145y x +=. 综上所述, 椭圆的标准方程为2211145x y +=或22
11145
y x +=.
剖析:本题解题过程看似非常完美、流畅,正确无误.但是细心的同学会发现点B(－
1
2
,0)并不在椭圆22
11145
y x +=上.事实上,上述错误的原因有两处: (1)误认为不管题目的条件如何,只要把焦点在x 轴上的椭圆标准方程中的x,y 互换,就可得到焦点在y 轴上的椭
圆标准方程;(2)忽视了a>b>0这一条件.
正解一: (1)当椭圆的焦点在x 轴上时,设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=(a>b>0),依题
意得
222
11199114a b a ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,解之得 221
4
1
5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为22
11145
x y +=. (2) 当椭圆的焦点在y 轴上时,设椭圆的标准方程为22
221x y b a +=(a>b>0), 由题意得
222
11199114a b b
⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,解之得 221
5
14a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 又∵a>b>0
∴221
514a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不合题意,应舍去.
∴椭圆的标准方程为22
11145
x y +=. 正解二: 设椭圆的标准方程为2
2
1(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠,依题意得
2
2211()()1,33
1() 1.
2m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解之得45m n =⎧⎨
=⎩. ∴椭圆的标准方程为22
11145
x y +=. 注:当椭圆的焦点位置不确定时,可分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论,但在
本题中采用了椭圆方程的一般形式,避免了分类讨论,使解答过程非常简捷,希望同学们注意该种解题方法的应用.。