北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

北京市昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末考试
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x x
C ．{}21<<x x
D ．{|01}x x <<
（2）“2a =”是“直线214
a y ax y x =-+=
-与垂直”的
A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件 （3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是
A.（0,1）
B. （1,2）
C. （2,3）
D. （3,4）
（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪
⎨⎪
⎩
0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0
y 的距离大于2的概率是
A.
413
B.
513
C.
825
D.
925
（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则
21
a a 等于
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A. 24
B. 36
C. 48
D.60
（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
A. 10+B
．10+
C. 14+
D.
14++
（8）已知函数：①2
()2f x x x =-+，②()cos(
)2
2
x f x π
π=-
，③1
2()|1|f x x =-.则以下四个命题
对已知的三个函数都能成立的是
命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数； 命题:r 1
1()22
f >
； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称
A ．命题p q 、
B ．命题q s 、
C ．命题r s 、
D ．命题p r 、
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）若
221ai i i
=-+-，其中i
是虚数单位，则实数a 的值是____________.
（10）以双曲线
2
2
19
16
x
y
-
=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准
方程是 _____.
（11）在A B C △中，若b =1c =，tan B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．
(13)在R t A B C ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是B C 的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uuu r uuu r
____________;若E 是A B 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uur
的取值范围是___________.
（14）在平面直角坐标系中，定义1
212
(,)d P Q x x y y =
-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则
① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;
② 坐标原点O 与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数
1sin cos )2sin sin
32()(2
+⋅-=
x
x x x x f .
（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42
ππ
上的最值.
O
F
E
D
C
B
A
(16) （本小题满分14分）在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为B E 的中点.
（Ⅰ）求证：D E ∥平面A C F ； （Ⅱ）求证：BD AE ^； （Ⅲ）
若,A B E =
在线段E O 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出
E G E O
的值，若不
存在，请说明理由．
（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂
乙厂
9
3 9 6 5 8 1
8 4 5 6 9 0 3
1 5 0 3
2 1 0 3
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
（18）（本小题满分13分）已知函数32
()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 离心率为
2
且抛物线2y =的
焦点是椭圆M 的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆
M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．
（20）（本小题满分14分）
已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =
（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．
G A
B
C
D
E
F
O
昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 学 试卷 参考答案（理科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）
4
（10）22(5)16x y -+=
（11） 3
（12）4 （13） 2;
[-9,9] （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，
故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分 因为1sin cos )2sin sin
32()(2
+⋅-=
x
x x x x f
2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x
=
-
π2sin(2)
6
x =-
，………………………………6分
所以()f x 的最小正周期2ππ
2T =
=．…………………7分
（II ）由 5[,],2[,],2[
,],422
6
36
x x x ππ
πππππ挝- …………..9分 当52,,()1662
x x f x πππ-==
即时取得最小值，…………….11分
当2,,()26
2
3
x x f x πππ-
==即时取得最大值.……………….13分
（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接O F .
由A B C D 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为B E 的中点，
所以O F ∥D E ………………….2分 又,,OF ACF DE
ACF 平面平面趟
y
x
所以D E ∥平面A C F ………….4分
(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^
由A B C D 是正方形可知, ,AC BD ^
又=,,AC EC C AC EC
ACE 平面，
翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分
又AE ACE 平面，Ì
所以BD AE ^…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取E O 中点G ，连接C G . 在四棱锥E A B C D -
中，,2
AB E C O AB C E =
=
=，
所以C G E O ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，
^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^
所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^.
由G 为E O 中点，得
1.2
E G E O
=…………………………………………… 14分
解法二：
由EC ABCD 底面，^且底面A B C D 建立空间直角坐标系,C DBE -
由已知,AB E =
设(0)CE a a =>，
则
(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a
,
,0),,,0),(0,,),,,).22
22
O a a BD BE a EO a a uuu r
uur
uuu r =-=-
=-设G 为线段
E O 上一点，且(01)EG
EO λλ=<<
，则,,),22
EG EO a a a λλλλuuu r uuu r ==-
,,(1)),22
CG CE EO a a a λλλuuu r uur uuu r =+=-…………………………..12分
由题意，若线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则C G BD
^uuu r uuu r
，C G BE ^uuu r uur .
所以，221(1)0,0,12
a a λλλ解得，（）
-+-==
， 故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2
E G E O
=…………………… 14分
（17）(本小题满分13分)
解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为
63.105=
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51
.10
2
=
………………..2分
（II ）ξ的取值为0，1，2，3.
3
12
555533
10
10
15(0),(1),
12
12
C C C C P P C C ξξ⋅⋅===
==
=
2
1
3
555
33
10
10
51(2),(3)12
12
C C C P P C C ξξ⋅==
=
==
=
所以ξ的分布列为
故15513
0123.12
12
12
12
2E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
的数学期望为（）……………………9分
(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”
22003
33321127()()()()()5522500
P A C C =⨯=
33112
3331181()()()()5221000
P B C C =⨯=
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().500
1000
200
P A P B +=+
=
…13分
（18）(本小题满分13分)
解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分
根据题意，(1)tan
1,321, 2.4
f a a π'==∴-+==即 …………………3分
此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===
，得
∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （II ）).32(3)(a x x x f --='
①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时
000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分
②若220,0,()0;,()0.3
3
a a a x f x x f x ''><<>>
<则当时当时
从而)(x f 在（0，
23
a ）上单调递增，在（23
a ，+)∞上单调递减.
.427
449
427
8)3
2(
)(,),0(3
3
3
max -=
-+-
==+∞∈∴a a a
a f x f x 时当 根据题
意，
3
3
440,27. 3.27
a
a a ->>∴>即 …………….............................. 13分
综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)
解：（I ）由已知抛物线的焦点为0),故设椭圆方程为
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>， 则
2
2, 2.2
c e a b ==
==由得所以椭圆M
的方程为
2
2 1.4
2
x
y
+
=……5分
（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，
则由2
2
,1.42
y kx m x y
=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
消去y 得，222(12)4240k x km x m +++-=， …………………6分
2
2
2
2
2
2
164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分
设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：
012012122
2
42,()21212km m x x x y y y k x x m k
k =+=-
=+=++=
++，
…………8分
由于点P 在椭圆M 上，所以
2
2
00
14
2x y +
=
. ……… 9分
从而
2
222
2
2
2
421(12)
(12)
k m
m
k k +
=++，化简得2
2
212m k =+，经检验满足①式.
………10分 又点O 到直线l 的距离为：
2
d =
=
==
………11分
当且仅当0k =时等号成立 ………12分
当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，
从而点P 的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l 的方程为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 .
所以点O 到直线l
的距离最小值为2
. ………13分
（20）(本小题满分14分)
解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，
所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- …………………4分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，
根据j b 的含义知1100m b +≤，
故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ，
①
当且仅当1100m b +=时取等号.
因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =， 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===
即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ …9分 （III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值. 由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L
123123
123....
M k k k M k
a a a a +++
+=++++L 下面计算()g M 的值.
123()100M g M b b b b M =++++-
1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-
233445()()()()
M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-
12312(23)()M M k k k M k k k k =-++++++++
123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100
a a a a =-+++++ ，
∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，
∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分。