2020_2021学年高二数学下学期4月周练试题4

安徽省定远县育才学校2020—2021学年高二数学下学期4月周练试题（4。

12）理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设a＝(x，2y，3)，b＝（1,1，6)，且a∥b，则x＋y等于(）
A。

错误! B.错误!C。

错误!
D．2
2．若a＝(0，1,－1）,b＝（1,1，0),且(a＋λb）⊥a,则实数λ的值是（)
A．－1 B．0 C．1 D．－2 3．若向量(1,0，z）与向量(2,1,0）的夹角的余弦值为错误!，则z等于（)
A．0 B．1 C．－1 D．2
4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1－e2，d＝3e1＋2e2＋e3（｛e1，e2，e3}为空间的一个基底）,且d＝x a＋y b＋z c，则x,y,z分别为()
A。

错误!，错误!，－1 B.错误!，错误!，1 C．－错误!，错误!，1 D。

错误!，－错误!，1
5．若直线l的方向向量为a＝（1，－1,2），平面α的法向量为u＝（－2,2，－4），则(）
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
6．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若错误!＝x 错误!＋2y 错误!＋3z 错误!，则x ＋y ＋z 等于( )
A ．1
B 。

7
6 C.错误! D 。

错误!
7．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ，E 为AA 1
的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为（ )
A.错误! B 。

错误! C.错误! D.
错误!
8．已知空间四个点A （1,1，1)，B （－4,0,2），C (－3,－1，0），D (－1，0，4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为（ )
A ．60
B ．45°
C ．30°
D ．90° 9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为（ ）
A 。

错误!
B 。

错误!
C 。

错误! D.错误!
10.如右图所示,在棱长为1的正方体ABCD －
A 1
B 1
C 1
D 1中，
E 、
F 分别为棱AA 1、BB 1的
中点，G 为
棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(）
A。

错误! B.错误!C。

错误!
D。

错误!
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
11．若a＝（2,－3,5）,b＝（－3，1，－4），则|a－2b|＝________。

12．设a＝(2,－3,1)，b＝（－1,－2,5）,d＝（1,2，－7），c ⊥a，c⊥b,且c·d＝10,则c＝________.
13．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝错误!，则点P到斜边AB的距离是________．
14．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD ＝1,且AB,AD，AA1的夹角都是60°，则错误!·错误!＝________.
11.12.
12.14。

三、解答题(本大题共4小题,共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（本小题满分12分)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．
(1)化简错误!错误!＋错误!＋错误!错误!，并在图上标出结果;
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的错误!分点，
设错误!＝α错误!＋β错误!＋γ错误!，试求α、β、γ的值．
16．(本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝2，BC＝4.求点B到平面PCD的距离．
17．(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
18．（本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1。

D 是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1。

(1)求证：CD＝C1D；
（2）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
（3）求点C到平面B1DP的距离．
1。

解析：∵a∥b，∴x＝2y＝错误!，
∴x＝错误!，y＝错误!.
∴x＋y＝错误!。

答案：B
2．解析：a＋λb＝(0，1，－1)＋(λ，λ，0)＝（λ，1＋λ，－1)，
因为（a＋λb）·a＝（λ，1＋λ，－1）·(0，1,－1)
＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0，
所以λ＝－2.
答案：D
3．解析：由题知错误!＝错误!，
错误!＝错误!，
1＝错误!，∴z＝0.
答案：A
4.解析:d＝x a＋y b＋z c＝x（e1＋e2＋e3)＋y（e1－e2－e3)＋z(e1－e2）．
∴错误!∴错误!
答案：A
5．解析：∵u＝－2a，∴u∥a，
∴l⊥α，故选B.
答案：B
6．解析：如图，
错误!＝错误!＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!－错误!，
所以x＝1,2y＝1，3z＝－1，
所以x＝1，y＝错误!，z＝－错误!，
因此x＋y＋z＝1＋错误!－错误!＝错误!.
答案：B
7．解析：以DA，DC，DD1所在直线为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，1,0），E(1,0，1)，C(0，1,0），D1（0,0,2）．
∴错误!＝（0,－1，1),错误!＝（0，－1，2）．
∴cos<错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!。

故选C。

答案：C
8．解析：设n＝（x,y，1）是平面ABC的一个法向量．∵错误!＝(－5，－1,1），错误!＝(－4，－2，－1)，
∴错误!∴错误!
∴n＝错误!。

又错误!＝（－2，－1,3）,设AD与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!，∴θ＝30°。

故选C.
答案：C
9．解析:
以点D为原点，DA,DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1，则错误!＝(－1，1，－1),错误!＝(－1,1，1）．
又可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD,又cos〈错误!，
错误!>＝错误!，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为错误!.故选B。

答案:B
10。

解析:因为A1B1∥EF，G在A1B1上，
所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF
的距离，
即是A1到D1E的距离，D1E＝错误!，
由三角形面积可得所求距离为错误!＝错误!。

故选D.
答案：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请
把正确答案填在题中横线上）
11．解析：因为a－2b＝(8，－5,13）,
所以|a－2b|＝错误!＝错误!.
答案：错误!
12．解析：设c＝（x，y，z），
根据题意得错误!
解得错误!
答案：错误!
13．解析:
以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（4，0，0)，B（0，3，0)，P错误!，
所以错误!＝(－4，3,0)，
错误!＝错误!，
所以错误!在AB上的投影长为错误!＝错误!，
所以P到AB的距离为
d＝错误!＝错误!＝3。

答案:3
14．解析：错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!·错误!＝（错误!＋错误!＋错误!）·(错误!＋错误!＋错误!）
＝(错误!＋错误!＋错误!）·(错误!－错误!＋错误!）
＝错误!·错误!－｜错误!|2＋错误!·错误!＋|错误!|2－错误!·错误!＋错误!·错误!＋
错误!·错误!－错误!·错误!＋|错误!｜2
＝2×1×cos 60°－4＋1－2×1×cos 60°＋1×2×cos 60°×2＋4＝3.
答案:3
三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．解析:
（1)如图所示，取AA1的中点E,在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，则
错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!。

(2）错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!（错误!＋错误!)＋错误!（错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。

∴α＝错误!,β＝错误!，γ＝错误!.
16．解析：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则依题意可知A（0,0,0)，B（0，2，0),C(4,2,0），D（4，0,0），P(0,0，2),
错误!＝(4，0，－2),错误!＝(0，－2,0），错误!＝(4,0，0)，
设面PCD的一个法向量为n＝（x,y，1)，
则错误!⇒错误!⇒错误!
所以面PCD的一个单位法向量为错误!＝错误!,
所以错误!＝错误!＝错误!，
则点B到平面PCD的距离为错误!.
17．解析：设正方体的棱长为1，如图所示，
以错误!,错误!，错误!为单位正交基底建立空间直角坐标系．（1)依题意，得B（1，0，0)，
E错误!，A（0,0，0），D(0，1，0),
所以错误!＝错误!，错误!＝(0，1，0)，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为AD⊥平面ABB1A1，
所以错误!是平面ABB 1A 1的一个法向量, 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为错误!。

（2）依题意，得A 1(0，0，1），错误!＝(－1,0，1），错误!＝(－1,1，错误!)，
设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，
则由n ·BA 1→＝0，n ·错误!＝0,
得错误!，
所以x ＝z ，y ＝12z .
取z ＝2，得n ＝（2，1，2）．
设F 是棱C 1D 1上的点,
则F （t,1，1）（0≤t ≤1)．
又B 1(1，0，1），所以错误!＝（t －1,1,0）， 面B 1F ⊄平面A 1BE ,
于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔错误!·n ＝0
⇔(t －1，1,0）·(2,1,2）＝0
⇔2（t －1）＋1＝0
⇔t ＝错误!⇔F 为C 1D 1的中点．
这说明在棱C1D1上存在点F使B1F∥平面A1BE。

18．解析：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0），B1（1,0，0），C1（0，1,0），B（1，0，1）．
（1)证明:设C1D＝x，∵AC∥PC1，
∴错误!＝错误!＝错误!.
由此可得D（0,1，x),P错误!.
∴错误!＝（1,0，1）,错误!＝(0，1,x）,错误!＝错误!。

设平面BA1D的一个法向量为n1＝（a，b,c），
令c＝－1，得n1＝（1，x，－1)．
∵PB1∥平面BDA1,
∴n1·错误!＝1×(－1)＋x·错误!＋(－1)×0＝0。

由此可得x＝错误!。

故CD＝C1D。

（2)由（1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝错误!.
又n2＝（1，0,0)为平面AA1D的一个法向量，
∴cos〈n1·n2〉＝错误!＝错误!＝错误!.
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为错误!. (3)∵错误!＝（1,－2，0），错误!＝错误!，
设平面B1DP的一个法向量为n3＝（a1，b1，c1)．
令c1＝1，可得n3＝错误!。

又错误!＝错误!，
∴C到平面B1DP的距离d＝错误!＝错误!.。