静电场—电场力做功和环路定理以及电势

WAB = −( EPB − EPA ) = EPA − EPB = q0 ∫
AB
q0
B
A
K K E ⋅ dl
K E
电荷在电场中一点的电势能与该电荷的电荷量、电荷所 在位置和电势能零点的选择都有关系。电势能的参考零点选 择是任意的。若选择 EPB=0 ，则A点的电势能为：
E PA = q0 ∫
B
A
K K E ⋅ dl
黄山学院教学课件
大学物理学电子教案
电势及其计算
7.4-1、2 静电场的环路定理 电势能 7.4-3 电势
复 习 7.2 电场强度通量 高斯定理
• • • • 电场线 电场强度通量 高斯定理 高斯定理应用举例
7.3 密立根测定电子电荷的实验
7.4 静电场的环路定理 电势能 电势
一、静电场力作功 一、静电场力作功
R
O
σ
x
P
K E (P)
x
均匀带电圆盘在轴线上 x 位置处的场强为 K ⎛ ⎞ K x σ E (P) = 1− ⋅i ⎜ ⎟ 2 2 2ε 0 ⎝ R +x ⎠ 无穷远处电势为零，取正向x轴为积分路径，对 x 作积分 得到 P 点的电势： ∞ σ ⎛ ⎞K K σ x 2 2 1 V (P) = ∫ i dx R x − ⋅ = + −x ⎜ ⎟ 2 2 x 2ε 2 ε 0 ⎝ 0 R +x ⎠
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才 能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 步骤： 利用电势的叠加原理 (1) 把带电体→分为无限多dq dq V = (2) 由dq → dV Q 4πε r 0 (3) 由dV → V = ∫ d V 要求电荷的分布区域是已知的； 当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的 零点；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具 体问题的性质，在场中人为选择某点为电势的零点。
2、任意带电体电场
任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系， 根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加
K K K E = E1 + E2 + …
任意点电荷系的电场力所作的功为
W = q0 ∫
L
K K K K K K E ⋅ dl = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + "
B D
C
W =v ∫
W = q0
L
K K K K q0 E ⋅ dl = q0 v ∫ E ⋅ dl
CDA
∫
K K E ⋅ dl = −
K K E ⋅ dl = q0
L
ABC
∫
K K E ⋅ dl + q0
L
ADC
∫
K K E ⋅ dl
CDA
∫
K K E ⋅ dl
A
电场力作功 与路径无关
q0
ADC
∫
E PA VA = , q0
z
E PB VB = q0
K B K EPA − EPB = ∫ E ⋅ dl = VA − VB A q0
电场中某点的电势在数值上等于放 在该点的单位正电荷的电势能 z 电场中某点的电势在数值上等于把单 位正电荷从该点移到势能为零的点时， 电场力所作的功。
VP = ∫
"0"
二、点电荷电场的电势 二、点电荷电场的电势
V =∫
∞ r
K K ∞ E ⋅ dl = ∫
r
q q dr = 2 4πε0r 4πε0r
三、电势叠加原理
1、点电荷系电场的电势
K K …，qn产生 E = ∑ Ei
电场由几个点电荷q1，q2，
dV =
正电荷的电势为正，离电荷 越远，电势越低； 负电荷的电势为负，离电荷 越远，电势越高。
W = q0 v ∫
K K E ⋅ dl = 0
ABC
∫
K K E ⋅ dl
定义：电场强度沿任意闭合路径 的线积分叫电场强度的环流。 静电场环路定理：在静电场中， 电场强度的环流为零。
v ∫
L
K K E ⋅ dl = 0
三、电势能 三、电势能
电荷在电场的一定位置上，具有 一定的能量，这种能量叫做电势能。 静电场力对电荷所作的功等于电 势能增量的负值:
P
K K E ⋅ dl
当电荷分布在有限 空间时，取无限远处的 电势能和电势为零。
2、说明
电势是标量，有正有负。 -1 z 电势的单位：伏特 1V = 1J.C 。 z 电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论计算
z
中，通常选择无穷远处的电势为零；在实际工作中，通常选择地 面的电势为零。 z 但是对于“无限大”或“无限长”的带电体，只能在有限的范围内 人为选取某点为电势的零点。
x
P
x
均匀带电圆环在轴线上 x 位置处的场强为 K K qx ⋅i E (P) = 3 2 2 2 4πε 0 ( R + x )
O
R
dq
无穷远处电势为零，取正向x轴为积分路径，对 x 作积分 得到 P 点的电势： ∞ K K qx q V (P) = ∫ i ⋅ dx = 3 2 2 x 2 2 2 R x 4 πε + 4πε 0 ( R + x ) 0
L L
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、结论
在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力 对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有 关，而与试验电荷所经过的路径无关。 静电场力是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理 二、静电场的环路定理
在静电场中，将试验电荷沿闭合路 径移到一周时，电场力所作的功为
适用于均匀带电圆盘、无限大均匀带电平面、均匀带电球壳等。 3、球壳模型 球壳电荷元 dq 激发的电势
⎧ ρ ⋅ 4π r ′2 dr ′ ，r > r ′ ⎪ 4πε 0 r K ⎪ dV (r ) = ⎨ 2 ′ ρ 4 π r dr ′ ⋅ ⎪ ，r < r′ ⎪ 4πε 0 R ⎩
适用于球对称带电球体(层) 、无限大均匀带电体等。
结论：试验电荷q0在电场中点A的电势能，在取值上等于 把它从点A移到到零电势能处的电场力所作的功。
一、电势 一、电势
1、电势
7.4 - 3 电势及其计算
比值 (EpA - EPB) / q0与q0无关，只取决于电场的性质及场点的 位置，这个比值是反映电场本身性质的物理量，称之为电势。 定义：静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电量的 比值定义为电势。
例题1
均匀带电细圆环轴线上一点的电势。
已知电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上， 求圆环的轴线上与环心相距 x 的点的电势。
x
P
x
解法一(电势叠加法)：
在圆环上取一电荷元
dq = q 2π R dl
r
R
O
V
它在场点 P 产生的电势为：
dV = dq 4πε 0 r = 4πε 0 r 2π R 1 ⋅ q dl
R
K O r P dq
r′
dr ′
在半径为 r’处取半径为 dr’的薄球壳，其所带电量为: 4π R 3 3 其在场点P处激发的电势： dq = ρ ⋅ dv = q ⋅ 4π r ′2 dr ′ = 3q 2 r ′ dr ′ 3 R
q( R 2 − r 2 ) q dr + dr = + 3 2 3 ∫ 4πε 0 R 4 R 4 r 8 R πε πε πε 0 0 0 r R qr q
另一解法：
将均匀带电球体分解为无穷多个均匀带电 球壳，对于每一个带电球壳周围的电势分布上 题已求解，这样根据叠加原理就可以算出整个 带电球体周围的电势。
2 R x2 + R2 ≈ x + 2x
P
x
R
O r dr
当x=0时
Rσ V= ≠0 2ε 0
q σ R2 1 q R2 = = V= 2 2ε 0 2 x 2ε 0 π R 2 x 4πε 0 x
场强为零处，电势不为零； 电势为零处，场强不为零。
解法二（场强积分法）
均匀带电圆盘轴线一点的场强在 前面的例题中已经求得，这种情况下 指定无穷远处的电势为零，因此只要 将场强从 P 点处开始沿 x 轴积分到无 穷远处就得到 P 点的电势。
K ⎧ q ⋅ er , 2 ⎪ K ⎪ 4πε 0 r E=⎨ K ⎪ qr ⋅ e r , 3 ⎪ ⎩ 4πε 0 R
K V r ( )=∫ 当 r > R 时，
r ∞
R
O q
R K r O
r
r>R r≤R
q dr = 2 q 4πε 0 r
∞
∞
4πε 0 r
R
K V ( r )=∫ 当 r ≤ R 时，
线分布 面分布 体分布
V = ∫∫ σ dS 4πε 0 r S
V = ∫∫∫
V
ρ dv 4πBiblioteka 0 r3、电势的计算计算电势的方法有两种： 利用电势的定义式
VA = ∫
B
A
K K E ⋅ dl + VB
步骤： (1) 先算场强，并指定电势零点; (2) 再选择合适的路径; (3) 最后对场强沿路经积分。
(
)
例题3
均匀带电球壳周围空间的电势。
已知电荷 q 均匀地分布在半径为 R 的球壳 上，求空间各点的电势。 解：由高斯定理可求出电场强度的分布
K ⎧ q ⋅ e K K ⎪ r , 2 E (r ) = ⎨ 4πε 0 r ⎪ , ⎩ 0
q O R
K O r R
V
K r
r>R r<R
∞
K 当 r > R 时， V (r ) = ∫
dq
对变量 l 沿圆周积分得场点的电势为：
V= 1 ⋅ 4πε 0 r 2π R q
v ∫ dl = 4πε r
L 0
q
=
q 4πε 0 R 2 + x 2
O
x
解法二（场强积分法）
均匀带电圆环轴线一点的场强在前面 的例题中已经求得，这种情况下指定无穷 远处的电势为零，因此只要将场强从 P 点 处开始沿 x 轴积分到无穷远处就得到 P 点 的电势。
q O
K θK K dl E rB K C K dr r ′ K er r
K rA
A
B
W =∫
rB
rA
qq0 qq0 1 1 ( − ) ⋅ dr = 2 4πε 0 rA rB 4πε 0 r
在点电荷的非匀强 电场中，电场力对试 验电荷所作的功与其 移动时起始位置与终 了位置有关，与其所 经历的路径无关。
2、连续分布电荷电场的电势
dq 4πε 0 r
dq
K K K K V = ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ E i ⋅ dl K K = ∑ ∫ E i ⋅ dl = ∑ Vi
V =∫
dq 4πε 0 r
V = ∫ λ dl 4πε 0 r L
K r
P
Q
点电荷系所激发的电场中 某点的电势，等于各点电荷单 独存在时在该点的电势的代数 和。这个结论叫做静电场的电 势叠加原理。
r
∞
q 4πε 0 r
2
dr =
q 4πε 0 r
当 r ≤ R 时，
R ∞ K V (r ) = ∫ 0 ⋅ dr + ∫ r R
q 4πε 0 r
2
dr =
q 4πε 0 R
R r
例题4
均匀带电球体的电势
已知电荷 q 均匀地分布在半径为R的球 体上，求空间各点的电势。 解：由高斯定理可求出电场强度的分布
例题2 均匀带电薄圆盘轴线上一点的电势。 已知电荷q均匀地分布在半径为R的圆盘上， 求圆盘的轴线上与盘心相距x的点的电势。 解法一(电势叠加法) ：在圆盘上半径r 处取 宽度为 dr 的圆环，其电量为dq =σ· 2πr dr ，其在场点 P 的电势为 1 σ rdr dV = σ 2π rdr = 2 2 2ε 0 x 2 + r 2 4πε 0 x + r 积分得场点 P 的电势为 R σ rdr σ V (P) = ∫ ⋅ = ( x 2 + R 2 - x) 0 2ε x 2 + r 2 2ε 0 0 当 x >> R 时
∫
电势叠加原理计算电势所采用的基本模型：
1、点电荷模型 线状电荷元 dq 激发的电势
K dV (r ) = λ dl 4πε 0 r
适用于均匀带电直线(直杆)、均匀带电细圆环、均匀带电框板等。 2、圆环模型 圆环电荷元 dq 轴线上一点激发的电势
dV ( x) =
σ ⋅ 2π rdr 4πε 0 x 2 + R 2
1、点电荷电场
点电荷 q 固定于原点O，试验电荷 q0 在 q 的电场中由A点沿任意路径ACB 到达B点，取路径微元 dl ，电场力对q0 的元功为: K K K K dW = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl K qK 1 如何计算？ E= e 4πε 0 r 2 r qq0 K K 1 1 qq0 dr dW = e dl ⋅ = 4πε 0 r 2 r 4πε 0 r 2
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差，称为电 K K 势差，也叫电压。 U = V - V = B E AB A B ∫ ⋅ dl
A
静电场中任意两点A、B之间的电势差，在数值上等 于把单位正电荷从点A移到点B时，静电场力所作的功。
WAB = q0 ∫
B
A
K K E ⋅ dl = q0U AB = q0 (VA -VB )