江西赣州十四县(市)高三下学期期中联考数学(文)试卷及答案

2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
2160A x x =->，{}26B x x =-<≤，则A B 等于（ ）
A.()2,4-
B. ()4,2--
C.()46-，
D.(]4,6
2.设复数2z i =-+（i 是虚数单位），的共轭复数为z ，则()2z z +⋅等于（ ）
B.
C.
3.已知点()3,5P -，()21Q ，，向量()21,1m λλ=-+，若PQ m ∥，则实数λ等于（ ）
A.1
13
B.113
-
C.13
D.13
-
4.已知定义在区间[]3,3-上的函数()2x f x m =+满足()26f =，在[]3,3-上随机取一个实数x ，则使得()f x 的值不小于4的概率为（ ） A.5
6
B.
12
C.13
D.
16
5.如图所示的程序框图，若输入x ，k ，b ，p 的值分别为1，2-，9，3，则输出x 的值为（ ）
A.29-
B.5-
C.7
D.19
6.设1F ，2F 是椭圆()22
21024x y b b
+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若
22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A.
1
2
7.若不等式组110x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域被直线z x y =-分成面积相等的两部分，则z 的值为
（ ） A.12
-
B.
C.1-
D.1
8.在ABC △中，2AB =
，BC =1
cos 4
A =，则A
B 边上的高等于（ ）
B.
34
D.3
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A.42
+
B.62
+
C.10
D.12
10.函数()39ln f x x x =-的图象大致是（ ）
11.设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为1x ，2x ，3
x （123x x x <<），则123x x x ++的值为（ ） A.π
B.34
π
C.
32
π
D.
54
π 12.已知函数()()231x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间()0,ln3上有极值，则实数a 的取值范围是（ ） A.1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
B.(),1-∞-
C.11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
D.()(),20,1-∞-
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()242,0
log ,04
x x x f x x x x x ⎧---≥⎪
=⎨+<⎪
+⎩，则()()2f f =
.
14.设θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 16πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ ．
15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的1
3
，第3关收税金为剩余税金的
14，第4关收税金为剩余金的15
，第5关收税金为剩余金的1
6.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 x ．
16.点P 在双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以
坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，112
OF A PF F S S △△的
值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27a =，3a 为整数，且n S 的最大值为5S . （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD AB ==，60ABC ∠=︒，将三角形ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上.
（1）求证：平面ACD ⊥平面ABD ；
（2）若点E 为AC 的中点，求三棱锥G ADE -的体积.
19.近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：
（2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受A 考官进行面试，求：
第4组至少有一名选手被考官A 面试的概率.
20.已知点()0,8H -，点P 在x 轴上，动点M 满足PH PM ⊥，且直线PM 与x 轴交于Q 点，Q 是线段PM 的中点.
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）若点F 是曲线E 的焦点，过F 的两条直线1l ，2l 关于x 轴对称，且1l 交曲线E 于A 、C 两点，2l 交曲线E 于B 、D 两点，A 、D 在第一象限，若四边形ABCD 的面积等于5
2
，求直线1l ，2l 的方程.
21.已知函数()22ln 311f x x x x =--.
（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式()()()232132f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos218ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6
π
θ=，曲线1C ，2C 相
交于A ，B 两点.
（1）求A ，B 两点的极坐标；
（2）曲线1C
与直线212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度. 23.设对于任意实数x ，不等式61x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；
（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：4329x x m --≤-.
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三数学试卷参考答案（文科）
一、选择题
1.D ∵{}
44A x x x =<->或，∴(]4,6A
B =.
2.A ∵2z i +=，∴()()2212z z i i i +⋅=--=-，∴(
)2z z +⋅3.B ()5,4PQ =-，因为PQ m ∥，所以5584λλ+=-+，解得113
λ=-
. 4.C 由()26f =，得46m +=，2m =，故()22x f x =+，由()4f x ≥得1x ≥，因此所求概率为
311
333
-=+. 5.D 程序执行过程为：1n =，2197x =-⨯+=；2n =，2795x =-⨯+=-；3n =，
()25919x =-⨯-+=；43n =>，∴终止程序，∴输出的19x =.
6.A 因为124AF AF +=，124BF BF +=， 所以2ABF △的周长为228AF BF AB ++=， 显然，当AB 最小时，22AF BF +有最大值， 而22min
2b AB b a
==，所以，285b -=，解得23b =，21c =，从而12e =-.
7.D 不等式组表示的可行域为三角形ABC ，如图所示：目标函数所在直线DE 将其可行域平行， 因为2212DEC ABC S DC S BC ==△△，
所以DC BC 设(),0D x ，
则12x -，
得1x =-
所以1z =-
8.A 设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ， 因为2c =
，a =21
104224
b b =+-⨯⨯， 化简得260b b --=，解得3b =.
又sin A =
1123222h ⨯⨯=⨯
，得h =9.B 如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥P ABCD -即为所求，
且3PA PB ==，PC PD =62
+.
10.C 当(),0x ∈-∞时，()()39ln f x x x =--，由复合函数的单调性知()()39ln f x x x =--在
(),0-∞上单调递增，所以排除A 、B 选项；当()0,x ∈+∞时，()39ln f x x x =-，
()()()2
2
319311'27x x x f x x x x -++=-=，所以函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增，
从而()min 11
1ln 3133
3f x f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，所以选C..
11.C 画出该函数的图象如图，1a ≤<时方程()f x a =恰好有三个根，且点()1,0x 和()2,0x 关于直线8
x π
=
对称，点()2,0x 和()3,0x 关于直线58x π=
对称，所以124x x π+=，2354
x x π+=，从而123322
x x x π++=
. 12.A ()()
'321x f x a e x =---，∵()0,ln3x ∈，∴30x e -<，210x --<.
当0a ≥时，()'0f x <在()0,ln3上恒成立，即函数()f x 在()0,ln3上单调递减，函数()f x 在区间()0,ln3上无极值；当0a <时，设()()
321x g x a e x =---，则()'20x g x ae =-<，()g x 在
()0,ln3上为减函数，
∵()021g a =--，()ln32ln310g =--<，∴()0210g a =-->，得1
2
a <-.
二、填空题 13.
72 ()()()3728222
f f f =-=+=.
因为θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以34sin 165πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，因此343sin sin 1616455πππθθ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦. 15.
172 第1关收税金：1
2
x ； 第2关收税金：11132623x x x ⎛⎫-== ⎪⨯⎝⎭；
第3关收税金：11114261234
x x
x ⎛⎫--== ⎪⨯⎝⎭；
……
第8关收税金：
8972
x x
=⨯. 16.1
8
因为OA a =，所以22BF a =.
又122F F c =，所以12BF b =，14PF b =， 又1AF b =， 所以
112
110.5sin 1
0.542sin 8
OF A PF F S bc F S b c F ⋅=
=⨯⨯△△.
三、解答题
17.解：（1）由27a =，3a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤， 解得132134
d -≤≤-，
因此2d =
数列{}n a 的通项公式为112n a n =-. （2）因为11222n n n n
a n
b -==
， 所以239751122222n n
n
T -=
++++
…，① 2341197511222222
n n n
T +-=++++…，② ②式减①式得，21119111112222222
n n n n T -+-⎛⎫-=-+++++ ⎪⎝⎭…，
整理得11772222
n n n
T +--=-+，
因此27
72n n
n T -=+
.
18.解：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出BD =，4BC =， 在BCD △中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上，
∴AG ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥， 又BD DC ⊥，AG
BD G =，∴CD ⊥平面ABD ，
而CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD . （2）解：因为2AD AB ==，所以ABD ADB ∠=∠， 又AD BC ∥，所以ADB CBD ∠=∠，
因为60ABC ∠=︒，所以30ABD ∠=︒，解得1AG =，
因为E 为AC 中点，三棱锥G ADE -的体积与三棱锥G CDE -的体积相等， 所以11
22
G ADE G ACD A CDG V V V ---==,
因为111232A CDG V -=⨯⨯⨯，所以12G ADE A CDG V V --==19.解：（1）第1组的频数为1000.10010⨯=人，所以①处应填的数为()1001020201040-+++=人，从而第2组的频率为
40
0.400100
=，因此②处应填的数为()10.10.40.20.10.200-+++=， 频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3、4、5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：
205250⨯=人，第4组：205250⨯=人，第5组：10
5150
⨯=人，所以第3、4、5组分别抽
取2人、2人、1人进入第二轮面试.
（3）设第3组的2位选手为1A ，2A ，第4组的2位选手为1B ，2B ，第5组的1位选手为1C ，则从这五位选手中抽取两位选手有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，
()21,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共10种.
其中第4组的2位选手1B ，2B 中至少有一位选手入选的有：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，
()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共有7种，所以第4组至少有一名选手被考官A 面试的概率为
7
10
. 20.解：（1）设(),M x y ，()0,'P y ，()',0Q x ，
()1,'PH y =--，()','PQ x y =-，∵PH PM ⊥，∴2''0x y -+=，即2''y x =， 又'2'02x
x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，代入2''y x =，得()2
02x y x =≠.
（2）由（1）知1,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线11:8l x ky =+，则218
12
x ky y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
得210216k y y -
-=，2A C k y y +=，1
16
A C y y ⋅=-， 依题意可知，四边形ABCD 是等腰梯形，
∴()()
()
()()3
2
2
22242
4
A D D A A C C A A
C A C ABC
D y y x x k k
S y y y y k y y y y +-+⎡⎤=
=--+=-+-⋅=-⎣⎦四边形，
由()315
42
k k -
+=， 即3100k k ++=，∴()()
22250k k k +-+=，∴250k k -+>，∴2k =-. ∴直线1l ，2l 的方程分别为11216y x =-+，11
216
y x =-.
21.解：（1）因为()2'611f x x x
=--，()'115f =-，()114f =-， 所以切线方程为()14151y x +=--，即151y x =-+.
（2）令()()()()()22321322ln 222g x f x a x a x x ax a x =----+=-+-+，
所以()()()222222'222ax a x g x ax a x x
-+-+=-+-=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()'0g x >，所以()g x 是()0,+∞上的递增函数， 又因为()1222340g a a a =-+-+=-+>，所以关于x 的不等式()()()232132f x a x a x ≤-+--不能恒成立，
当0a >时，()()()2
1212222'a x x ax a x a g x x x ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭==， 令()'0g x =，得1x a =，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0g x <. 因此函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是减函数，故函数()g x 的最大值为11112ln 2ln 0g a a a a a ⎛⎫=+=-≤ ⎪⎝⎭
， 令()12ln h a a a
=-， 则()h a 在()0,+∞上是减函数，
因为()110h =>，(
)1122ln 2022
h =-<-<， 所以当2a ≥时，()0h a <，所以整数a 的最小值为2.
22.解：（1）由2cos 2186ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2cos 183πρ=， 所以236ρ=，即6ρ=±.
所以A 、B 两点的极坐标为：6,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭或76,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭
同样得分. （2）由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，
将直线21
2x y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=，
整理得2280t +-=
，即12t t +=-1228t t ⋅=-， 所以
MN ==23.解：（1）∵61617x x x x ++-≥+-+=， 又61x x m ++-≥恒成立，
∴7m ≤.
（2）当m 取最大值时7m =，
原不等式等价于：435x x --≤，
等价于：4435x x x ≥⎧⎨--≤⎩或4
435
x x x <⎧⎨--≤⎩， 等价于：4x ≥或144x -≤<.
所以原不等式的解集为14x x ⎧⎫
≥-⎨⎬⎩⎭
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