学习一元二次方程应注意的几个问题

学习一元二次方程应注意的几个问题
一元二次方程是初中数学的重要内容之一，应用十分广泛。

为了帮助同学们学好这部分内容，现将
一元二次方程的考点内容归类分析，谈谈学习一元二
次方程时应注意的几个问题。

一、注意隐含条件
一元二次方程中除了隐含着二次项系数a≠0 和
一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）外，其他相关隐含条件也不能忽视。

例1 关于 x 的方程 a2x2+（2a-1）x+1=0 的两根互为倒数，求 a 的值。

错解：设已知方程的两根为α，β。

∵α与β互为倒数，
∴αβ=1，即 1a2=1。

∴ a=±1。

剖析：上述解法中忽视了隐含条件“二次项系数
a≠0”和“一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）”，因而答案错误。

正确答案应为 a=-1。

例2 已知关于 x 的方程（ 1-2a）x2+2[]a+1x-1=0
有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围。

错解：由 1-2a≠0 得 a≠12。

由=（2[]a+1）2-4（1-2a）（-1）=-4a+8>0，得a<2。

故答案为 a<2 且 a≠12。

剖析：错解中忽略了被开方数非负这个条件，即
a+1≥0，解得 a≥-1，所以正确答案为 -1≤a<2 且 a≠12。

二、注意方程“有实数根”和“有两个实数根”
的区别
方程“有实数根”说明该方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程；方程“有两个实数根”
说明该方程一定是一元二次方程。

例3 若关于 x 的方程 ax2-4x+3=0 有实数根，则 a 的非负整数值是（）
A 。

1 [WB]
B 。

0，1
C。

0，1，2[DW]D 。

1，2，3
错解：由题意，得a≠0 且=（-4）2-4×3a≥0，解得 a≤43 且 a≠0。

故选 A 。

剖析：此题应分 a=0 和 a≠0 两种情况来考虑。

（1）当 a=0 时， x=43，方程有实根。

（2）当 a≠0 时，由 =（-4）2-4×3a≥0，得 a
≤43 且 a≠0。

故 a=1。

综上可知， a 的非负整数值为0，1。

故选 B。

三、注意实际问题中方程的根有意义的条件
例4 一个三角形的最大边长是2[]3 ，其余两边是关于 x 的方程 x2+（m-3）x-m+1=0 的两个根，当 m
为何值时，这个三角形是直角三角形？
错解：设三角形两边为a，b，由题意，得
[JB（{]a+b=- （m-3），
ab=-m+1，
a2+b2=（2[]3）2，[JB） ]解得 m=5 或 m=-1。

剖析：此实际问题中，三角形的边长应为正数，
即所设两边 a，b 均应大于 0。

∴[JB（{]- （m-3）>0，
-m+1>0，[JB）]解得 m<1。

∴m=5 不符合题意，舍去。

故 m 的值是 -1。

四、注意一元二次方程两根正负性的全面考虑
例 5 已知α，β是关于 x 的方程 x2-kx+5（k-5）
=0 的两个正实数根，且满足 2α+β=7，求实数 k 的值。

错解：由 [JB（{] =（-k）2-4×5（k-5）≥ 0，
α+β=k，
2α+β=7，
αβ=5（k-5），[JB）]
解得 k1=2，k2=6。

∴实数 k 的值为 2 或 6。

剖析：错解中只考虑了表面条件，却忽略了方程
有两个正实根的限制，也就是既然两根均为正值，就应满足α+β>0 且αβ>0，即 k>0，且 5（k-5）>0，解
得 k>5。

综上可知，实数 k 的值是 6。

五、注意一元二次方程根的定义和根与系数的关
系的有机结合
例6 已知 3m2-2m-5=0，5n2+2n-3=0，其中 m，n 为实数，求 |m-1n|的值。

解：∵ 5n2+2n-3=0，显然 n≠0，
∴3（1n）2-2（1n）-5=0。

又 3m2-2m-5=0，
∴m，1n 是方程 3x2-2x-5=0 的根。

①当 m=1n 时， |m-1n|=0；
②当 m≠1n 时，解 3x2-2x-5=0，得 x1=-1，x2=53。

J2。

7mm]
∴|m-1n|=83。

由①，②得 |m-1n|的值为 0 或 83。

点评：当两个字母满足具有相同结构的一元二次
方程时，一定要注意它们相等的特殊情况。

例 7 已知 m，n 是方程 x2+2 015x+2=0 的两个根，求13[（m2+2 014m-1）（n2+2 016n+5）+11]的值。

解：∵ m， n 是方程 x2+2 015x+2=0 的两个根，
∴m2+2 015m+2=0，n2+2 015n+2=0，m+n=-2 015，mn=2。

∴m2+2 014m-1=-（m+3），n2+2 016n+5=n+3。

∴13[（m2+2 014m-1）（n2+2 015n+5）+11]=13[-（m+3）（n+3）+11]
=13{-[mn+3 （m+n）+9]+11}
=13{-[2+3 （-2 015）+9]+11}
=2 015。

点评：此题应用了两个知识点：（1）根的定义：若m，n 是方程 ax2+bx+c=0 的两根，则有
am2+bm+c=0，an2+bn+c=0；（2）根与系数关系。

二者巧妙结合使得问题得到解决。