亭湖区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

亭湖区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
πB ．2
π
C ．4
π
D ．
π
2． 已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，集合N={x|x 2﹣x ＜0}．则下列结论正确的是（
）A ．M ∩N=N B ．M ∩（∁U N ）=∅C ．M ∪N=U D ．M ⊆（∁U N ）
3． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（
）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
4． 设为数列的前项的和，且，则（ ）n S {}n a n *3
(1)()2n n S a n =-∈N n a =A ．
B ．
C ．
D ．3(32)n
n
-32n
+3n 1
32
n -⋅5． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．2
,2
x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在
x R ∈210x x ++>0x ∈ C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，”是
m n αβαβ⊥ “”的必要不充分条件
//m n 6． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为A ．0
B ．1
C ．﹣1
7． 设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（
）
A ．f （2）＞e 2f （0），f
B ．f （2）＜e 2f （0），f
C ．f （2）＞e 2f （0），f
D ．f （2）＜e 2f （0），f 8． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，）
，且a 2＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
10．下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
11．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（
）
A ．
B ．
C ．
D ．二、填空题
13．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周
期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：
①若 m=，则a 5=2；
②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=
，则数列{a n }是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
14．已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为2，
M N 、2
4y x =F MN ，则直线的方程为_________.
||||10MF NF +=MN 15．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线；
⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
16．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是
．
17．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5
，则复数ω= ．
18．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题
19．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4x 的焦点，离心率是
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得与k 的取值无
关，试求点M 的坐标．
20．已知函数f （x ）=a ﹣，
（1）若a=1，求f （0）的值；
（2）探究f （x ）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f （x ）为奇函数，判断|f （ax ）|与f （2）的大小．
21．化简：（1）．
（2）+
．
22．（本小题满分10分）选修4­1：几何证明选讲．
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .
（1）求证：CD ＝DA ；
（2）若CE ＝1，AB ＝，求DE 的长．
223．（本小题满分10分）已知函数.
()|||2|f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；3a =-()3f x ≥（2）若的解集包含，求的取值范围.
()|4|f x x ≤-[1,2]
24．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．
亭湖区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π
，所以小圆的半径为： cm ；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4
π
故选：C ．　
2． 【答案】A
【解析】解：由1﹣x ＞0，解得：x ＜1，故函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M=（﹣∞，1），由x 2﹣x ＜0，解得：0＜x ＜1，故集合N={x|x 2﹣x ＜0}=（0，1），∴M ∩N=N ，故选：A ．
【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．　
3． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4，∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋＝18（a 1＋d ）不恒为常数．
18×17d 2172
S 19＝19a 1＋＝19（a 1＋9d ）＝76，
19×18d 2
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B.4． 【答案】C
【解析】，，
1111223(1)2
3(1)2
a S a a a a ⎧
==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩1239a a =⎧⎨=⎩经代入选项检验，只有C 符合．5． 【答案】
D
6．【答案】A
【解析】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0
故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
7．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=，
∴函数的导数F′（x）==，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，
故选：B
8．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
9．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
10．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
12．【答案】C
【解析】
考点：三视图．
二、填空题
13．【答案】　①②　．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a 1=m=＜1，
所以，
＞1，
，
，∴a 5=2 故①正确；
对于②由a 3=3，若a 3=a 2﹣1=3，则a 2=4，若a 1﹣1=4，则a 1=5=m ．若
，则
．
若a 1＞1a 1=，若0＜a 1≤1则a 1=3，不合题意．所以，a 3=2时，m 即a 1的不同取值由3个．故②正确；若a 1=m=＞1，则a2=
，所a3=
＞1，a4=
故在a1=
时，数列{a n }是周期为3的周期数列，③错；
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目　
14．【答案】20
x y --=【解析】解析： 设，那么，，∴线段1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN 的中点坐标为.由，两式相减得，而
，∴(4,2)2
114y x =2
224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-12
22
y y +=，∴直线的方程为，即.
12
12
1y y x x -=-MN 24y x -=-20x y --=15．【答案】　①②④　
【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②
正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，
又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1，∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2=1，
∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
16．【答案】　4　．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
17．【答案】　±（7﹣i）　．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴
．
又ω===，|ω|=，∴
．把a=3b 代入化为b 2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±
=±（7﹣i ）．故答案为±（7﹣i ）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
　18．【答案】()
53,44--【解析】
试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >->⇒-<<-考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且a=
，…1分c=e •a=×=，
故b===，…4分
所以，椭圆E 的方程为
，即x 2+3y 2=5…6分（2）将y=k （x+1）代入方程E ：x 2+3y 2=5，得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2﹣5=0；…7分
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （m ，0），则
x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=；…8分
∴
=（x 1﹣m ，y 1）=（x 1﹣m ，k （x 1+1）），
=（x 2﹣m ，y 2）=（x 2﹣m ，k （x 2+1））；∴=（k 2+1）x 1x 2+（k 2﹣m ）（x 1+x 2）+k 2+m 2=m 2+2m ﹣﹣
，要使上式与k 无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；
∴存在点M （﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣=；
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=．
∵y=2x在R是单调递增且x1＜x2
∴0＜2x1＜2x2，∴2x1﹣2x2＜0，
2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣a+，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2），
x=±2时：|f（x）|=f（2），
﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．
【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．
21．【答案】
【解析】解　（1）原式==
==
===﹣1．
（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，tan（π+α）=tanα，
∴原式=+=+==﹣=﹣1．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE ，
∵AB 是⊙O 的直径，
AC ，DE 均为⊙O 的切线，
∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°，
∠DAE ＝∠DEA ＝∠B ，
∴DA ＝DE .
∠C ＝90°－∠B ＝90°－∠DEA ＝∠DEC ，
∴DC ＝DE ，
∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径，
∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2，
又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝，
2∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2，
∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝.
2由（1）知DE ＝CA ＝，12
22所以DE 的长为.2223．【答案】（1）或；（2）.
{|1x x ≤8}x ≥[3,0]-【解析】
试
题解析：（1）当时，，当时，由得，解得；
3a =-25,2()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩
2x ≤()3f x ≥253x -+≥1x ≤当时，，无解；当时，由得，解得，∴的解集为23x <<()3f x ≥3x ≥()3f x ≥253x -≥8x ≥()3f x ≥或.
{|1x x ≤8}x ≥（2），当时，，
()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+[1,2]x ∈|||4|422x a x x x +≤-=-+-=∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.22a x a --≤≤-21a --≤22a -≥30a -≤≤[3,0]-考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.
24．【答案】
【解析】解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊆平面ABCD ，∴PA ⊥CD
∵AD ⊥CD ，PA 、AD 是平面PAD 内的相交直线，∴CD ⊥平面PAD
∵CD ⊆平面PDC ，
∴平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）取AD 中点O ，连接EO ，
∵△PAD 中，EO 是中位线，∴EO ∥PA
∵PA ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，
∵AC ⊆平面ABCD ，∴EO ⊥AC
过O 作OF ⊥AC 于F ，连接EF ，则
∵EO 、OF 是平面OEF 内的相交直线，
∴AC ⊥平面OEF ，所以EF ⊥AC
∴∠EFO 就是二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt △ADC 中，设AC 边上的高为h ，则AD ×DC=AC ×h ，得h=
∵O 是AD 的中点，∴OF=×
=∵EO=1，∴Rt △EOF 中，EF=
=
∴cos ∠
EFO=
=
【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．。