湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学第二次月考试题文(含解析)

湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学第二次月考试题 文（含解析）
一：选择题。

1.己知集合{}
23M x x =-<<，{
N x y ==，则M N =I （ ）
A. ()2,-+∞
B. [)1,3
C. (]2,1--
D. ()2,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
解出集合N ，再利用集合的交集运算律得出M N ⋂.
【详解】{
{}{}101N x y x x x x ===-≥=≥Q ，因此，[)1,3M N =I ，故选：
B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是交集运算律的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
2.设x ∈R ，则“220x x +->”是“15x <<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
解出不等式220x x +->，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系. 【详解】解不等式220x x +->，得2x <-或1x >，{
}15x x <<Q 是{}
21x x x -或的真子集，
因此，“220x x +->”是“15x <<”的必要不充分条件，故选：B.
【点睛】本题考查必要条件的判定，一般转化为集合间的包含关系来判断，具体关系如下： （1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；
（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；
（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的
既不充分也不必要条件.
3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. ()22x
x
f x -=-
B. ()2
1f x x =-
C. ()12
log f x x =
D. ()sin f x x x =
【答案】B 【解析】 【分析】
分析各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.
【详解】对于A 选项，函数()y f x =的定义域为R ，()()22x
x f x f x --=-=-，该函数为
奇函数，不合乎题意；
对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，()()()2
211f x x x f x -=--=-=，该函数为
偶函数，且该函数在()0,∞+上单调递增，合乎题意；
对于C 选项，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，不合乎题意； 对于D 选项，函数()y f x =的定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，由于()()20f f ππ==，所以，该函数在()0,∞+上不可能为增函数，不合乎题
意.故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查函数单调性与奇偶性定义的应用，属于中等题.
4.设,x y R ∈，向量(,2),(3,y),a x b ==r r (1,1)c =-r ，且,//,a c b c ⊥r r r r 则||a b +r r
等于（ ）
A. 5
B. 4
D. 【答案】C 【解析】 分析】
根据向量垂直、平行的坐标运算可求出,x y 利用向量加法求出和向量的坐标，根据模的公式计算即可.
【详解】因为,//,a c b c ⊥r r r r
所以203x y -=⎧⎨=-⎩
，
即2,3x y ==-
(2,2)(3,3)(5,1)a b +=+-=-r r
，
所以
a b +==v
v .
故选C.
【点睛】本题主要考查了向量的平行垂直的坐标运算，向量的模，属于中档题.
5.已知直线y x m =-+ 是曲线2
3ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据切线的斜率的几何意义可知000
3
|21x x y x x ='=-=-，求出切点，代入切线即可求出m . 【详解】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+， 所以000
3
|21x x y x x ='=-=-， 解得003
1,2
x x ==-
（舍去） 代入曲线2
3ln y x x =-得01y =，
所以切点为1,1（）
代入切线方程可得11m =-+，解得2m =. 故选B.
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，函数的切线方程，属于中档题.
6.函数()()2sin 0,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛⎫
=+>-<<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则2f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
（ ）
3 B. 3 C.
32
D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】
先利用函数()y f x =的图象求出函数()y f x =的解析式，然后由解析式结合诱导公式计算出2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期T 满足3
534
1234
T πππ⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭，则T π=， 222T ππ
ωπ
∴=
==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭Q ，得5sin 16πϕ⎛
⎫
+=
⎪⎝
⎭
. 2
2
π
π
ϕ-
<<
Q ，43
3π
πϕ∴
<<
，562ππϕ∴+
=，3ϕπ∴=-，()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭. 因此，2sin 22sin 2sin 322333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯-=-==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数()()()sin 0f x A x b ωϕω=++>的解析式，基本步骤如下：
（1）先求振幅A 与b ：()()max min
2
f x f x A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求频率ω：2T
πω=
； （3）求初相ϕ：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.
7.要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需()sin 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象（ ） A. 向左平移
2
π
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B. 向左平移
2π
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变） C. 向左平移
4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的1
2
倍（横坐标不变） D. 向左平移4
π
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数()y f x =的解析式化为()52sin 26
f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.
【详解】()2cos 22sin 22sin 233243f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=+
=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦Q ， 因此，将函数()sin 23g x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭的图象向左平移
4
π
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数()2cos 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：
（1）左右平移指的是在自变量x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.
8.函数()2sin 1
x
f x x =
+的图象大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 利用排除法：
由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项
CD 错误；
当2
x π
=时，22sin
12021142f π
πππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，选项B 错误， 本题选择A 选项.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
9.已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且在R 上是连续函数，且当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+>成立，即()()0.2
0.2
3
3a f =⋅，()()ln 2ln 2b f =⋅，
3311log log 99c f ⎛
⎫⎛
⎫=⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A. a b c >>
B. c b a >>
C. c a b >>
D.
a c
b >>
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()()g x xf x =，判断出该函数的奇偶性与单调性，由()0.2
3
a g =，()ln 2
b g =，
()31log 29c g g ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭，并比较0.23、ln 2、2-的大小关系，结合函数()y g x =的单调性
可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】()()f x f x =-Q ，则函数()y f x =为偶函数， 构造函数()()g x xf x =，则函数()y g x =为奇函数， 当(),0x ∈-∞时，()()()0g x f x xf x ''=+>， 则函数()y g x =在(),0-∞上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数()y g x =在()0,∞+上也为增函数，
由于函数()y f x =在R 上是连续函数，则函数()y g x =在R 上也是连续函数， 由此可知，函数()y g x =在R 上为增函数，
且()0.2
3a g =，()ln 2b g =，()31log 29c g g ⎛⎫==- ⎪⎝
⎭，
由中间值法可知0.231ln 202>>>>-，则()()()0.2
3ln 22g g g >>-，
因此，a b c >>，故选：A.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题，考查函数值大小的关系，解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系，难点在于构造新函数，考查函数思想的应用，属于中等题.
10.已知函数()()()4101
x
f x a x x x =-+
>+若曲线上存在不同的两点A 、B 使得曲线()f x 在A 、B 处的切线垂直，则a 的取值范围是（ ）
A. ()1,+∞
B. ()3,1-
C. (11--
D.
()
1-
【答案】C 【解析】 【分析】
求出函数()y f x =的导数，求出()y f x '=在()0,∞+上的值域()1,3a a -+，将问题转化为
()()131a a -+<-，解出该不等式可得出结果.
【详解】()()411
x f x a x x =-++Q ，()()()24
11f x a x '∴=-++，
易知，函数()y f x '=在()0,∞+上单调递减，当0x >时，则()
2
4
041x <
<+，
所以，()()
2
4
1131a a a x -<-+
<++，函数()y f x '=在()0,∞+上的值域()1,3a a -+，
由于曲线()y f x =上存在不同的两点A 、B 使得曲线()y f x =在A 、B 处的切线垂直，
所以，()()131a a -+<-，整理得2220a a +-<，解得11a -<<-+
因此，实数a 的取值范围是(11---，故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直关系的转化，解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解，考查化归与转化思想，属于难题.
11.定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，且当[0,1)x ∈时，()ln()1x x
f x e x =+
+，则函数1()()4
g x f x x =+，在区间[6,6]-上的零点个数是( ) A. 4 B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用抽象函数的性质求出函数的对称中心及函数的周期，利用数形结合判断函数交点个数，得到零点个数.
【详解】由()(2)0f x f x +-=,令1x =，则(1)0f =， 又()(2)0f x f x +-=，
所以()f x 的图象关于点(1,0)对称， 又()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()(2)(2)f x f x f x =--=-，
()f x ∴是周期为2的函数，
当[0,1]x ∈时，1()ln()ln(1)11
x
x x f x e e x x =+=-+++为增函数， 画出()f x 及1
4
y x =-
在[0,6]上的函数图象如图所示：
经计算，结合函数图象易知，函数()f x 的图象与直线1
4
y x =-在[0,6]上有3个不同的交点，由函数是奇函数知，函数1
()()4
g x f x x =+在区间[6,6]-上的零点个数是5个. 故选B.
【点睛】本题主要考查了函数零点个数的判断，抽象函数的性质，数形结合思想及运算，属于难题.
12.若存在唯一的正整数0x ，使得不等式20x x
ax a e
-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2
4
(0,
)3e B. 241(,)3e e C. 1(0,)e D. 241[,)3e e
【答案】D 【解析】 【分析】
由20x x
ax a e
--=可得2(1)x x a e x =+，令2()(1)x
x h x e x =+，利用导数判断出()h x 在(0,1)上有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数0x 使不等式成立，即可求出a 的范围.
【详解】由20x x
ax a e
--=可得2(1)x x a e x =+，令2()(0)(1)x
x h x x e x =>+, 则22
222()(1)x x x h x e x --+'=+，令()0h x '=,
得12
x -+=，
1(0,1)2
-+∈，(0)0,(1)0h h ''><， 所以函数在(0,1)上有唯一极大值点，在[1,)+∞上是减函数， 因为214(1),(2)3h h e e
=
= 所以要使不等式存在唯一的正整数0x ，需241
3a e e
≤< 故选D.
【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关的特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了计算能力，属于中档题.
二：填空题。

13.已知函数f (x )＝22,0
10
x x log x x ⎧≤⎨->⎩，，则f (f (－2))＝________.
【答案】3 【解析】
【详解】∵f (x )＝22,0
10
x x log x x ⎧≤⎨->⎩，，
∴f (－2)=
14，∴f (f (－2))＝f (14
)=21
134log -=
故答案为：3
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出f (－2) 的值，进而得到f (f (－2))的值.
14.若函数()1sin 223f x x p 骣÷ç=
-÷ç÷ç桫，0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的最小值是_______.
【答案】【解析】 【分析】 由0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
计算出23x π-的取值范围，再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最小值.
【详解】04x π≤≤Q ，2336x πππ
∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上单调递
增，
因此，函数()y f x =的最小值为()110sin 23224f π⎛
⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
故答案为：4
-
. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，解题时要求出对象角的取值范围，结合正弦函数的图象得出最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
15.已知0x >，0y >，且3x y xy +=，若2
3t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是________. 【答案】()4,3-. 【解析】 【分析】
在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得到
311x y +=，将代数式3x y +和31
x y
+相乘，展开后利用基本不等式求出3x y +的最小值12，由题意得出()2
min 312t t x y +<+=，解出该不等式即可得出实数t 的取值范围.
【详解】0x Q >，
0y >，且3x y xy +=，在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得311x y
+=， 由基本不等式得(
)319336612x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭
，
当且仅当3x y =时，等号成立，所以，3x y +的最小值为12，
由于不等式23t t x y +<+恒成立，则()2
min 312t t x y +<+=，即2120t t +-<，
解得43t -<<，因此，实数t
的取值范围是()4,3-，故答案为：()4,3-.
【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上
的
两个函数，若函数()()y f x g x =-在
[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称
为“关联区间”.若()ln f x x x =-与()2
g x m x
=-+在[]1,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】113ln 2,ln 33⎛
⎤-- ⎥⎝⎦
. 【解析】 【分析】
令()()0f x g x -=，可得出2
ln m x x x
=-+
，将问题转化为直线y m =与函数()2
ln h x x x x
=-+在区间[]1,3上的图象有两个交点，求实数m 的取值范围，然后利用导数
分析函数()y h x =的单调性与极值以及端点函数值，可得出实数m 的取值范围. 【详解】令()()0f x g x -=，得2ln 0x x m x -+
-=，得2ln m x x x =-+. 问题等价于直线y m =与曲线()2
ln h x x x x
=-+在区间[]1,3上的图象有两个交点，求实数
m 的取值范围.
()222
122
1x x h x x x x
--'=--=，令()0h x '=，得2x =. 当12x <<时，()0h x '<；当23x <<时，()0h x '>.
所以，函数()y h x =在2x =处取得极小值，亦即最小值，且()()min 23ln 2f x f ==-.
又()13f =，()11
3ln 33f =
-，且()()13f f >. 因此，当113ln 2ln 33m -<≤-时，直线y m =与函数()2
ln h x x x x
=-+在区间[]1,3上的图象有两个交点，故答案为：113ln 2,
ln 33⎛
⎤-- ⎥⎝⎦
. 【点睛】本题考查函数新定义问题，解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理，并利用参变量分离法来处理，考查化归与转化数学思想，属于难题.
三．解答题.
17.已知函数()(
)3
2
3f x ax bx
=+，在1x =时有极大值3.
（1）求a 、b 的值；
（2）求函数()f x 在[]1,3-上的最值.
【答案】（1）2a =-，3b =；（2）最大值()115f -=，最小值()381f =-. 【解析】 【分析】
（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由题意得出()()13
10f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩
，列出a 、b 的方程组，可
解出实数a 、b 的值；
（2）由（1）得出()3
2
69f x x x '=-+，利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,3-上的极值，
并与端点函数值比较大小，可得出函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值和最小值. 【详解】（1）()(
)3
2
3f x ax bx
=+Q ，()2
96f x ax
bx '∴=+，
由题意得()()1333
1960f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩
，解得23a b =-⎧⎨=⎩；
（2）由（1）知()3269f x x x =-+，则()()2
1818181f x x x x x '=-+=--.
令()0f x '=，得0x =或1x =，列表如下：
因此，函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值()115f -=，最小值()381f =-. 【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导数与极值、最值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18.已知函数()()2
2
cos sin cos f x x x x x a x R =---∈的最大值为5.
（1）求a 的值；
（2）求()f x 的最小正周期及单调递减区间.
【答案】（1）3-；（2）最小正周期为π，单调递减区间为(),
6
3k k k Z π
π
ππ⎡
⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）将函数()y f x =的解析式利用二倍角公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，利用函数()y f x =的最大值可求出实数a 的值； （2）由（1）得出()2cos 233f x x π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，利用周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期，再由()2223
k x k k Z π
πππ≤+≤+∈，解出该不等式可得出函数()y f x =的单调
递减区间.
【详解】（1）由题意可得
()
22cos sin cos cos22f x x x x x a x x a
=---=-
12cos 222cos 2cos sin 2sin 2cos 22333x x a x x a x a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以，函数()y f x =的最大值为25a -=，因此，3a =-；
（2）由（1）知，()2cos 233f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
所以，函数()y f x =的最小正周期为22
T π
π==. 由()2223
k x k k Z π
πππ≤+
≤+∈，解得()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
因此，函数()y f x =的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】本题考查三角函数的基本性质，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，并结合正、余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5c
B a
=
，11cos 14B =． （1）求角A 的大小；
（2）设BC 边的中点为D ，AD =，求ABC ∆的面积
【答案】（1）23
A π
=；（2）【解析】 【分析】
（1）由已知可求sin B 的值，由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系可求
tan A 的值，进而可求A 的值（2）由余弦定理解得c 的值，进而可求a 的值，利用三角形的
面积公式即可求解.
【详解】（1）由11cos 14B =
，得sin 14
B =，
又sin 5B c =，∴ 37a c =，
由正弦定理有
sin sin a c
A C
=得3sin 7sin A C =， ∴ 3sin 7sin()A A B =+即3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+， ∴ tan 3A =-，23
A π=
； （2）由余弦定理有222cos 74AB BD AB BD B +-=g ， 即2
2
7711
()2746
614
c c c c +-⨯
⨯=，解得6c =，∴ 14a =， ∴ 1153sin 61415322S ac B =
=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.
20.如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .
（1）证明：//OF 平面ABE ；
（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】 【分析】
（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，证明四边形OFEM 为平行四边形，可得出
//OF EM ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//OF 平面ABE ；
（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，将五面体ABCDFE 分割为三棱柱ABE GHF -和四棱锥F CDGH -，证明出AD ⊥底面ABE 和OF ⊥平面ABCD ，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体ABCDFE 的体积.
【详解】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，
Q 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =I ，O ∴为AC 的中点，
又M Q 为AB 的中点，//OM BC ∴且1
2
OM BC =
， //EF BC Q 且1
2
EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴.
OF ⊄Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ；
（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，
Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥.
Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD I 平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，
AD ∴⊥底面ABE ，
易知3EF =，32AE BE ==(2
1
3292
ABE
S ∆=⨯=，
9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，
M Q 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，
AD ⊥Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，
AB AD A =Q I ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD .
//OF EM Q ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，
1
633183
F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体.
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.
21.已知()ln f x ax x =-.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意[)1,x ∈+∞，都有()x f x a ⋅≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【解析】 【分析】
（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，对a 分0a ≤和0a >两种情况，分析()f x '在
()0,∞+上的符号，可得出函数()y f x =的单调区间；
（2）由()x f x a ⋅≥，转化为1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝
⎭，构造函数()1ln a x x x
g x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
=，且有
()10g =，问题转化为()()1g x g ≥，对函数()y g x =求导，分析函数()y g x =的单调性，
结合不等式()()1g x g ≥求出实数a 的取值范围.
【详解】（1）函数()ln f x ax x =-的定义域为()0,∞+，()11
ax f x a x x
-'=-
=. ①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '<，此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+； ②当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<
；令()0f x '>，得1
x a
>. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （2）()x f x a ⋅≥Q ，即2ln ax x x a -≥，得2ln 0ax a x x --≥， 又1x ≥，不等式两边同时除以x ，得ln 0a ax x x -
-≥，即1ln 0a x x x ⎛
⎫--≥ ⎪⎝
⎭.
易知()10g =，由题意可知()()1g x g ≥对任意的1x ≥恒成立，()22
ax x a
g x x
-+'=. ①若0a ≤，则当1x >时，1
0x x
-
>，ln 0x >，此时()0g x '<， 此时，函数()y g x =在[
)1,+∞上单调递减，则()()1g x g ≤，不合乎题意； ②若0a >，对于方程20ax x a -+=.
（i ）当2140a ∆=-≤时，即1
2
a ≥，()0g x '≥恒成立， 此时，函数()
y g x =[)1,+∞上单调递增，则有()()1g x g ≥，合乎题意；
（ii ）当2140a ∆=->时，即1
02
a <<
时， 设方程20ax x a -+=的两个不等实根分别为1x 、2x ，且12x x <， 则121=x x ，1210x x a
+=
>，所以，210x x >>，21221x x x ∴=<，21x ∴>. 当21x x <<时，()0g x '<；当2x x >时，()0g x '>，()()21g x g ∴<，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
x t
y t =⎧⎨=+⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为34πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）过直线l 上的一点向圆C 引切线，求切线长的最小值.
【答案】（1）22
111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭；（2）2.
【解析】 【分析】
（1）将圆C 的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开，并在等式两边同时乘以ρ，再由
222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
可将圆C 的极坐标方程化为普通方程； （2）设直线l 上任意一点P 的坐标为(),2t t +，利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切
，转化为关于t 的二次函数求出切线长的最小值.
【详解】（1）34πρθ⎛
⎫=
+
⎪
⎝
⎭
Q ，33sin cos cos sin 44ππρθθ⎫
∴=+⎪⎭
， 即cos sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得2
cos sin ρρθρθ=-，
所以，圆C 的普通方程为22
x y x y +=-，即22
111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭；
（2）设l 上任意一点(),2P t t +，11,22C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭Q ，半径2
r =，
∴2==≥，
当且仅当1t =-时，切线长取最小值2.
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查了圆的切线长的计算，计算时可以代数法求解，也可以利用几何法结合勾股定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
23.已知函数()1
f x x x a a
=-
++，0a >. （1）若2a =，求不等式()3f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式.()4f x >恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)93
[,]44
-；(2) (0,2(2)⋃+∞. 【解析】 【分析】
（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出所求不等式为1
232
x x -++≤，然后利用零点分段法去绝对值，分段解出不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式得出()min 11
f x a a a a
=+
=+，由题意得出()min 4f x >，即1
4a a
+
>，在0a >时，解出该不等式可得出实数a 的取值范围.
【详解】（1）2a =时，不等式为1232x x -
++≤. 当2x -≤时，不等式化为1232x x -+--≤，94x ∴≥-，此时924
x -≤≤-； 当122x -<<时，不等式化为532≤恒成立，此时122
x -<<； 当12
x ≥时，不等式化为1232x x -++≤，34x ∴≤，此时1324x ≤≤. 综上，不等式的解集为93,44⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦； （2）()()111f x x x a x a x a a a a ⎛⎫=-++≥+--=+ ⎪⎝
⎭， ()()min 44f x f x >⇔>Q ，14a a ∴+
>，
又0a >Q ，14a a
∴+>，解得02a <<2a >
即a 的取值范围是(()0,22+∞U .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，在求解恒成立问题时，需结合条件转化为函数的最值来处理，考查化归与转化数学思想的应用，属于中等题.。