2020届云南省、四川省、贵州省高三上学期百校大联考数学(文)试题word版含答案

2020届云南省、四川省、贵州省高三上学期百校大联考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合{|3}M x Z x =∈<，{|1}x N x e e =≤≤，则M N I 等于（ ）
A ．∅
B ．{0}
C ．[0,1]
D ．{0,1}
2. 设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z
=-，则复数z 等于（ ） A ．1i -- B ．1i - C ．1i -+ D ．1i +
3.设向量(4,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则(2)a b b -r r r g 等于（ ）
A ．2
B ．-2
C ．-12
D ．12
4.设0a ≠，函数224log (),0,()||,0.x x f x x ax x -<⎧=⎨+≥⎩若[(4f f =，则()f a 等于（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1
5.设三条不同的直线1l ，2l ，3l ，满足13l l ⊥，23l l ⊥，则1l 与2l （ ）
A ．是异面直线
B ．是相交直线
C ．是平行直线
D ．可能相交，或平行，或异面直线
6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34
y x =±，且其右焦点为（5,0），则双曲线C 的方程为（ ）
A ．221916x y -=
B ．221169x y -=
C ．22134x y -=
D ．22
143
x y -= 7.当4x π=
时，函数()sin()f x x ϕ=+取得最小值，则函数3()4y f x π=-的一个单调递增区间是（ ） A ．(,)24ππ-- B ．(0,)2π C ．(,)2ππ D ．3(,2)2
ππ 8.某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品共有（ ）
A ．1000件
B ．1200件
C ．1400件
D ．1600件
9. n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，132n n a S +=+，则4a 等于（ ）
A ．64
B ．80
C ．256
D ．320
10.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a =，11a =，20a =，31a =-，则输出u 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．-1
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．423π+
B ．443
π+ C ．44π+ D ．24π+ 12.若存在两个正实数x ，x ，使得等式330y
x x e ay -=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
2 [,) 8
e
+∞ B．
3
(0,]
27
e
C．
3
[,)
27
e
+∞ D．
2
(0,]
8
e
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设变量x，y满足约束条件
220,
240,
410.
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
，则目标函数3
z y x
=-的最大值是_________.
14.一个圆的圆心在抛物线216
y x
=上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，则该圆的标准方程是_________.
15.在区间[0,]
π上随机取一个数θ，则使22sin2cos2
θθ
≤+≤成立的概率为__________.
16..设等差数列{}
n
a的前n项和为
n
S.若
897
S S S
>>，则满足
1
n n
S S
+
<
g的正整数n的值为__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC
∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4
b=，5
c=，60
A=o.
（1）求边长a和ABC
∆的面积；
（2）求sin2B的值.
18.在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1°变化到5°，反应结果如下表所示（x代表温度，y代表结果）：
（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程$$
y bx a
=+
$；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10°时反应结果为多少？
附：线性回归方程
$$
y bx a
=+
$中，1
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
-
=
-
∑
∑
$，$a y bx
=-.
19.如图，四边形ABCD是正方形，且平面ABCD⊥平面ABEG，F是AG上一点，且ABE
∆和AEF
∆
都是等腰直角三角形，AB AE
=，AF EF
=.
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD ，AE 的中点分别为P ，M ，求三棱锥M BDP -和三棱锥F BCE -的体积比.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，且过点(2,1). （1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求证：22||||PA PB +为定值.
21.已知函数2()4ln 23f x x x ax =-+.
（1）当1a =时，求()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1
[,]e e
上有两个零点，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线3:sin x a C y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），直线:60l x y --=. （1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；
（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()|||2|(0)f x x a x a a =-+-<.
（1）证明：1()()6f x f x +-≥；
（2）若不等式1()2
f x <
的解集为非空集，求a 的取值范围.
2020届云南省、四川省、贵州省高三上学期百校大联考
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1. D {|01}N x x =≤≤ , {0,1}M N =I .
2. C 由题意可知, 211i z i i =
=-+-. 3. A 2(7,5)a b -=r r ,(2)752a b b -=-=r r r g . 4. A
2(4log 2f ==，(2)|42|4f a =+=，解得4a =-，所以2(4)4log 48f -==，选A .
5. D 构造长方体，令3l 为一侧棱，可知选D .
6. B 由题意得34
b a =，22225
c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=． 7. C 当4x π
=时，函数()sin()f x x ϕ=+取得最小值，即2()42k k Z π
π
ϕπ+=-∈，解得
32()4k k Z πϕπ=-
∈，所以3()sin()4f x x π=-，从而333()sin()sin 444
y f x x x πππ=-=--=-. 8. D 因为280020140=，所以甲、丙两车间产品的数量为60201200⨯=，从而乙、丁两车间产品的数量为1600.
9. B 25a = ，113()3n n n n n a a S S a +--=-=，即14(2)n n a a n +=≥，数列{}n a 从第2项起是公比为4的等比数列，所以245480a =⨯=.
10.B 执行程序框图，1u =-，2n =；0u =，3n =；1u =，4n =．因为3n >，所以输出1u =．
11. A 该几何体可以看作是14个圆柱体和一个三棱锥组合而成，故体积21114(22)224323
V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯=+（2）2+． 12. C 由题意知3()y
x e a y x
=，设(0)y t t x =>，则3t e a t =，令3()t e f t t =，则4(3)'()t e t f t t -=，当3t >时，
'()0f t >，当03t <<时，'()0f t <，所以3min ()
(3)27e f t f == ，∴327
e a ≥． 二、填空题 13. 32 画出约束条件220,240,410.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，表示的可行域如图所示，由目标函数3z y x =-得直线3y x z =+，当直线平移至点1(,3)2A 时，目标函数3z y x =-取得最大值为32
．
14. 22(2)(42)36x y -+-= 抛物线2
16y x =的顶点和焦点分别是（0,0）和（4,0），所以圆心在直线2x =上，将2x =代入216y x =得42y =，即圆心为(2,42)，从而圆的标准方程为22(2)(42)36x y -+-=. ．
15. 12 222sin()4
πθθθ=+2sin()1042ππθθ≤+≤⇒≤≤，由几何概型知概率为122
π
π=． 16.16 ∵897S S S >>，得890S S ->，970S S ->，∴90a <，980a a +>．∴891616()02a a S +=>，179170S a =<．∴满足10n n S S +<g 的正整数n 的值为16．
三、解答题 17.解：（1）由余弦定理得2222cos 16254521a b c bc A =+-=+-⨯=，
∴21a =1sin 532
ABC S bc A ∆==……………………………………………………………………6分 （2）由正弦定理得sin sin b a B A =，则sin 3sin 217
b A B A ===，…………………………8分
18.解：（1）由题意：5n =，51135i i x x ===∑，5
1
17.25i i y y ===∑， 又52215555910i i x
x =-=-⨯=∑，5
15129537.221i i i x y x y =-=-⨯⨯=∑ ∴1
22121 2.110
n i i
i n i i x y nx y b x nx
==-===-∑∑$，$7.2 2.130.9a y bx =-=-⨯=， 故所求的回归方程为$
2.10.9y x =+.…………………………………………………………………………7分 （2）由于变量y 的值随温度x 的值增加而增加( 2.10)b
=>$，故x 与y 之间是正相关. 当10x =时，$
2.1100.921.9y =⨯+=.……………………………………………………………………12分 19.（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEG ，平面ABCD I 平面ABEG AB =，ABCD 为正方形， ∴BC ⊥平面ABEG ，∵EF ⊂平面ABEG ，∴EF BC ⊥．…………………………………………2分 ∵2AEF AEB π
∠+∠=, ∴EF BE ⊥,……………………………………………………………………4分
又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =I ，
∴EF ⊥平面BCE .……………………………………………………………………………………………6分
（2）解：设正方形ABCD 的边长为a ，连接MB ，MD ，BD ，BP ， 则2311334224
M BDP BDP a a a V S MA -∆=•=⨯⨯=.………………………………………………………………8分 同理，连接FB ，FC ，则23
1122336F EBC
EBC a a a V S EF -∆=•==，…………………………10分 ∴111::2464
M BDP F EBC V V --==.……………………………………………………………………………12分
20.解：（1
）由题意得2221+1a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即222221+12a b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，……………………………………………………2分
∴2242
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………………………………………………………………………………………………4分 故所求的椭圆方程为22
142
x y +=.……………………………………………………………………………5分 （2）设(,0)P m
，直线:)l y x m =-，11)(,)A x y ，22(,)B x y ，
由22),1.42
y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得222240x mx m -+-=，…………………………………………………6分 ∴12x x m +=，21242
m x x -=，………………………………………………………………………………7分 ∴2222221122||||()()PA PB x m y x m y +=-++-+
22221212121233[()()][()22()2]22
x m x m x x x x m x x m =-+-=+--++…………………………………9分 22223[(4)22]62
m m m m =---+=.………………………………………………………………………11分 即22||||PA PB +为定值.……………………………………………………………………………………12分
21.解：（1）∵2()4ln 23f x x x x =-+，(1)1f =， ∴4'()43f x x x
=-+，'(1)3f =.…………………………………………………………………………2分 ∴切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-.………………………………………………………………4分
（2）∵2
()()34ln 2g x f x ax m x x m =-+=-+， ∴244(1)'()4x g x x x x
--=-=，………………………………………………………………………………5分 当1[,1)x e ∈时，'()0g x >，2()4ln 2g x x x m =-+在1[,1)e
上单调递增；
当(1,]x e ∈时，'()0g x <，2()4ln 2g x x x m =-+在(1,]e 上单调递减.…………………………………7分
因2()4ln 2g x x x m =-+在1
[,]e e
上有两个零点， 所以22(1)2012()40()420g m g m e e g e e m =-+>⎧⎪⎪=--+≤⎨⎪⎪=-+≤⎩，即2222424
m m e m e >⎧⎪⎪≤+⎨⎪⎪≤-⎩.…………………………………………………………10分 ∵222244e e ->+，∴2224m e <≤+，即2
2(2,4]m e ∈+.………………………………………………12分 22.解：（1
）设点,sin )P a a ，则点P 到直线l 的距离为
d == ∴当sin()13a π-=-时，31(,)22
P -，
此时max d =.……………………………………………………5分 （2）曲线C 化为普通方程为：2
213
x y +=，即2233x y +=， 直线1l
的参数方程为1,.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：
2220t --=，得121t t =-，
∴12||||||1MA MB t t ==g .………………………………………………………………………………………10分
23.解：（1）112()()(|||2|)(||||)f x f x a x a a a x
x x
+-=-+-+--+-- 1212(||||)(|2|||)|()()||(2)()|x a a x a a x a a x a a x x x x =-+--+-+--≥----+---- 1212|||2||||2|6||||
x x x x x x x x =+++=+++≥（当且仅当1x =±时取等号）……………………………5分 （2）函数23(),()|||2|(),2232()a x x a a f x x a x a x a x x a x a ⎧⎪-≤⎪⎪=-+-=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩
的图象如图所示.
当2a x =时，min 2a y =-，依题意：122
a -<，解得1a >-， ∴a 的取值范围是（-1,0）.……………………………………………………………………………………10分。