贵州省铜仁一中高三第二次月考(数学文)

铜仁一中2011届高三第二次月考
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若全集U = {1，2，3，4，5}，集合A = {1，3}，B = {3，4，5}，则)(B A C U =（ ） A ．{3}
B ．{4，5}
C ．{3，4，5}
D ．{1，2，4，5}
2. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 要得到函数(36)y f x =+的图象，只需要把函数(3)y f x =的图象（ ） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向左平移6个单位
D ．向右平移6个单位
4. 下列函数中，有反函数的是（ ）
A ．211y x =+
B ．212y x =+
C ．sin y x =
D ．21(0)
2(0)x x y x x ⎧-≥=⎨<⎩
5. 已知函数⎩⎨⎧->+-≤=+)1(
),1(log )
1( , 2 )(21x x x x f x ，若()1f a =-，则a =（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．1
2
-
6. 已知映射f A B →：,其中A B R ==，对应法则222f x y x x →=-+：，若对实数k B ∈，
在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ ） A ．1k ≤
B ．1k <
C ．1k ≥
D ．1k >
7. 函数|
|x xa y x =)1(>a 的图像大致形状是（ ）
8. 定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()(4)f x f x =-，若当2x ≥时，()f x 单调递增，
-1
-1 -1
-1 1 1 1 1 x
y
O A
x
y
O B
y
x
O C
y
x
O
则当24a <<时，有（ ） A ．)(log )2()2(2a f f f a
<< B ．)(log )2()2(2a f f f a
<< C ． )2()(log )2(2a
f a f f <<
D ．)2()2()(log 2f f a f a
<<
9. 已知命题P ：函数)1(log +=x y a 在(0)+∞，内单调递减；命题Q ：不等式
2(23)10x a x +-+>的解集为R ．如果“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实
数a 的取值范围是（ ）
A ．15
(0](1)22，，
B ．15
(0]()22+∞，，
C ．15
[1)(1)22
，，
D ．1
5[1)
()2
2
+∞，， 10. 函数)(x f y =满足：对一切R x ∈都有)1()1(+=-x f x f ；当]1,0[∈x 时，
⎩⎨
⎧≤<+≤≤+=)15.0( ),15(log )5.00( ,
2 )(4
x x x x x f ， 则)2011(f =（ ） A ．2233-B ．23-C ．2
D ．23
11. 已知}21,,3,2,1{ =S ，S A ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有
A ．99个
B ．100个
C ．199个
D ．210个
12.设d cx bx ax x f +++=2
3
)(，)(x f '为其导数，右图是)( x f x y '=图像的一部分，则
)(x f 的极大值与极小值分别为
A. )1(f 与)1(-f
B. )1(-f 与)1(f
C. )2(f 与)2(-f
D. )2(-f 与)2(f
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填
结果，不要过程） 13. 关于x 的不等式
21
0x x
+>的解集为_______________． 14. 函数3
22)2
1()(--=x x x f 的单调递增区间为 ．
15. 已知函数1)(1
2-=+x e
x f ，则它的反函数1()f x -的解析式是_______________．
16．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 .
y
x
-2-121
O
三、解答题：本题共6小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字
说明、演算步骤或推理过程）． 17. (本小题满分10分)
已知函数5()3
x
f x x =
-，[()]4f g x x =-． （1）求()g x 的解析式；（2） 求1(5)g -的值．
18. (本小题满分12分)
已知奇函数1
2)2()(-+=x
x b a x f 的反函数1()f x -的图象过点(31)A -，． （1）求实数a b ，的值；
（2）解关于x 的不等式1()1f x ->-
19. (本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=1，31==AA AC ，
︒=∠60ABC
（1）证明：AB ⊥A 1C
（2）求二面角A-A 1C-B 的大小
20.（本小题满分12分） 某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可
上岗工作，不再参加以后的测试；否 则就一直测试到第三次为止。

设每位工人每次测
试通过的概率依次为
111,,.225
（1）若有3位工人参加这次测试，求至少有一人不能上岗的概率； （2）若有4位工人参加这次测试，求至多有2人通过测试的概率。

（结果均用分数表示）
21.(本小题满分12分)
已知：函数()f x 是R 上的单调函数，且2(3)log 3f =，对于任意x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．
（1）求证：()f x 是奇函数；
（2）若()f x 满足对任意实数x ，0)293()3(<--+⨯x
x
x
f k f 恒成立，求k 的范围．
22． 设函数32
3()(1)1,32
a f x x x a x a =
-+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）已知不等式'
2
()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

2011级第二次月考 数学试题参考答案（文）
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．
1．D; 2．A ; 3．A ; 4．B; 5．D; 6．B; 7．B; 8．C; 9．A; 10．C ; 11.B; 12.D. 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
13．1
()(0)2-∞-+∞，， 14． ]1,(-∞或)1,(-∞
15．111
()ln(1)(1)22
f x x x -=+->- 16．48 .
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）解：(1) ∵5()3
x
f x x =-，∴[()]f
g x 5()()3g x g x =-
又[()]4f g x x =-，∴5()4()3g x x g x =--，解得312
()1
x g x x -=
+ (2) ∵ 反函数的自变量就是原函数的函数值
∴ 在312()1x g x x -=
+中有31251x x -=+，解得172x =- ∴117
(5)2
g -=-
18．（12分）解：(1) 奇函数1
22)(-+⋅=x
x b
a x f 的反函数)(1x f -过点(31)A -，， 所以1
12(1)33232122(1)(1)2121
a b f a b a b a b f f a b --+⎧
=-⇒=-⇒+=-⎪⎪-⎨++⎪-=-⇒=-⇒=⎪⎩--解得，1a b ==-
(2) 由(1)知，21()12x x f x +=-，则1
2
1()log (11)1x f x x x x --=><-+或 解不等式121
()log 131
x f x x x --=>-⇒>+或1x <-
19．（12分）解：（1）111A B C ABC -为直三棱柱，
⊥∴1AA 底面ABC ，AB AA ⊥∴1
三角形ABC 中 ,3,1,600===∠AC AB ABC
由正弦定理得0
30=∠ACB ， 0
90=∠∴BAC …………2分
AC AB ⊥∴，⊥∴AB 平面A 1C 1CA …………4分
C A AB 1⊥∴…………6分
（2）连接1AC ，由（1）知正方形A 1C 1CA 对角线C A AC 11⊥垂足为H 因为⊥AB 平面A 1C 1CA ，∴AH 为BH 在平面A 1C 1CA 的内射影
所以AHB ∠为二面角A —A 1C —B 的平面角 ……8分
因为在正方形A 1C 1CA 中2
6=
BH ， H
在ABH Rt ∆中3
6
tan ==
∠BH AB AHB ……10分 二面角A —A 1C —B 的大小为arctan 3
6
……12分 解法二：（1）
111A B C ABC -为直三棱柱，
⊥∴1AA 底面ABC ，AB AA ⊥∴1
三角形ABC 中 ,3,1,600===∠AC AB ABC
由正弦定理得0
30=∠ACB ， 0
90=∠∴BAC …………2分 以AB ，AC ，AA 为想，x,y ,z 轴建立空间直角坐标系
则A （0, 0, 0），B （1, 0, 0），C （0，3，0），A 1（0, 0，3）…………4分
)0,0,1(=∴AB ，)3,3,0(1-=C A ，)0,3,1(-=BC 0)3,3,0()0,0,1(1=-⋅=⋅∴C A AB C A AB 1⊥∴
C A AB 1⊥∴…………6分
（2）设平面A 1BC 的法向量为),1,(z x n =
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅∴001BC n C A n 即⎩
⎨⎧=+-=-030
1x z 得⎩⎨⎧==13z x )1,1,3(=∴n …………10分
因为平面ACC 1A 1的法向量为)0,0,1(==∴AB m 5
15
,cos >=
<∴n m
即二面角A —A 1C —B 的大小为5
15
arccos
…………12分
20. （12分）解：（1）每位工人通过测试的概率为1114
11112255
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--
--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分
每位工人不能通过测试的概率为
1
5
…………4分
3位工人中至少有一人不能上岗的概率为3
46115125⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
……6分
z
x
y
（2）4位工人中至多有2人通过测试的概率为
041322
24441414111696113()()()()()55555625625
P C C C ++=+⋅+⋅==
……12分 法二：3344
444142562561131[()()()]1555625625625P C C ⎛⎫=-⋅+=-+=
⎪⎝⎭
21．（12分）(1) 证明：
()()()f x y f x f y +=+ ∴令x = y = 0 有f (0 ) = 0
令y =－x 有：0(0)(())()()f f x x f x f x ==+-=+- 即证f ( x )是奇函数． (2) 因为 对任意实数,(3)(392)0x x x x f k f ⋅+--<恒成立，且f ( x )是奇函数 (3)(392)x x x f k f ⋅<-++恒成立 又R 上的单调函数f ( x )满足2(3)log 3f =>0 而f (0 ) = 0 从而有：f ( x )是R 上的单调增函数
于是：3392x x x k ⋅<-++
∴2313x x k <+-恒成立，而2
312213x x +-≥
∴221k <
22．（12分）解: (1) '
2
()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，
所以 '
(1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ (2) 方法一
由题设知：2
2
3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2
2(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
设 2
2
()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数
()a R ∈
所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2
20x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤
方法二
由题设知：2
2
3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2
2(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22
202
x x
x +≤+ 20x -≤≤∴
于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤
铜仁一中2011届高三年级第二次月考
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