2019届四川省成都市第七高三热身考试数学（理）试题

2019届四川省成都市第七中学高三热身考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}21|A x log x =<
，集合{
|B y y ==，则A B =（ ）
A ．(),2-∞
B ．(],2-∞
C ．()0,2
D ．[)0,+∞
【答案】D
【解析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】
解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；
∴[)0,A B =+∞．
故选D ． 【点睛】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 2．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ． 23i -+ D ． 23i --
【答案】A
【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由32i z i ⋅=+，得()()2
323223i i i z i i i +-+=
==--，
∴23z i =+．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知实数x ，y 满足约束条件20
2201
x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2
1y z x -=+的最小值
为
A ．23-
B ．54-
C ．43
-
D ．12
-
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数2
1
y z x -=
+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，利用数形结合即可得到z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数2
1
y z x -=
+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率， 当M 位于11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时DA 的斜率最小，此时12
52114
min z --==-+． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
4．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）
．
A ．1
2
-
B ．
12
C ．1
D ．1-
【答案】A
【解析】由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44=-，所以13λ,μ44
==-，即可求解，得到答案． 【详解】
由平面向量基本定理，化简()
11
DE DA
AE DA AC AD AB AD 44
=+=+
=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2
+=-， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到13
DE AB AD 44
=
-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 5．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】设切点为()00x ,y ，则3
00y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，
再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】
若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32
000000y 1x 1k x x 1x 1x 1
--=
==++--， 又∵2
y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2
=-
， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
6．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．3
B ．0
C ．0或32
-
D ．32
-
【答案】B
【解析】由数量积的定义表示出向量a 与a b +的夹角为60︒，再由2
2a a =，2
2b b =代入表达式中即可求出a b ⋅. 【详解】
由向量a 与a b +的夹角为60︒，
得()
2
cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒，
所以(
)
2
2
2211
22
2a a b a a b
a a a
b b +⋅=
+=
+⋅+， 又1a =，3b =，2
2
a a =，2
2
b b =， 所以1
111232
a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+，解得0a b ⋅=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.
7．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有2
46C =种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有2
2
2A =种情况， 此时有224⨯=种情况，
则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且
()2
2a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
B ．
2
C D 【答案】D
【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得222
1sin 22ab C a b c ab =+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴
sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
∵ 0C π<<， ∴ 56
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， ∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12+=
故选D ． 【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
9．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
4
1π
- D ．4
2π
-
【答案】C
【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ
--=
==-，故选C 。

10．()6
321x x x ⎫-+⎪⎭的展开式中的常数项为( )
A ．－60
B ．240
C ．－80
D ．180
【答案】D
【解析】求()6321x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求6
2x x ⎫⎪⎭展开式中
的常数项和31
x
项，再求和即可得出答案. 【详解】
由题意，6
2x x ⎫⎪⎭中常数项为(2
4
2
6
260C x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
6
2x x ⎫⎪⎭中31x 项为4
2
46
321240C x x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
所以()6
3
21x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：
3
x ⨯31
240
160180x
-⨯=. 故选：D 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.
11．已知函数22
log ,0()22,0
x x f x x x x ⎧>=⎨
++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大
的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12
k >
”
的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，
，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得
k 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．
【详解】
作出函数()22log x ,0
f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩
的图象如图，
由图可知，]
D (2,4=，
函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，
也就是y kx =与()y f x =在
2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为1
2
； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为
01
x ln2
， 则切线方程为()2001
y log x x x x ln2
-=
-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2
， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
k 2
>”的充分不必要条件， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，
训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上
任意一点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[
)4,+∞ 【答案】D
【解析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≤，解得即可． 【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即
bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≤， ∴
41a c ≤，即4c
e a
=≥， 故e 的取值范围为[4，+∞）， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≤是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
13．观察下列式子，1
ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357
>++，……，根据上述规
律，第n 个不等式应该为__________．
【答案】()11
1
ln 135
21
n n +>++
+
⨯+
【解析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【详解】
解：根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1
ln 11211
+>⨯+，
对于第二个不等式，11ln 335
>+，则有()11
ln 213221+>+⨯+，
对于第三个不等式，111ln 4357
>++，则有()111
ln 2135231+>++⨯+，
依此类推：
第n 个不等式为：()11
1
ln 13521
n n +>++
+
⨯+，
故答案为()11
1
ln 13521
n n +>++
+
⨯+．
【点睛】
本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律． 14．函数3
2
()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+∈-
⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的值域为_________．
【答案】6,38⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】利用换元法，得到()32
g t t 3t 3,t ,12⎡⎤=-+∈-
⎢⎥⎣⎦
，利用导数求得函数()g t 的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案． 【详解】
由题意，可得()3
2
3
2
ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤
=+=-+∈-
⎢⎥⎣⎦
，
令t sinx =，t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则()()2
g't 3t 6t 3t t 2=-=-，
当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，
即()y g t =在,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
为增函数，在[]0,1为减函数，
又g ⎛= ⎝⎭，()g 03=，()g 11=，
故函数的值域为：⎤
⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数()g t ，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，记{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，若
()2
*112n
n n n
a a n N a a ++=∈-，11a =，则6S =______. 【答案】63
【解析】对()2
*
112n n n n a a n N a a ++=∈-进行化简，可得12n n
a a +=，再根据等比数列前n 项和公式进行求解即可 【详解】
由2
2222211111122n n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a a ++++++=
⇒-⋅=⇒-=+⋅- ()()()1
11112n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a +++++⇒+-=+⇒-=⇒
= 数列{}n a 为首项为11a =，公比2q 的等比数列，(
)()6
6
16111263112
a q S q
-⨯-=
==--
所以6S =63 【点睛】
本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。

但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质
16．如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，将AMN ∆沿线段MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为_______．
【答案】33
【解析】设AM x =，AMN α∠=，在ABM ∆中利用正弦定理得出x 关于α的函数，从而可得x 的最小值． 【详解】
解：设AM x =，AMN α∠=，则1BM x =-，1802AMB α∠=︒-，∴260BAM α∠=-︒， 在ABM ∆中，由正弦定理可得
sin sin AM BM
ABM BAM
=∠∠，
()1sin 2603x α-=
-︒，∴()32
3
sin 260x α=
+-︒，
∴当26090α-︒=︒即75α
=︒时，x 3
223331=+．
故答案为33． 【点睛】
本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．
三、解答题
17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小； （2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛
⎫
=+
+∈ ⎪⎝
⎭图象的一条对称轴方程为2
C
x =且6
25
f α⎛⎫=
⎪⎝⎭，求(2)cos C α+的值． 【答案】（1）23C π=
（2）7
225
cos
C α+=-（） 【解析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1
cosC 2
=-，即可求C 的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用，可得()()f x 3sin2x m 1cos2x =++，根据题意，
得到()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值，
利用三角函数恒等变换的应用可求()cos 2αC +的值． 【详解】
（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+，
又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=， 又因为()0,B π∈，则sin 0B >， 可得1cosC 2=-
，∵()0,C π∈，∴2π
C 3
=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++
()
m 1cos2x ++，
所以函数()f x 的图象的一条对称轴方程为π
x 3
=，
∴()2πf 0f 3⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，得()4π4πm 1m 1cos 33+=++，即m 2=-，
∴()πf x cos2x 2sin 2x 6⎛
⎫=-=-
⎪⎝
⎭
， 又απ6f 2sin α265⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π3sin α65⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
∴
()22ππππ7cos 2αC cos 2αcos 2α-cos2α2sin α1336625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
3
3
. 【解析】（Ⅰ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ，四边形EFMN 是平行四边形，由
EF BE ⊥，
EF DE ⊥，得EF BDE ⊥平面，从而EF EN ⊥，MF MN ⊥，求出MF CD ⊥，由此能证明MF BCD ⊥平面．
（Ⅱ）以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E MF C --的余弦值． 【详解】
证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MN
BC =，1
2
EF BC =， ∴ 四边形EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BE EF E =，
∴ EF BDE ⊥平面，
∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥， 在DFC ∆中，DF FC =，
又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MF
MN M =，∴MF BCD ⊥平面．
解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E =，
∴ DE BEF ⊥平面，
以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设2BC =，则()000E ，
，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-， 设面EMF 的法向量(),,m x y z =，
则00
m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =， 同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =，
设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3
cos 3m n m n
θ⋅=
=
⋅，
∴ 二面角E MF C --的余弦值为
3．
【点睛】
本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．
19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）
经常网购
偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．
参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ()20P K K ≥ 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①
49
60
；②数学期望为6，方差为2.4. 【解析】（1）完成列联表，由列联表，得2
25
8.333 6.6353
K =
≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70
107100
⨯=人，偶尔或不用网购的有30
103100
⨯
=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：
120
0.6200
=，由题意100.6X
B （，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．
【详解】
解：（1）完成列联表（单位：人）：
由列联表，得： ()2
2
2005030507025
8.333 6.63512080100100
3
K ⨯⨯-⨯=
=
≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70
107100
⨯=人， 偶尔或不用网购的有30
103100
⨯
=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
2137373
104960
c c c P c +==．
② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：120
0.6200
=， 将频率视为概率，
∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6X
B ，，
∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． 【点睛】
本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．在直角坐标平面中，已知ABC ∆的顶点(2,0)A -，(2,0)B ，C 为平面内的动点，且sin sin 3cos 0A B C +=. （1）求动点C 的轨迹Q 的方程；
（2）设过点(1,0)F 且不垂直于x 轴的直线l 与Q 交于P ，R 两点，点P 关于x 轴的对称点为S ，证明：直线RS 过x 轴上的定点.
【答案】（1）22
143
x y +=（0y ≠）
；（2）证明见解析. 【解析】（1）设点(,)C x y ，分别用
||
y AC 表示sin A 、||y
BC 表示sin B 和余弦定理表
示cos C ，将sin sin 3cos 0A B C +=表示为x 、y 的方程，再化简即可；
（2）设直线方程代入Q 的轨迹方程，得()
2
2
34690m y my ++-=，设点()11,P x y ，
()22,R x y ，()11,S x y -，表示出直线RS ，取0y =，得4x =，即可证明直线RS 过x
轴上的定点. 【详解】
（1）设(,)C x y ，由已知sin sin 3cos 0A B C ⋅+=，
∴
2222
||||||30||||2||||y AC BC AB AC BC AC BC +-+⨯=⋅⋅， ∴22222
(2)(2)16302
x y x y y +++-+-+⨯=（0y ≠）
，
化简得点C 的轨迹Q 的方程为：22
143
x y +=（0y ≠）
； （2）由（1）知，过点(1,0)F 的直线l 的斜率为0时与Q 无交点，不合题意 故可设直线l 的方程为：1x my =+（0m ≠），代入Q 的方程得：
()2
234690m
y my ++-=.
设()11,P x y ，()22,R x y ，则()11,S x y -，
122634m y y m +=-
+，12
29
34
y y m =-+. ∴直线RS ：()21
1121
y y y y x x x x ++=
--.
令0y =，得()()()121121212121212121
11y x x y my my y y x x y
x x y y y y y y -++++=
+==+++
()21212122121
2
922234114634
m my y y y my y m m y y y y m ⎛
⎫- ⎪+++⎝⎭==+=+=++-+.
直线RS 过x 轴上的定点(4,0). 【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.
21．已知函数()x e f x x
=，()()2ln g x x x =-
（Ⅰ）当0x >时，证明()()f x g x >；
（Ⅱ）已知点()()
,P x xf x ，点,Q sinx cosx -（），设函数()h x OP OQ =⋅，当,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，试判断()h x 的零点个数．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2.
【解析】（Ⅰ）令()()()()2ln x e x f x g x x x x Φ=-=--，0x >；则
()()()2
12x x e x x x --'Φ=
．易得
20x e x ->，()()120x e Φ≥Φ=->．即可证明
()()f x g x >；
（Ⅱ）()sin cos x h x OP OQ x x e x =⋅=-+，分①,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦π，② 0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，③ 当,42x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，讨论()h x 的零点个数即可． 【详解】
解：（Ⅰ ）令()()()()2ln x
e x
f x
g x x x x Φ=-=--，0x >；
则()()()2
12x x e x x x --'Φ=
．
令()()20x
G x e x x =->，
()()20x G x e x '=->，
易得()G x 在()02ln ，递减，在()2ln +∞，
递增， ∴ ()()ln 222ln 20G x G ≥=->，∴20x e x ->在()0+∞，恒成立． ∵ ()x Φ在()01，递减，在()1+∞，
递增． ∴ ()()120x e Φ≥Φ=->． ∵()()f x g x >；
（Ⅱ ）∵ 点()()P x xf x ，，点()Q sinx cosx -,， ∴ ()sin cos x h x OP OQ x x e x =⋅=-+，
()()()1sin x x x x h x sinx xcosx e cosx e sinx e x cosx e x '=--+-=--+．
① 当,02x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
π时，可知2x e x x >>，∴0x e x -> ∴ ()
0x e x cosx -≥，()
10x e sinx +≤， ∴ ()()()
10x x h x e x cosx e sinx '=--+≥．
∴ ()h x 在02π⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，单调递增，()010h =>，02h π-<（）． ∴ ()h x 在02π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
，上有一个零点， ② 当0,
4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，cosx sinx ≥，x e x >，
∴ cos sin x e x x x >，∴()0h x >在04π⎛⎤
⎥⎝⎦
，恒成立，
∴ ()h x 在()04h x π⎛⎤ ⎥⎝⎦在，04π⎛⎤
⎥⎝⎦
，无零点．
③ 当,42x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
当，时，0cos sin x x <<，
()()()cos sin cos sin 0x h x e x x x x x '=--+<．
∴ ()h x 在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，()42h x ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
在，单调递减，022h ππ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，
4
0424h e πππ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∴ ()h x 在04π⎛⎤
⎥⎝⎦
，存在一个零点．
综上，()h x 的零点个数为2．． 【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，曲线C
的极坐标方程为4cos ρθ=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11
PA PB
+的值． 【答案】（Ⅰ
）:10l x -=，()2
2:24C x y -+=；（Ⅱ
. 【解析】（Ⅰ
）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）直接消去参数t ，可得直线的普通方程，把
cos ρθ=4两边同时乘以ρ，结合222x y ρ=+，x cos ρθ=可得曲线的直角坐标方
程；
（Ⅱ）
把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2240x y x +-=，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解． 【详解】
解：（Ⅰ
）由1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去参数t
，可得10x -=． ∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=． ∴曲线的直角坐标方程为()2
224x y -+=；
（Ⅱ
）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩112x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
代入2240x y x +-=
，得2
30t +-=． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >， ∴
12
1212
1111t t PA PB t t t t ++=+===
．
【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数
t 的几何意义是解题的关键，是中档题．
23．已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-. （1）求22a b +的最小值；
（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(
)22
()4f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.
【答案】（1）2；（2）7
,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）化简(1)(1)a b b a -=-得
11122a b
+=，所以
()222221122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，展开后利用基本不等式求最小值即可；
（2）由（1），原不等式可转化为|21||2|8x x ++-≤，讨论去绝对值即可求得x 的取值范围.
【详解】
（1）∵,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，
∴2a b ab +=，∴11122a b
+=. ∴()22222222211122224b a b a a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1(2224≥+⨯=. 当且仅当2222b a a b =且b a a b =即1a b ==时，()22min 2a b +=.
（2）由（1）知，()22min 2a b +=，
对任意,(0,)a b ∈+∞，都有()22()4f x a b
≤+， ∴()8f x ≤，即|21||2|8x x ++-≤.
①当210x +<时，有2128x x ---+≤， 解得7132
x -≤<-； ②当210x +≥，20x -≤时，有2128x x +-+≤， 解得122
x -≤≤； ③当20x ->时，有2128x x ++-≤，
解得23x <≤； 综上，733
x -≤≤， ∴实数x 的取值范围是7
,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式，考查学生的分类思想和计算能力，属于中档题.。