湖南省名校2020-2021学年高二上学期第二次联考(12月)数学试题含答案

湖南省教育联合体2020年高二12月联考
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}2,1,0,1,2-=-A ，{}
2
20--=<x B x x ，则=A
B ( )
A.{}1,1-
B.{}1,0,1-
C.{}0,1
D.{}0,1,2
2.已知函数()2
=++f x ax x a ，命题0:∃∈p x R ，()00=f x ，若⌝p 为真命题，则实数a 的取值范围
是( )
A.11,22
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C.11,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
D.11,,22⎛⎫
⎛⎫-∞-+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
3.已知2log =a π，ln =b π，0.93-=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.<<a b c
B.<<b a c
C.<<c b a
D.<<c a b
4.在首项为1，公比不为1的等比数列{}n a 中，12
7=m a a a a ，则m 的值为( )
A.20
B.22
C.24
D.28
5.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生
产总值(GDP )y (单位：万亿元)关于年份代号x 的回归方程为()ˆ 6.6050.361,2,3,4,5,6,7=+=y
x x ，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值(单位：万元)约为( )
A.13.58
B.14.04
C.14.50
D.202.16
6.若双曲线()22
2210,0-=>>x y a b a b
的一条渐近线与函数()()ln 1=-+f x x 的图象相切，则该双曲线离
心率为( )
A.2
B.3
C.2
D.5
7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，直线80+-=ax cy 平分圆2
2
640+--=x y x y 的周长，则△ABC 面积的最大值为( )
A.
32
B.3
C.
33
2
D.
23
3
8.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的.常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造.该技术在珠宝、鞋类、工业设计、建筑、工程和施工，汽车航空航天、牙科和医疗产业、教育、地理信息系统、土木工程、枪支以及其他领域都有所应用.某校组织学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上四个顶点在圆锥底面上)，圆锥的底面直径和高都等于(
)
2
21cm +，打印所用原料密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
质量约为(取 3.14≈π，参考数据：
(
)
3
2114.07+≈，
(
)
2
21 5.83+≈，精确到0.1)
A.21.5g
B.30.7g
C.45.6g
D.55.3g
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是( )
A.若两直线的斜率相等，则两直线平行
B.若5>x ，则10>x
C.若=ac bc ，则=a b
D.若sin sin =αβ，则=αβ
10.已知方程2
2
2+=x my 表示焦点在x 轴上的圆锥曲线，则实数m 的取值范围可以是( )
A.(),1-∞-
B.(),0-∞
C.()1,+∞
D.()0,+∞
11.已知点P ，Q 分别是一个正方体的外接球和内切球上的动点，且P ，Q 之间距离的最大值为1
2
+，则( )
A.正方体的体积为1
B.正方体的内切球的体积为
6
π
C.正方体的外接球的表面积为6π
D.P ，Q 之间的距离最小值为
1
2
-
12.将函数()()2sin 202⎛⎫
=+<<
⎪⎝
⎭
x f x πϕϕ的图象向左平移
6
π
个单位，得到偶函数()g x 的图象，下列
结论中：①()g x 的图象关于点,04⎛⎫
⎪⎝⎭π对称；②()f x 在,64⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
ππ上的值域为-⎡⎣；③()f x 的图
象关于直线76=
x π对称；④()f x 在区间,62⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
ππ上单调递减. 其中正确的结论有( )
A.①
B.②
C.③
D.④
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知3sin 65⎛⎫+=
⎪⎝⎭πα，则2cos 23⎛⎫-= ⎪⎝⎭
πα________.
14.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出10个，利用下面的部分随机数表，从第一行第9列开始，由左至右依次读取，则选出来的第7个零件编号是________.
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
15.在边长为a 的等边△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，1
2
=EF DE ，则AF BE ⋅的值为________.
16.设函数()()()1ln 2101
-=-+
+-<<a a x
f x ax a x ，若对于()0,∀∈+∞x ，都有()()10-≥x f x 成
立，则实数a 的取值为________. 四、解答题(共70分) 17.(本小题满分10分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①=
a ；②2=
b ；③
cos2cos 0+=A A ；④2223
+-=-
a c
b a
c . (1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)已知△ABC 同时满足上述四个条件中的三个，请选择使△ABC 有解的三个条件，求△ABC 的面积.
注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)
在正项等比数列{}n a 中，已知416=a ，1a ，
212a 的等差中项为314
a . (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设221
log -=
+n n n
n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和.
19.(本小题满分12分)
某质量检测部门为评估工厂某自动化设备生产零件T 的性能情况，从该自动化设备生产零件T 的流水线上随机抽取100件零件T 为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值84.98=x ，标准差 2.2=s ，用频率值作为概率的估计值.
(1)从该自动化设备加工的零件T 中任意抽取一件，记其直径为d ，根据下列不等式评估该自动化设备的
性
能
：
①
()0.68
-<≤+≥P x s d x s ；②
()220.95
-<≤+≥P x s d x s ；
()33P x s d x s --<≤+0.99≥(P 表示相应事件的概率).等级评估方法为：若同时满足上述三个式子，
则自动化设备等级为A ；若仅满足其中两个，自动化设备等级为B ；若仅满足其中一个，则自动化设备等级为C ；若全部都不满足，则自动化设备等级为D .试评估该自动化设备性能的等级情况；
(2)从样本中直径尺寸在()2,2-+x s x s 之外的零件T 中随机抽取2件，求至少有1件直径尺寸在
()3,3-+x s x s 之外的概率.
20.(本小题满分12分)
在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120∠=︒ABC ，=PA PB ，M 为AB 中点，设l 为平面ABP 与平面CDP 的交线.
(1)判断直线l 与平面ABCD 的位置关系，并说明理由； (2)求证：平面⊥PCD 平面PMD ；
(3)若平面⊥PAB 平面ABCD ，且二面角--B AP D 的余弦值为
5
5
，求四棱锥-P ABCD 的体积.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()
2212ln 2
=-+
f x x mx x x . (1)当1=m 时，求函数()f x 的极值点；
(2)若1
e
>m ，讨论函数()f x 在[)1,+∞上的零点个数.
22.(本小题满分12分)
如图，已知椭圆2
21:14+=x C y ，抛物线()22:20=>C y px p ，过椭圆1C 的左顶点A 的直线1l 交抛物线2C 于B ，C 两点，且=AC CB .
(1)求证：点C 在定直线上；
(2)若直线2l 过点C ，交椭圆1C 于M ，N 两点，交x 轴于点Q ，且=CA CQ ，当△BMN 的面积最大时，求抛物线2C 的方程.
数学参考答案
一二、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D
C
B
B
A
D
A
BCD
ABC
ABD
ACD
三、填空题
13.725
-
14.10
15.216
a 16.
12
四、解答题
17.【解析】(1)由条件③得22cos cos 10+-=A A ，
解得1
cos 2
=
A 或cos 1=-A (舍)， 因为()0,∈A π，
所以3
=
A π
；
由条件④得2222313
cos 22+-==⨯=a c b B ac ac ，
因为312cos cos 23
=<-=B π，()0,∈B π， 而cos =y x 在()0,π单调造减，
所以
23
<<B π
π. 于是23
3
+>
+
=A B π
π
π，与+<A B π矛盾. 所以△ABC 不能同时满足③④.
(2)因为△ABC 同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满是③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.
若选择组合①②③： 有
sin sin =
a b
A B
，
2
sin =
B ，sin 1=B ， 因为()0,∈B π，
所以2
=
B π
，△ABC 为直角三角形，
所以
1==c ，
所以△
ABC
的面积1122
=
⨯⨯=S . 若选择组合①②④：
由2222cos =+-b a c ac B ，
即2
21+=c
c ，解得1=c ，
因为()0,∈B π
，
所以sin 3===B ，
所以△ABC
的面积
)11
2sin 1222==⨯=S ac B .
18.【解析】(1)设正项等比数列的公比为()0>q q ， 由题意知，1231
1
22+=a a a ，
所以()2120--=a q q ，10>a ，
则220--=q q ，0>q ，则2=q ，
又416=a ，则12=a ，
所以2=n
n a .
(2)由题意得()1212⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭n
n b n n ，
令()1212⎛⎫
=- ⎪⎝⎭n
n c n ，其前n 项和为n P ，则
()21111321222⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n
n P n ，
()()231
1111113232122222+⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n P n n ，
两式相减得：
()231
111111*********+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦n
n
n P n
()11
111421122112212
-+
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎛
⎫⎣⎦+⋅--⋅= ⎪⎝⎭-n n n
()1131121222-+⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
n n n ， 所以()13232⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
n n P n ， 而()
1122++++=n n n ，
所以数到{}n b 的前n 项和()()1132322+⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭n
n n n T n . 19.【解析】(1)82.78-=x s ，87.18+=x s ，280.58-=x s ，289.38+=x s ，378.38-=x s ，391.58+=x s ，
由图表知，()800.800.68100
-<≤+==>P x s d x s ， ()95220.950.95100-<≤+=
=≥P x s d x s ， ()98330.980.99100
-<≤+==<P x s d x s ， 所以该自动化设备的等级为B .
(2)直径尺寸在()2,2-+x s x s 之外的零件共5件，分别记为A ，B ，C ，a ，b ，其中a ，b 为直径尺寸在()3,3-+x s x s 之外的零件，从5件零件中随意抽取2件，所有情况：
{},A B ，{},A C ，{},A a ，{},A b ，{},B C ，{},B a ，{},B b ，
{},C a ，{},C b ，{},a b ，共10种，
至少有一个在()3,3-+x s x s 之外的所有情况：
{},A a ，{},A b ，{},B a ，{},B b ，{},C a ，{},C b ，{},a b ，共7种，
记至少有1件直径尺寸在()3,3-+x s x s 之外为事件Y ，
则()710
=P Y . 20.【解析】(1)直线l 与平面ABCD 平行.
理由如下：
由已知，AB//CD ，⊄AB 平面CDP ，⊂CD 平面CDP ，
则AB//平面CDP ，
又l 为平面ABP 与平面CDP 的交线，⊂AB 平面ABP ，
则l //AB ，进而l //平面ABCD .
(2)连接BD ，∵菱形ABCD 中，3∠=
BAD π， ∴△ABD 为等边三角形，
又M 为BC 中点，
∴⊥DM AB ，
又=PA PB ，则⊥PM AB ，
又=DM PM M ，
∴⊥AB 平面PMD ，
又AB//CD ，
∴⊥CD 平面PMD ，
又⊂CD 平面PCD ，
∴平面⊥PCD 平面PMD .
(3)∵平面⊥PAB 平面ABCD ，且交线为AB ，⊥PM AB ，⊂PM 平面PAB ，
∴⊥PM 平面ABCD ，
以M 为原点，MB ，MD ，MP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
设=PM a ，则()0,0,P a ，()1,0,0-A
，()D ，
则()1,=AD ，()1,0,=AP a ，
设平面ADP 的一个法向量为(),,=x y z n ，
则00
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AD AP n n ，
即0
0⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x x
az ，
可取,,=-a n ，
又平面PAB 的法向量可取()0,1,0=m ，
由题意得||
cos ,5⋅===m n m n m n ，
解得=a
=PM
又菱形ABCD
的面积为⨯=AB DM
∴四棱锥-P ABCD
的体积为1
1
233=⨯⨯=⨯=ABCD V S PM .
21.【解析】(1)当1=m 时，()()22
12ln 2=-+f x x x x x ，
()()()()22ln 221ln 1'=-+-+=-+f x x x x x x x ，
当1
0e <<x 时，()()1ln 10-+>x x ，()0'>f x ，
当11e
<<x 时，()()1ln 10-+<x x ，()0'<f x ， 当1>x 时，()()1ln 10-+>x x ，()0'>f x ，
故函数()f x 的极小值点为1，极大值点为1e
. (2)()()()()22ln 22ln 1'=-+-+=-+f x x m x x m x x m x ，[)1,∈+∞x ， 当11e <≤m 时，()0'≥f x ，()f x 在[)1,+∞上为单调递增函数，()min 12
=f x ，此时函数()f x 的零点个数为0；
当1>m 时，在[)1,m 上，()0'<f x ，()f x 单调递减，在(),+∞m 上，()0'>f x ，()f x 单调递增， 所以()()()()222
2min 12ln 12ln 22==-+=-m f x f m m m m m m ，
当1<<m 时，()min 0>f x ，此时函数()f x 在[)1,+∞上的零点个数为0；
当=m ()min 0=f x ，此时函数()f x 在[)1,+∞上的零点个数为1；
当>
m ()min 0<f x ，此时函数()f x 在[)1,+∞上的零点个数为2.
综上，当1e
<<m ()f x 在[)1,+∞的零点个数为0
；当=m ()f x 在[)1,+∞上的零点个数为1
；当>
m ()f x 在[)1,+∞上的零点个数为2. 22.【解析】(1)证明：因为过点()2,0-A 的直线1l 交抛物线于B ，C 两点，则直线1l 的斜率存在且不为0，设1:2=-l x my ，()11,B x y ，()22,C x y ，
由222=-⎧⎨=⎩x my y px
，有2240-+=y pmx p ， 0∆>，且122+=y y pm ，124=y y p ，
因=AC CB ，则点C 是AB 的中点，有122=y y ， 可得22
3=pm
y ，229=pm ， 进而可得2
2222213=-=-=pm x my ，即点C 在定直线1=x 上.
(2)由=CA CQ ，知1l 的倾斜角和直线2l 的倾斜角互补， 则1l 与2l 的斜率满足12=-k k ， 可设2l 的方程为213⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭pm x m y ， 即4=-+x my ，
设()33,M x y ，()44,N x y ， 由224
14=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，有()2248120+-+=m y my ， ()22(8)44120∆=--+⨯>m m ，212>m ， 34284+=+m
y y m ，34212
4=+y y m ，
因点C 是AB 的中点，则=△△BMN AMN S S ，
点A 到2l
的距离=d
，3424=-=+MN y m ，
1
2==△AMN S MN d 令2120-=>m t ，
32
==≤△AMN S ，当且仅当16=t ，228=m 时等号成立， 此时956=p ，抛物线方程为2928
=y x .。